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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,/35,上页,下页,结束,返回,首页,第八章 数列与无穷级数,8.1,数列极限,数列,收敛数列,有界数列和单调数列,1,8.1.3,有界数列和单调数列,例如,有界,无界,2,定理,6,收敛数列必是有界数列,.,证,由定义,注意：,有界性是数列收敛的必要条件,.,推论,无界数列必定发散,.,3,定义 若对于任意正整数 均有,则称 是单调增加的数列,(,或单调不减的数列,);,若对于任意正整数 均有,则称 是单调减少的数列,(,或单调不增的数列,).,单调增加数列和单调减少数列统称,单调数列,.,定理,7(,单调有界准则,),单调有界数列必定是收敛数列,.,4,定理,(,单调数列收敛准则,),(1),如果单调增数列,a,n,有上界,即,则极限 存在,(2),如果单调减数列,a,n,有下界,即,则极限 存在,5,例,1,证明重要极限,:,解,设,则,6,比较,x,n,与,x,n+1,的对应项可知,:,即 是单调增数列,7,利用上式可得,所以 是单调增有上界数列,根据收敛准则,知 收敛,记其极限值为,e,于是有,8,9,10,11,12,定理,8,若数列 的子数列 及 均收敛,且,则数列 收敛,并且,不作要求,13,小结：,数列极限的求法,1.,化为定积分,若,f,(,x,),在,a,b,上连续,则根据定积分的定义有,例,4,解:,错,无穷多项相加,(,一般只考虑,0,1,区间上定积分,),14,解:,当然,，原式,n,等分取端点,15,例,5,解:,16,例,6,17,18,例,7,计算,解,记,则,由于,所以,19,2.,化为函数的极限,例,8,求下列数列的极限,.,解,(1),设 则,由于,所以,20,(2),设 则,由于,21,所以,注,:,数列极限的求法不能直接用洛必达法则,.,22,3.,拆项相消,例,9,解:,23,例,10,解:,注,:,有时从最高次添项补项，如,P431,例,9,。,24,例,11,解:,25,4.,利用四则运算法则或夹逼准则,例,12,求极限,26,解(1),(2),27,5.,利用单调有界准则,例,13,解,28,解,例,14,已知,计算,考虑单调性,假设,x,n,x,n,-1,由,x,n,0,有,29,根据数学归纳法知,x,n,单调增,.,又,单调增有上界,收 敛,设,在 两边取极限,有,解得,所以,30,解,例,15,设,a,0,x,1,0,定义,计算,因为,即对一切,n,N,31,又,所以 单调减,据收敛准则知 收敛,设,取极限有,(,负根舍去,),所以,32,33,34,35,
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