高等数学--几何中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、空间曲线的切线与法平面,第六节,一、一元向量值函数及其导数,三、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第九章,一、,一元向量值函数及其导数,引例,的,向量方程,对,上的动点,M,即,是,此方程确定映射,称此映射为一元向量,的终点,M,的轨迹,值函数,.,要用向量值函数研究曲线的,连续性,和,光滑性,，就需要引进向,量值函数的极限、连续,和,导数的概念,.,已知空间曲线,的参数方程,:,此,轨迹称为向量值函数的,终端曲线,.,定义,给定数集,D,R,称映射,为一元向量,值,函数（简称向量值函数）,记为,定义域,自变量,因变量,向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、,连续和导数密切相关,进行讨论,.,极限,：,连续,：,导数,：,严格定义见,P90,因此下面仅以,n,=3,的情形为代表,向量值函数的导数运算法则,:,(P91),设,是可导向量值函数,是,可导函数,则,C,是常向量,c,是任一常数,向量值函数导数的几何意义,:,在,R,3,中,设,的,终端曲线为,切线的生成,表示终端曲线在,t,0,处的,切向量,其,指向与,t,的增长方,向,一致,.,则,设,向量值函数导数的物理意义,:,设,表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有,例,1,设,速度向量：,加速度向量：,解,例,2,设空间曲线,的向量方程为,求曲线,上,对应于,解,的点处的单位切向量,.,故所求单位切向量为,其,方向与,t,的增长方向一致,另一与,t,的增长方向相反的单位切向量为,=6,例,3,一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺,求,旋式上升,其位置向量为,(1),滑翔机在任意时刻,t,的速度向量与加速度向量,;,(2),滑翔机在任意时刻,t,的,速率,;,(3),滑翔机的加速度与速度正交的时刻,.,解,(1),(3),由,即,即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交,.,二、,空间曲线的切线与法平面,置,.,给定光滑曲线,在,点法式可建立曲线的法平面方程,利用,点,M,(,x,y,z,),处的切向量及法平面的,法向量均为,点向式可建立曲线的切线方程,空间光滑曲线在点,M,处的 为此点处割线的极限位,切线,过点,M,与切线垂直的平面称为曲线在该点的,法平面,.,1.,曲线方程为参数方程的情况,因此,曲线,在点,M,处的,则,在,点,M,的,导向量为,法平面方程,给定光滑曲线,为0,切线方程,例,4,求曲线,在点,M,(1,1,1),处的切线,方程与法平面方程,.,解,点,(1,1,1),对应于,故点,M,处的切向量为,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,思考,:,光滑曲线,的切向量有何特点,?,答,:,切向量,2.,曲线为一般式的情况,光滑曲线,曲线上一点,且有,可表示为,处的切向量为,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,例,5,求曲线,在点,M,(1,2,1),处的切线方程与法平面方程,.,切线方程,解法,1,令,则,即,切向量,法平面方程,即,解法,2,曲线在点,M,(1,2,1),处有,:,切向量,解得,方程组两边对,x,求导,得,切线方程,即,法平面方程,即,点,M,(1,2,1),处的,切向量,三、,曲面的切平面与法线,设,有,光滑曲面,通过其上定点,对应点,M,切线方程为,不全为,0.,则,在,且,点,M,的,切向量,为,任意引一条光滑曲线,下面证明,:,上过点,M,的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上,.,此平面称为,在该点的,切平面,.,证,在,上,得,令,由于曲线,的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的,平面上,从而切平面存在,.,曲面,在点,M,的,法线方程,切平面方程,过,M,点且垂直于切平面的直线,法向量,:,称为曲面,在点,M,的,法线,.,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,当光滑曲面,的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,特别,全微分的几何意,法向量,用,将,法向量的,方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习,例,6,求球面,在点,(1,2,3),处的切,平面及法线方程,.,解,令,所以球面在点,(1,2,3),处有,:,切平面方程,即,法线方程,法向量,即,(,可见法线经过原点，即球心,),例,7,确定正数,使曲面,在点,二曲面在,M,点的法向量分别为,二曲面在点,M,相切,故,又点,M,在球面上,于是有,相切,.,与球面,因此有,解,1.,空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1),参数式情况,.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2),一般式情况,.,空间光滑曲面,法线方程,1),隐式情况,.,切平面方程,2.,曲面的切平面与法线,曲面,在点,的,法向量,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2),显式情况,.,法线的,方向余弦,法向量,思考与练习,1.,如果平面,与椭球面,相切,提示,:,设切点为,则,(,二法向量平行,),(,切点在平面上,),(,切点在椭球面上,),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点,.,提示,:,在曲面上任意取一点,则通过此,2.,设,f,(,u,),可微,第七节,证明原点坐标满足上述方程,.,点的切平面为,补充题,与定直线平行,曲面上任一点的法向量,取,定直线的方向向量为,则,(,定向量,),故,结论成立,.,的,所有切平面恒,1.,证明曲面,证,2.,求曲线,在,点,(1,1,1),的切线,解,点,(1,1,1),处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线,:,法平面,:,即,与法平面,.,