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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,6-2 圆截面直杆受力如图所示。试用单元体表示,A,点的应力状态。已知,F,=39.3N,,M,0,=125.6Nm,,D,=20mm,杆长,l,=1m。,解:按杆横截面和纵截面方向截取单元体,A,单元体可画成平面单元体如图(从上往下观察),6-5 试用求下列各单元体中,ab,面上的应力(单位MPa)。,解,:(a),(b),6-6 各单元体的受力如图所示,试求:(1)主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主单元体;(2)最大切应力(单位MPa)。,解,:(a),x,y,6-6 各单元体的受力如图所示,试求:(1)主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主单元体;(2)最大切应力(单位MPa)。,解:(d),x,y,6-9 图示一边长为10mm的立方钢块,无间隙地放在刚体槽内,钢材弹性模量E=200GPa,,=0.3,,设F=6kN,试计算钢块各侧面上的应力和钢块沿槽沟方向的应变(不计摩擦)。,解:假定,F,为均布压力的合力,由已知条件,由广义胡克定律,6-11 已知图示各单元体的应力状态(图中应力单位为MPa)。试求:(1)主应力及最大切应力;(2)体积应变,;(3)应变能密度u及畸变能密度u,d,。设材料的E=200GPa,,=0.3。,解:(a)如图取坐标系,x,y,z,6-11 已知图示各单元体的应力状态(图中应力单位为MPa)。试求:(1)主应力及最大切应力;(2)体积应变,;(3)应变能密度u及畸变能密度u,d,。设材料的E=200GPa,,=0.3。,解:(d),6-14 列车通过钢桥时,在钢桥横梁的,A,点用应变仪测得,x,=,0.410,-3,,,y,=,-0.1210,-3,,已知:,E=200GPa,,,=0.3,。试求,A,点的,x-x,及,y-y,方向的正应力。,解:A点为平面应力状态,由广义胡克定律,6-17 在图示梁的中性层上某点,K,处,沿与轴线成,45,方向用电阻片测得应变,=,-0.26010,-3,,若材料的,E=210GPa,,,=0.28,。试求梁上的载荷,F,。,解:测点,K,处剪力为:,中性层上的点处于纯剪切应力状态,有:,由广义胡克定律,则:,即:,查表得:,6-19 求图示各单元体的主应力,以及它们的相当应力,单位均为MPa。设,=0.3,。,解:准平面应力状态,如图取坐标系,已知一主应力,z,=,50MPa,,可按平面应力状态公式求得另外两个主应力。,x,y,z,主应力为:,相当应力:,7-2 悬臂木梁上的载荷,F,1,=800N,,F,2,=1650N,木材的许用应力,=10MPa,,设矩形截面的,h=2b,,试确定截面尺寸。,解:危险截面为固定端,其内力大小为,危险点为截面角点,最大应力为,由强度条件,则取截面尺寸为,7-4 斜梁,AB,的横截面为100 mm100 mm 的正方形,若,F,=3kN,作梁的轴力图、弯矩图,并求梁的最大拉应力和最大压应力。,解:将,F,分解为轴向力,F,x,和横向力,F,y,F,x,F,y,作内力图,F,N,:,M,:,-,2.4kN,1.125kNm,最大压应力在,C,处左侧截面上边缘各点,其大小为,最大拉应力在,C,处右侧截面下边缘各点,其大小为,7-5 在正方形截面短柱的中部开一槽,其面积为原面积的一半,问最大压应力增大几倍?,解:未开槽短柱受轴载作用,柱内各点压应力为,开槽短柱削弱段受偏心压力,最大压应力为,故最大压应力增大 7 倍,7-8 求图示截面的截面核心。,解:取截面互垂的对称轴为坐标轴,y,z,1,以直线,1,为中性轴,以直线,2,为中性轴,2,F1,、,F2,两点的联线构成截面核心边界的一部分,按类似的方法可得该截面的截面核心为以截面形心为中心的八边形,(48,48),(64,0),(-48,-48),(48,-48),(-48,48),(0,64),(0,-64),(-64,0),(,mm,),7-13 图示钢制圆截面梁,直径为,d,,许用应力为,,对下列几种受力情况分别指出危险点的位置,画出危险点处单元体的应力状态图,并按最大切应力理论建立相应的强度条件。(1)只有,F,和,M,x,作用;(2)只有,M,y,、,M,z,和,M,x,作用;(3),M,y,、,M,z,、,M,x,和,F,同时作用。,解,:(1),只有,F,和,M,x,作用,拉扭组合,任一截面周边上的点都是危险点,应力状态:,其中:,则有强度条件:,7-13 图示钢制圆截面梁,直径为,d,,许用应力为,,对下列几种受力情况分别指出危险点的位置,画出危险点处单元体的应力状态图,并按最大切应力理论建立相应的强度条件。(1)只有,F,和,M,x,作用;(2)只有,M,y,、,M,z,和,M,x,作用;(3),M,y,、,M,z,、,M,x,和,F,同时作用。,解,:(2),只有,M,y,、,M,z,和,M,x,作用,弯扭组合,任一截面与总弯矩矢量垂直的直径两端点是危险点,应力状态:,其中:,则有强度条件:,y,z,M,M,y,M,z,D,1,D,2,D,1,D,2,7-13 图示钢制圆截面梁,直径为,d,,许用应力为,,对下列几种受力情况分别指出危险点的位置,画出危险点处单元体的应力状态图,并按最大切应力理论建立相应的强度条件。(1)只有,F,和,M,x,作用;(2)只有,M,y,、,M,z,和,M,x,作用;(3),M,y,、,M,z,、,M,x,和,F,同时作用。,解,:(3),M,y,、,M,z,、,M,x,和,F,同时作用,拉弯扭组合,任一截面,D,1,点是危险点,应力状态:,其中:,则有强度条件:,y,z,M,M,y,M,z,D,1,D,1,7-17 图示直角曲拐,,C,端受铅垂集中力,F,作用。已知,a,=160mm,,AB,杆直径,D,=40mm,,l,=200mm,,E=200GPa,,=0.3,,实验测得,D,点沿45,方向的线应变,45,=,0.265,10,-3,。试求:(1)力,F,的大小;(2)若,AB,杆的,=,140MPa,,试按最大切应力理论校核其强度。,解:测点在中性轴处为纯剪切应力状态,且有,则,危险截面,A,处内力大小为(不计剪力),按最大切应力理论校核强度,满足强度要求,7-21 图示用钢板加固的木梁,作用有横力,F=10kN,,钢和木材的弹性模量分别为,E,s,=200GPa,、,E,w,=10GPa,。试求钢板和木梁横截面上的最大正应力及截面,C,的挠度。,解:复合梁,以钢为基本材料,y,z,y,1,y,2,危险截面为,C,截面,8-1 图示各圆截面杆,材料的弹性系数,E,都相同,试计算各杆的应变能。,解:(b),(d),x,8-2 试计算图示各结构的应变能。梁的,EI,已知,且为常数;对于拉压杆(刚度为,EA,),只考虑拉压应变能。,解:求内力,拉压杆:,计算结构的应变能,梁:,x,1,x,2,8-3 试用卡氏定理求习题8-2中各结构截面,A,的铅垂位移。,解:求,A,的铅垂位移,虚加一相应的附加力,F,,刚架各杆内力为,由卡氏定理,有:,F,8-4 图示等截面直杆,承受一对方向相反、大小均为,F,的横向力作用。设截面宽度为,b,、拉压刚度为,EA,,材料的泊松比为,。试利用功的互等定理,证明杆的轴向变形为,解:杆的轴向变形,l,是直杆两端一对轴载的相应位移,而一对横向力,F,的相应位移是两力作用点的相对位移,b,。考察直杆两端受一对轴载作用,即两个广义力分别为:,相应广义位移为:,F,F,直杆两端受轴载作用时杆内各点均为相同的单向应力状态,由:功的互等定理,即:,1,8-5 图示为水平放置的圆截面直角折杆,ABC,,试求截面,C,的竖直位移和转角。已知杆的直径,d,和材料的,E,、,G,。,解:列出各杆段在外载和欲求位移相应单位力分别作用时的内力方程,由莫尔定理:,x,1,x,2,1,1,8-6 图示为水平放置的圆截面开口圆环,试求铅垂力,F,的相应位移(即开口的张开位移)。圆环横截面的直径,d,和材料常数,E,、,G,均已知。,解:求单力系统广义力的相应位移,可用实功原理计算。任一截面上的内力为:,则铅垂力,F,的相应位移,为:,R,8-6 图示为水平放置的圆截面开口圆环,试求铅垂力,F,的相应位移(即开口的张开位移)。圆环横截面的直径,d,和材料常数,E,、,G,均已知。,解:用单位力法计算。任一截面上的内力为:,R,=1,=1,8-9作用有横力的简支梁,AB,,其上用五杆加强,如图所示。已知梁的弯曲刚度为,EI,,各杆的拉压刚度均为,EA,,且,I=Aa,2,/10,。若,F,=10kN,试求杆,EG,的轴力。,解:一次超静定组合结构,将杆,EG,截开得静定基,有,计算外力单独作用于静定基上时内力,M,F,、,F,NF,,不计梁式杆,AB,的轴力,M,F,、,F,NF,:,0,Fa,X,1,F,F,F,F,0,0,0,0,0,计算单位广义力单独作用于静定基上时内力,M,0,1,、,F,0,N,,不计梁式杆,AB,的轴力,M,0,1,、,F,0,N,:,a,-1,-1,1,1,X,1,=1,8-9作用有横力的简支梁,AB,,其上用五杆加强,如图所示。已知梁的弯曲刚度为,EI,,各杆的拉压刚度均为,EA,,且,I=Aa,2,/10,。若,F,=10kN,试求杆,EG,的轴力。,M,F,、,F,NF,:,0,Fa,X,1,F,F,F,F,0,0,0,0,0,M,0,1,、,F,0,N,:,a,-1,-1,1,1,X,1,=1,(受压),8-10 试求图示各刚架截面,A,的位移和截面,B,的转角,,EI,为已知。,解:刚架由直杆组成,莫尔积分可用图乘法计算,且忽略轴力对位移的影响。,A,为可动铰支座,M,e,M,e,M,e,M,e,/2a,M,e,/2a,M,F,:,1,1,1,1,2a,2a,M,0,Ax,:,1/2a,1,1/2a,1,1,M,0,B,:,8-10 试求图示各刚架截面,A,的位移和截面,B,的转角,,EI,为已知。,解:刚架由直杆组成,莫尔积分可用图乘法计算,且忽略轴力对位移的影响。,ql/2,ql,ql/2,ql,2,M,0,Ay,:,1/2,1,l,/4,1/2,与,Ay,相应的单位力只在水平杆上引起弯矩,且外力在水平杆上引起的弯矩图为一段直线,故有,M,F,:,ql,2,/2,ql,2,/2,ql,2,3ql,2,/4,8-10 试求图示各刚架截面,A,的位移和截面,B,的转角,,EI,为已知。,解:刚架由直杆组成,莫尔积分可用图乘法计算,且忽略轴力对位移的影响。,ql/2,ql,ql/2,ql,2,M,0,Ax,:,1,1,l,1,1,l,M,F,:,ql,2,/2,ql,2,/2,ql,2,8-10 试求图示各刚架截面,A,的位移和截面,B,的转角,,EI,为已知。,解:刚架由直杆组成,莫尔积分可用图乘法计算,且忽略轴力对位移的影响。,ql/2,ql,ql/2,ql,2,M,F,:,ql,2,/2,ql,2,/2,ql,2,M,0,B,:,1/l,1,1,1/l,1,即:,8-11 试求解图示各结构:(a)各杆的轴力。,解:一次超静定结构,将杆,1,截开取静定基,X,1,1,F,F,F,0,0,0,0,0,0,1,1,(拉),(压),(拉),8-11 试求解图示各结构(b),B,端的反力和截面,D,的位移。,解:一次超静定结构,取静定基,X,1,q,ql,2,/2,F,ByF,=3ql/2,M,F,:,F,0,By,=-2,1,-1,l,M,0,1,:,1,l,M,0,D,:,0,0,或:,8-13 图示为等截面刚架,重物(重量为,P,)自高度,h,处自由下落冲击到刚架的,A,点处。已知,P=300N,,,h=50mm,,,E=200GPa。,试求截面,A,的最大竖直位移和刚架内的最大冲击正应力(刚架的质量可略去不计,且不计轴力、剪力对刚架变形的影响)。,解:计算撞击点的静位移,
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