厄密算符本征函数的正交性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.5,厄密算符本征函数的正交性,一、属于动量算符不同本征值得两,个本征函数 和 互相正交：,引入函数的标积：,则,(1),(2),两式可以简化记为：,当,动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例,二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本征函数互相正交,。,证,：,又 （厄密的本征值为实数）,（,1,）式右乘 ，积分：,简记：,（,2,）式左乘 ：,简记：,根据厄密算符的定义,简记：,联立（,4,）、（,5,）即：,简记：,(6),式移项：,简写：,而 ，必有,简写：,或表示为：,其中,kronk,符号,如果 的本征值不分立，而是构成连续谱。则本征函数 可以归化为 函数：,例如动量算符本征函数,2.,正交归一本征函数一例：无限深市阱,能量本征函数,是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数，对不同的 值（能级,),正交：,其中：,证：,积化和差,3.,是 的本征值 的本征函数 的正交性,三、正交归一函数的例子（厄密算符本征函数互相正交）,1,）线性谐振子,2.,角动量算符 的本征函数，本征值,3.,角动量平方算符 的本征函数，属于本征值 ：,2,）一维势阱,（,20,）缔结,legendre,函数正交性：,而球谐函数：,4.,氢原子波函数，算符：,n,不同,:,三个量子数均不同：,四、简并态函数的正交性,当 的本征值 是 度简并：,一般而言 不正交，但可用 个常数将 个函数重新组合成 个新函数：,总可以选择 而使正交归一条件成立,：,一般地，考虑到力学完全集中其它算符对简并态重新分类，可组合消除简并。,如 对 简并，但对 则不简并，归一化为 。,