教育专题：方位角

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,锐角三角函数,sinA,、,cosA,、,tanA,、,cotA,分别等于直角三角形中哪两条边的比？,回顾,新课导入,A,B,C,珠穆朗玛峰，海拔,8844.43,米，为世界第一高峰，位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀则地区定日县正南方峰顶终年积雪，一派圣洁景象珠峰地区拥有,4,座,8000,米以上、,38,座,7000,米以上的山峰，被誉为地球第三级,珠穆朗玛峰那么高，它的高度是怎样测出来的？,测量珠峰高程，首先确定珠峰海拔高程起算点我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零起始点（水准原点），因为测绘人员已取得西藏拉孜县相对青岛水准原点的精确高程，测量队只需要从拉孜起测前半程仍采用传统而精确的水准测量法，每隔几十米竖立一个标杆，通过水准仪测出高差，一站一站地将高差累加起来就可得出准确数字这样一直传递到珠峰脚下,6,个峰顶交会测量点,当精确高程传递至珠峰脚下的,6,个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“,勾股定理,”的基本原理，推算出峰顶相对于这几个点的高程差,最后，通过进行重力、大气等多方面的改正计算，确定珠峰高程,GPS,测量，则是将,GPS,测量设备带至峰顶直接获取数据，然后通过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程,【,知识与能力,】,1,掌握直角三角形的边角关系；,2,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,【,过程与方法,】,通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步分析问题、解决问题的能力,【,情感态度与价值观,】,通过本节的学习，渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯,教学目标,重点：,直角三角形的解法,难点：,三角函数在解直角三角形中的灵活运用,教学重难点,直角三角形,ABC,中，,C=90,，,a,、,b,、,c,、,A,、,B,这五个元素间有哪些等量关系呢？,A,B,C,a,b,c,5,个,6,个元素,三边,两个锐角,一个直角,（已知）,A,B,C,a,b,c,ABC,中，,C,为直角，,A,，,B,，,C,所对的边分别为,a,，,b,，,c,，且,b,3,，,A,30,，求,B,，,a,，,c,A,B,C,a,b,c,3,30,?,?,?,（,1,）三边之间的关系,a,2,b,2,c,2,（勾股定理）；,（,2,）锐角之间的关系, A, ,B,90,（,3,）边角之间的关系,解直角三角形的依据,A,B,C,a,b,c,在下图的,RtABC,中， （,1,）根据,A=60,，斜边,AB=6,，试求出这个直角三角形的其他元素,C,A,B,B,30,；,AC,3,，,BC,探究,（,2,）根据,AC=3,，斜边,AB=6,，试求出这个直角三角形的其他元素？,C,A,B,B,30,；,A,60,，,BC,在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道其中的两个元素（,至少有一个是边,），就可求出其余的元素,结论,知识要点,解直角三角形,在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫,解直角三角形,【,例,1】,在,ABC,中，,C,90,，,c,8,，,B,40,，解这个直角三角形,(,精确到,0.1),C,B,A,a,b,c,解：,A,90,40,50,【,例,2 】,在,ABC,中，,C,90,，,a,5,，,，求,A,、,B,、,c,边,解：,A56.1,，,B,90,56.1,32.9,C,B,A,a,b,c,（,1,）,在,ABC,中，,C,90,，,b,30,，,c,40,，解直角三角形,A,41.4,B,48.6,小练习,C,B,A,a,b,c,（,2,）,ABC,中，,C,90,，,a,、,b,、,c,分别为,A,、,B,、,C,的对边，,a,6,，,sinA, ，求,b,，,c,，,tanA,；,a,c,12,，,b,8,，求,a,，,c,，,sinB,b,c,15,C,B,A,a,b,c,（,3,）,在,ABC,中，,C,为直角，,A,、,B,、,C,所对的边分别为,a,、,b,、,c,，且,c=287.4,，,B=426,，解这个三角形,a,213,3,b,192,7,A,47,54,已知,两边,两直角边,一斜边，一直角边,一边一角,一锐角，一直角边,一锐角，一斜边,归纳,已知斜边求直边，,正弦余弦很方便；,已知直边求直边，,正切余切理当然；,已知两边求一角，,函数关系要选好；,已知两边求一边，,勾股定理最方便；,已知锐角求锐角，,互余关系要记好；,已知直边求斜边，,用除还需正余弦；,计算方法要选择，,能用乘法不用除,优选关系式,仰角和俯角,铅直线,水平线,视线,视线,仰角,俯角,在进行测量时：,从下向上看，视线与水平线的夹角叫做,仰角,；,从上往下看，视线与水平线的夹角叫做,俯角,方向角,如图：点,A,在,O,的北偏东,30,点,B,在点,O,的南偏西,45,（西南方向）,30,45,B,O,A,东,西,北,南,【,例,3 】,如图， 在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔江西岸,B,处，测得塔尖,D,的仰角为,45,，后退,400m,到,A,点测得塔尖,D,的仰角为,30,，设塔底,C,与,A,、,B,在同一直线上，试求该塔的高度,A,C,B,D,30,45,解,:,设塔高,CD,=,x,m,在,Rt,BCD,中，,DNC,=45,BC,=,x,CA,=400+,x,在,Rt,ACD,中，,DAC,=30,AC,=,xtan,60=400+,x,塔高,CD,为,m,A,C,B,D,30,45,（,1,）如图，某飞机于空中,A,处探测到目标,C,，此时飞行高度,AC,=1500,米，从飞机上看地平面控制点,B,的俯角,a,=25,，求飞机,A,到控制点,B,距离（精确到,1,米）,A,B,C,小练习,解：在,Rt,ABC,中,A,B,C,答：飞机,A,到控制点,B,距离为,3000.0,米,（,2,）如图，某海岛上的观察所,A,发现海上某船只,B,并测得其俯角,=30,已知观察所,A,的标高（当水位为,0,m,时的高度）为,45,m,，当时水位为,+2,m,，求观察所,A,到船只,B,的水平距离,BC,。,小练习,【,例,4】,如图，海岛,A,四周,45,海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在,B,处见岛,A,在北偏西,60,，航行,18,海里到,C,，见岛,A,在北偏西,45,，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？,45,A,B,D,C,P,P,1,60,（,1,）如图，一艘渔船正以,40,海里,/,小时的速度由西向东赶鱼群，在,A,处看某小岛,C,在船的北偏东,60,，半个小时后，渔船行至,B,处，此时看见小岛,C,在船的北偏东,30,已知以小岛,C,为中心，周围,15,海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能,?,小练习,解：设,BD,=,x,海里,由题意得,AB,=20,，,AD,=20+,x,在,Rt,ACD,和,Rt,BCD,中，,CD,=,ADtan,30=,BDtan,60,x,=10,所以这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区,15,（,2,）正午,8,点整，一渔轮在小岛,O,的北偏东,30,方向，距离等于,20,海里的,A,处，正以每小时,10,海里的速度向南偏东,60,方向航行那么渔轮到达小岛,O,的正东方向是什么时间？,小练习,30,60,A,O,B,C,（,3,）如图，海岛,A,的周围,15,海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点,B,处测得海岛,A,位于北偏东,60,，航行,16,海里到达点,C,处，又测得海岛,A,位于北偏东,30,，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？,有触礁的危险,小练习,【,例,5】,燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角,B,是,45,，外口宽,AD,是,180,mm,，燕尾槽的深度是,70,mm,，求它的里口宽,BC,（精确到,1,mm,）,解：等腰梯形中，,AD,=180,mm,，,AE,=70,mm,，,B,=45,AE,BC,又,BE,=,EC,答：它的里口宽,BC,长为,320,mm,遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加,辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图,形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直,角三角形的问题,如图，在离地面高度,5,米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成,60,角，求拉线,AC,的长以及拉线下端点,A,与杆底,D,的距离,AD,（精确到,0.01,米）,AC,约为,5.77,米,AD,约为,2.89,米,小练习,（,2,）如图，在等腰梯形,ABCD,中，,DC,AB,，,DE,AB,于,E,，,AB,=10,，,DE,=6,，,cosA,=,，求,CD,的长,CD,的长为,1,小练习,坡面的铅直高度,h,和水平宽度的比叫做,坡度,（或叫做,坡比,），一般用,i,表示把坡面与水平面的夹角,叫做,坡角,坡度、坡角,h,【,例,6 】,（,1,）如图，温州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为,30,cm,，深为,30,cm,为方便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为,A,，斜坡的起始点为,C,，现将斜坡的坡角,BCA,设计为,12,，求,AC,的长度 （,sin12 0.2079,）,解：,在,Rt,B,DC,中，,C,=12,AC,=282,60=222,（,cm,）,由题意得，,BD,=60,（,2,）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是,5.5m,，测得斜坡的倾斜角是,24,，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到,0.1m,）,上述问题可以归结为： 在,RtABC,中，,C=90,，,AC=5.5,，,A=24,，求,AB,解：在,RtABC,中，,答：斜坡上相邻两树的坡面距离是,6,米,（,1,）如图，沿,AC,方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从,AC,上的一点,B,取,ABD=140,，,BD=500m,，,D=50,，那么开挖点,E,离,D,多远（精确到,0.1m,），正好能使,A,、,C,、,E,成一条直线？,小练习,解：要使,A,、,C,、,E,在同一直线上，则,ABD,是,BDE,的一个外角,BED=ABD,D=90,DE=BDcosD=5000.6428,=321.400321.4,（,m,）,答：开挖点,E,离,D,为,321.4,米，正好能使,A,、,C,、,E,成一直线,（,2,）如图 ，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽,6m,，坝高,23m,，斜坡,AB,的坡度,i=13,，斜坡,CD,的坡度,i=1:2.5,，求斜坡,AB,的坡面角,，坝底宽,AD,和斜坡,AB,的长（精确到,0.1m,）,坝底,AD,的宽为,132.5m,，斜坡,AB,的长为,72.7m,小练习,（,1,）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；,（,2,）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；,（,3,）得到数学问题的答案；,（,4,）得到实际问题的答案,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：,归纳,（,1,）三边之间的关系,a,2,b,2,c,2,（勾股定理）；,（,2,）锐角之间的关系, A, ,B,90,（,3,）边角之间的关系,1,解直角三角形的依据,A,B,C,a,b,c,课堂小结,（,1,）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；,（,2,）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；,（,3,）得到数学问题的答案；,（,4,）得到实际问题的答案,2,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：,1,在,ABC,中，,C,=90,，解这个直角三角形,A,=60,，斜边上的高,CD,=,；,A,=60,，,a,+,b,=3+,解：（,1,）,B,= 90-,A,= 30,AC=,随堂练习,60,A,B,C,D,2,在,Rt,ABC,中,C,90,，,AD,=2,AC,=2,BD,，,且,DE,AB,（,1,）求,tanB,；,（,2,）若,DE,=1,，求,CE,的长,A,C,B,E,D,CE,5,3,如图，在,ABC,中，,AB,=,AC,=13,，,BC,=10,，,求：,sinB,，,cosB,，,tan,B,的值,A,B,C,D,解,:,过点,A,作,AD,BC,于,D,，垂足为,D,AB,=,AC,=13,，,AD,BC,，,BC,=10,BD=CD=5,AD,=12,4,为测量松树,AB,的高度，一个人站在距松树,20,米的,E,处，测得仰角,ACD,=56,，已知人的高度是,1,76,米，求树高（精确到,0.01,米）,解：在,Rt,ACD,中，,tg,C,=,AD,/,CD,，,AD,=,CDtanC,=,BEtanC,=20tan56,=201.482629.65(,米,),AB,=,AD,+,BD,=29.65+1.76,=31.41(,米,),答：树高,31.41,米,56,A,D,B,C,E,D,75,45,0,A,B,C,5,如图，在,ABC,中，已知,AC,=8,，,C,=75,，,B,= 45,，求,ABC,的面积,8,解,:,过,C,作,CD,AB,于,D,，, ,B,=45,，,ACB,=75,A=60,sinA,=,cosA,=, ,BDC,= 90,S,ABC,=,BCD,=45,BD,=,CD,=,CD,=,ACsin,60=,AD,=,ACcos,60=4,A,C,1000,米,570,米,B,6,我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为,1000,米，山高为,580,米，如果这辆坦克能够爬,30,的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？,A, 30,这辆坦克不能通过这座小山,tan,30=,0.577 ,tan,30,tanA,=,=,解：,BC,AC,，,BC,=570,米 ，,AC,=1000,米,= 0.58,1.,2,AB,= 6.18,m,，,AD,= 3.63,m,.,3,143,m,.,4,4 221,m,.,习题答案,