理论力学 第十二章动量定理

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第十二章 动量定理,授课教师：薛齐文,交通运输工程学院力学教研室,1,121,动力学普遍定理,122,质点的动量定理,123,质点系的动量定理,124,质心运动定理,第十二章 动量定理,2,动力学,实际上的问题是：1、联立求解微分方程,(,尤其是积分问题)非,常困难。,2、大量的问题中，不需要了解每一个质,点的运 动,仅需要研究质点系整体的运,动情况。,12-1,动力学普遍定理概述,对,质点,动力学问题：建立质点运动微分方程求解。,对,质点系,动力学问题：理论上讲，,n,个质点列出,3,n,个微分方,程，联立求解它们即可。,从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是,动力学普遍定理,(包括,动量定理,、,动量矩定理,、,动能定理,及由此推导出来的其它一些定理)。,3,动力学,它们以简明的数学形式，表明两种量,一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等)之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷,。,本章中研究,质点和质点系的动量定理,，建立了,动量的改变与力的冲量之间的关系,，并研究质点系动量定理的另一重要形式,质心运动定理,。,4,动力学,12-2,质点的动量定理,一、动量,1.,质点的动量：质点的质量与速度的乘积,m,v,称为质点的动量。,是瞬时矢量，方向与,v,相同。单位是,kg,m/s,。,动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。,例,：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。,二冲量,力与其作用时间的乘积称为力的冲量,，冲量表示,力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量,。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。,5,2,力是变矢量：（包括大小和方向的变化）,元冲量,：,冲量,：,1,力是常矢量：,动力学,3,合力的冲量,：等于各分力冲量的矢量和,冲量的单位：,与动量单位同,6,三质点的动量定理,质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力,动力学,质点的动量定理,1.,微分形式,：,（动量的微分等于力的元冲量）,2.,积分形式,：,质点的动量在任一时间内的变化，等于同一时间内作用于该质点上力的冲量。,7,3,投影形式,：,4.,质点的动量守恒,若，则,常矢量，质点作惯性运动,若，则常量，质点沿,x,轴的运动是惯性运动,动力学,如：当质点上的力在某个方向上如,X,方向上的投影零时，即在该方向上质点的动量守恒。,8,一,.,质点系的质心,质点系的质量中心称为质心,。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。,动力学,12-3,质点系的动量定理,质心,C,点的位置,：,9,在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合,。可,采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置,。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。,动力学,内力,：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。,对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：,二、质点系的内力与外力,外力,：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。,10,设第,i,个刚体 ，则整个系统,三,.,质点系的动量,动力学,质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：,四,.,刚体系统的动量,质点系中所有各质点的动量的矢量和,。,11,五、质点系的动量定理,(,质点系的动量定理）,动力学,对整个质点系,对质点系内任一质点,I ,质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。,质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。,在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上,的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和,1.,e,i,P,i,e,I,dt,F,微分形式,),(,),(,d,d,=,=,积分形式,),(,1,2,e,i,I,P,P,=,-,2.,12,3.,投影形式,=,),(,e,ix,x,F,dt,dP,=,),(,e,iy,y,F,dt,dP,=,),(,e,iz,z,F,dt,dP,=,=,-,2,1,),(,),(,1,2,t,t,e,ix,e,x,x,dt,F,I,ix,P,P,=,=,-,2,1,),(,),(,1,2,t,t,e,iy,e,y,y,dt,F,I,iy,P,P,=,=,-,2,1,),(,),(,1,2,t,t,e,iz,e,z,z,dt,F,I,iz,P,P,动力学,4.,质点系的动量守恒,若则常矢量。,若则常量。,只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。,13,5.,定常流动流体的动反力,1),定常流动,液体中各质点流经空间固定点时的速度不随时间变,。,2),附加动反力,在截面,1,和,2,处的速度分别为,v,1,和,v,2,由于在各处的流量应相同，,（不可压缩体）故有,其中 为动量变化引起的,附加动反力,.,动力学,14,C,例,1,已知圆盘质量为,M,半径为,r,图示瞬时三种情况下圆盘的,，求各自的动量。,C,C,v,C,动力学,15,例,2,写动量：已知 求：质系的动量。,m,1,m,2,m,3,v,y,x,解,：,动力学,16,解,:,曲柄,OA,：,滑块,B,：,连杆,AB,：（,P,为速度瞬心，）,动力学,例,3,曲柄连杆机构的曲柄,OA,以匀,转动，设,OA=AB,=,l,曲柄,OA,及连杆,AB,都是匀质杆,质量各为,m,滑块,B,的质量也为,m,。,求,当,=45,时系统的动量。,17,得,解,:,例,4,电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为,转子质量为,.,定子和机壳质心,转子质心,角速度 为常量,.,求基础的水平及铅直约束力,.,动力学,18,例,5,质量为,M,的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为,m,的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。,动力学,解,：,选,两物体组成的系统为,研究对象。,受力分析,，,水平方向,常量。,由水平方向动量守恒及初始静止,；则,设大三角块速度,，,小三角块相对大三角块速度为 ，,则小三角块,运动分析,，,19,练习,1,已知,OC=AC=BC=l,A,和,B,的质量为,m,，,不计重量的杆以,转动。求此瞬时系统的动量。,解：用瞬心法求速度,C,*,v,c,1,动力学,A,B,C,x,y,O,20,练习,2:,锤重,Q=300N,，,从高度,H=1.5m,处自由落到锻件上，锻件,发生变形，历 时,=0.01s,，,求锤对锻件的平均压力,.,H,解,:,研究锤，分析受力,:,Q,N,*,锤由高,H,处自由落下所需时间,:,y,建投影轴，列动量定理,:,动力学,21,运动分析，设经过,时间后，流体,AB,运动到位置,ab,，,练习,3,流体流过弯管时，在截面,A,和,B,处的平均流速分别为,求流体对弯管产生的动压力,(,附加动压力,),。设流体不可压缩，流量,Q,(m,3,/s),为常量，密度为,(kg/m,3,）。,动力学,解：,取截面,A,与,B,之间的流体作为研究的质点系。,受力分析如图示。,由质点系动量定理；得,22,静反力 ，动反力,计算 时，常采用投影形式,与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,动力学,即,23,12-4,质心运动定理,若质点系质量不变，,则 或,动力学,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。,质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1.,投影形式：,将 代入到质点系动量定理，得,24,3,.,质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。,对于任意一个质点系，无论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上,。,动力学,2.,刚体系统：,设第,i,个刚体,m,i,，,v,Ci,，,则有,或,只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,25,4.,质心运动守恒定律,5,质心运动定理可求解两类动力学问题：,已知质点系质心的运动,求作用,于,质点系的外力,(,包括约束反力,),。,已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。,动力学,1),当质系不受外力作用时（或说质系上所有外力的矢量,和为零时）质心运动守恒。,2),当质系上所受外力在某个方向（如,X,方向）投影的代数,和为零时，在该方向上质心运动守恒。,若存在 则 常量，质心在,x,轴的位置坐标保持不变。,若开始时系统静止，即 则常矢量,质心位置守恒。,26,解,:,取整个电动机作为质点系研究，,分析受力，受力图如图示,运动分析：定子质心加速度,a,1,=0,，,转子质心,O,2,的加速度,a,2,=,e,2,，,方向指向,O,1,。,动力学,例,1,电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为,m,1,转子质量为,m,2,转子的轴通过定子的质心,O,1,但由于制造误差,转子的质心,O,2,到,O,1,的距离为,e,。,求转子以角速度,作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。,27,根据质心运动定理，有,可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。,动力学,a,1,=0，,a,2,=,e,2,28,例,2,图示在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人的质量为,m,，船的,质量为,M,，,船长,l,，,水的阻力不计，求：船的位移,S,。,解：,选两物体组成的系统为研究对象。,受力分析，如图,mg,Mg,S,x,F,又因为初始静止,x,C1,=x,C2,如图建立坐标系,=,动力学,29,mg,Mg,S,x,F,解法,2,：,由动量定理,设,船的速度为（,v),人的速度为（,v-v,r,),并设系统初时,v,C,=0,v,r,v,由动量守恒定律,动力学,30,例,3,（动反力例）,一塔轮由,r,1,和,r,2,两轮的轮相连而成，总质量,M,；,其上绕两重物,m,1,和,m,2,求：当,m,1,下降使加速度达,a,1,时,O,轴处的反力。,解,：（,动量定理）,1,）研究对象为轮,2,）受力分析：轮重和两重物的重力、,O,轴处的约束反力如图,3,）运动分析,4,）按动量定理求解,m,2,m,1,r,1,r,2,a,1,a,2,Mg,动力学,Fx,0,Fyo,31,5,）,若按质心运动定理求解,m,2,m,1,r,1,r,2,a,1,a,2,Mg,y,2,y,1,Fx,0,Fyo,动力学,32,练习,1,已知：框架,P=80N,，高,h=60cm,，,长度,b;,静止在光滑的,水平面上，框架内有均质杆,AB,，重,Q=20N,，长,L=68cm,；从,图,a,最高位置下滑到图,b,位置，求：框架走过的距离,s=?,A,B,y,x,h,b,L,A,B,y,x,S,O,P,Q,Q,P,解：,（方法一）按质心守恒解,，因为水平无外力,动力学,33,L,A,B,y,x,S,O,Q,P,动力学,34,方法二）按动量定理求解：,设,框架和杆的速度分别：,L,A,B,y,x,S,O,Q,P,动力学,35,练习,2,已知：重物,A,质量,m,1,重物,B,质量,m,2,A,以加速度,a,1,下降，,若不计滑轮的重量；求：支座,O,点的反力。,解：,1,）研究对象：系统,2,）受力分析：,O,处反力，,A,和,B,的重力,3,）运动分析：,A,速度和,B,的速度分别为,m,2,m,1,a,l,1,l,2,F,ox,F,oy,动力学,36,4,）若按质心运动定理解：,设,A,下降,S,则,m,2,m,1,a,y,x,x,1,x,2,动力学,m,2,m,1,a,l,1,l,2,37,练,3,已知：重，长 的均质杆绕定轴转动，知图