资源描述
*,第二章数 列,2.2,等差数列,(,二,),1,1.,能根据等差数列的定义推,导,出等差数列的重要性质,.,2.,能运用等差数列的性质解决有关问题,.,学习目标,2,栏目索引,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,当堂检测,自查自纠,3,知识梳理,自主学习,4,知识点二推广的等差数列的通项公式,已知,等差数列,a,n,中任意的两项,a,m,，,a,n,，则,a,n,a,m,(,n,m,),d,.(,m,n,),思考,已知等差数列,a,n,中的,a,m,和,a,n,，如何求,d?,答案,5,知识点三等差数列的性质,1.,若,a,n,，,b,n,分别是公差为,d,，,d,的等差数列，则有,数列,结论,c,a,n,公差为,d,的等差数列,(,c,为任一常数,),c,a,n,公差为,cd,的等差数列,(,c,为任一常数,),a,n,a,n,k,公差为,2,d,的等差数列,(,k,为常数，,k,N,*,),pa,n,qb,n,公差为,pd,qd,的等差数列,(,p,，,q,为常数,),6,2.,等差数列的项的对称性,在有穷等差数列中，与首末两项,“,等距离,”,的两项之和等于首项与末项的和,，,即,a,1,a,n,a,2,a,n,1,a,3,a,n,2,.,3.,下标性质：在等差数列,a,n,中，若,m,n,p,q,(,m,，,n,，,p,，,q,N,*,),，则,.,特别的，若,m,n,2,p,(,m,，,n,，,p,N,*,),，则有,.,思考,等差数列,a,n,中，若,a,5,7,，,a,9,19,，则,a,2,a,12,_,，,a,7,_.,返回,a,m,a,n,a,p,a,q,答案,a,m,a,n,2,a,p,26,13,7,题型探究,重点突破,题型一等差数列的性质及应用,例,1,(1),已知等差数列,a,n,中，,a,2,a,6,a,10,1,，求,a,4,a,8,.,解析答案,8,9,(2),设,a,n,是公差为正数的等差数列，若,a,1,a,2,a,3,15,，,a,1,a,2,a,3,80,，求,a,11,a,12,a,13,的值,.,解析答案,反思与感悟,解,a,n,是公差为正数的等差数列，设公差为,d,(,d,0),，,a,1,a,3,2,a,2,，,a,1,a,2,a,3,15,3,a,2,，,a,2,5,，又,a,1,a,2,a,3,80,，,a,1,a,3,(5,d,)(5,d,),16,d,3,或,d,3(,舍去,),，,a,12,a,2,10,d,35,，,a,11,a,12,a,13,3,a,12,105.,10,解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列,a,n,的性质：若,m,n,p,q,2,w,，则,a,m,a,n,a,p,a,q,2,a,w,(,m,，,n,，,p,，,q,，,w,都是正整数,),；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差,基本量的关系,完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想,.,反思与感悟,11,跟踪训练,1,在等差数列,a,n,中：,(1),若,a,3,5,，则,a,1,2,a,4,_,；,解析答案,(2),若,a,1,a,2,a,3,24,，,a,18,a,19,a,20,78,，则,a,1,a,20,等于,_.,解析,a,1,2,a,4,a,1,(,a,3,a,5,),(,a,1,a,5,),a,3,2,a,3,a,3,3,a,3,15.,15,解析,由已知可得,(,a,1,a,2,a,3,),(,a,18,a,19,a,20,),24,78,(,a,1,a,20,),(,a,2,a,19,),(,a,3,a,18,),54,a,1,a,20,18.,18,12,题型二等差数列项的设法及,求解,例,2,已知四个数,构成,等差数列且是递增数列，四个数的平方和为,94,，首尾两数之积比中间两数之积少,18,，求此等差数列,.,解析答案,反思与感悟,解,设四个数为,a,3,d,，,a,d,，,a,d,，,a,3,d,，则,又因为是递增数列，所以,d,0,，,此等差数列为,1,2,5,8,或,8,，,5,，,2,1.,13,三个数或四个数成等差数列的设法,.,当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项,a,1,和公差,d,列方程组求解,，此时计算量稍大,，也可采用对称的设法，三个数时，设,a,d,，,a,，,a,d,；四个数时，设,a,3,d,，,a,d,，,a,d,，,a,3,d,，利用和为定值，先求出其中某个未知量,.,反思与感悟,14,解析答案,跟踪训练,2,已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为,18,，平方和为,116,，求这三个数,.,15,解,方法一设这三个数为,a,，,b,，,c,，则由题意得,这三个数为,4,6,8.,方法二设这三个数为,a,d,，,a,，,a,d,，由已知可得,由,得,a,6,，代入,得,d,2,，,该数列是递增的，,d,2,舍去，,这三个数为,4,6,8.,16,题型三等差数列的综合问题,解析答案,(1),求证：数列,b,n,是等差数列，并写出,b,n,的通项公式；,17,解析答案,18,19,(2),求数列,a,n,的通项公式及数列,a,n,中的最大项与最小项,.,解析答案,反思与感悟,20,解决数列综合问题的方法策略,(1),结合等差数列的性质或利用等差中项,.,(2),利用通项公式，得到一个以首项,a,1,和公差,d,为未知数的方程,(,组,),或不等式,(,组,).,(3),利用函数或不等式的有关方法解决,.,反思与感悟,21,解析答案,跟踪训练,3,设等差数列,a,n,的公差为,d,.,若数列,为递减数列，则,(,),A.,d,0,C.,a,1,d,0,解析,设,b,n,，则,b,n,1,，由于,是递减数列，则,b,n,b,n,1,，,即,.,y,2,x,是单调增函数，,a,1,a,n,a,1,a,n,1,，,a,1,a,n,a,1,(,a,n,d,)0,，,a,1,(,a,n,a,n,d,)0,，即,a,1,(,d,)0,，,a,1,d,0.,C,22,题型四等差数列的实际应用,例,4,某公司,2009,年经销一种数码产品，获利,200,万元，从,2010,年起，预计其利润每年比上一年减少,20,万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？,解析答案,反思与感悟,解,记,2009,年为第一年，由题设可知第,1,年获利,200,万元，第,2,年获利,180,万元，第,3,年获利,160,万元，,，则每年获利构成等差数列,a,n,，且当,a,n,0,时，该公司经销此产品将亏损,.,设第,n,年的利润为,a,n,，因为,a,1,200,，公差,d,20,，,所以,a,n,a,1,(,n,1),d,220,20,n,.,由题意知数列,a,n,为递减数列，令,a,n,0,，即,a,n,220,20,n,11,，,即从第,12,年起，也就是从,2020,年开始，该公司经销此产品将亏损,.,23,解决等差数列实际应用问题,的方法策略,(1),解答数列实际应用问题的基本步骤：,审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；,建模，即将已知条件翻译成数学,(,数列,),语言，将实际问题转化成数学问题；,判型，即判断该数列是否为等差数列；,求解，即求出该问题的数学解；,还原，即将所求结果还原到实际问题中,.,(2),在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题,.,反思与感悟,24,解析答案,跟踪训练,4,九章算术,“,竹九节,”,问题：现有一根,9,节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面,4,节的容积共,3,升，下面,3,节的容积共,4,升，则第,5,节的容积为,(,),解析,设自上而下,9,节竹子各节的容积构成等差数列,a,n,，其首项为,a,1,，公差为,d,，,B,25,解析答案,审题不仔细致误,易错点,例,5,首项为,24,的等差数列，从第,10,项开始为正数，则公差,d,的取值范围为,_.,返回,26,错因分析,解答本题，应注意理解,“,从第,10,项开始为正数,”,的含义，它表明,“,a,10,0,”,的同时还表明,“,a,9,0,”,这一条件,.,解析答案,27,误区警示,28,解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用,.,误区警示,返回,29,当堂检测,1,2,3,4,5,1.,在等差数列,a,n,中，,a,1,2,，,a,3,a,5,10,，则,a,7,等于,(,),A.5 B.8,C.10 D.14,解析,方法一设等差数列的公差为,d,，,则,a,3,a,5,2,a,1,6,d,4,6,d,10,，,所以,d,1,，,a,7,a,1,6,d,2,6,8.,方法二由等差数列的性质可得,a,1,a,7,a,3,a,5,10,，又,a,1,2,，所以,a,7,8.,B,解析答案,30,1,2,3,4,5,解析,由,a,2,a,4,a,6,a,8,a,10,5,a,6,80,，,a,6,16,，,C,解析答案,31,1,2,3,4,5,3.,已知等差数列,a,n,满足,a,1,a,2,a,3,a,101,0,，则有,(,),A.,a,1,a,101,0 B.,a,2,a,101,0,C.,a,3,a,99,0 D.,a,51,51,C,解析,a,1,a,2,a,101,0,，,又,a,1,a,101,a,2,a,100,a,3,a,99,2,a,51,，,a,51,0,a,3,a,99,.,解析答案,32,1,2,3,4,5,解析答案,4.,下列是关于公差,d,0,的等差数列,a,n,的四个命题：,p,1,：数列,a,n,是递增数列；,p,2,：数列,na,n,是递增数列；,p,4,：数列,a,n,3,nd,是递增数列,.,其中的真命题为,(,),A.,p,1,，,p,2,B.,p,3,，,p,4,C.,p,2,，,p,3,D.,p,1,，,p,4,解析,a,n,a,1,(,n,1),d,dn,a,1,d,，因为,d,0,，所以,p,1,正确；,a,n,3,nd,4,dn,a,1,d,，因,4,d,0,，所以是递增数列，,p,4,正确，故选,D.,D,33,1,2,3,4,5,解析答案,5.,在等差数列,a,n,中，已知,a,1,2,a,8,a,15,96,，则,2,a,9,a,10,_.,解析,a,1,2,a,8,a,15,4,a,8,96,，,a,8,24.,2,a,9,a,10,a,10,a,8,a,10,a,8,24.,24,34,课堂小结,2,等差数列,a,n,中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列,3,等差数列,a,n,中，若,m,n,p,q,，则,a,n,a,m,a,p,a,q,(,n,，,m,，,p,，,q,N,*,),，特别地，若,m,n,2,p,，则,a,n,a,m,2,a,p,.,35,4,在等差数列,a,n,中，首项,a,1,与公差,d,是两个最基本的元素有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关,a,1,，,d,的关系列方程组求解但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量,返回,36,本课结束,37,
展开阅读全文