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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4.,2,劳斯稳定判据,(,Routh,s stability criterion),将各项系数，按下面的格式排成劳斯表,一、劳斯表,前一页,后一页,这样可求得,n+1,行系数,如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在,S,的左半平面，相应的系统是稳定的。,如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在,S,的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,劳斯稳定判据,前一页,后一页,二阶、三阶系统,已知一调速系统的特征方程式为,例,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：列劳斯表,该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在,S,的右半平面。,前一页,后一页,已知某调速系统的特征方程式为,例,求该系统稳定的,K,值范围。,解：列劳斯表,),1,(,1670,0,5,.,41,),1,(,1670,517,5,.,41,0,),1,(,1670,5,.,41,0,517,1,0,1,2,3,K,S,K,S,K,S,S,+,+,-,.,+,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：,前一页,后一页,劳斯判据特殊情况,劳斯表某一行中的第一项等于零，而其余各项不全为零（至少有一个不为零）,是以一个很小的正数,e,来代替为零的这项,，,据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列,解决的办法,前一页,后一页,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在,S,右半平面上根的数目，相应的,系统为不稳定,如果第一列,e,上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属(,不)稳定,已知系统的特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。,例,解：列劳斯表,前一页,后一页,0,1,2,3,4,=,+,+,+,3S,S,S,2,6S,+,(6,e-2,),/e-,-,),(,0,6,2,3,1,1,2,3,4,S,S,S,S,e,S,1,0,1,1,不稳定，有两个根在,S,平面右半部,劳斯表中出现全零行,用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。,解决的办法,这些对称分布的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的，所以辅助多项式的阶数总是偶数,前一页,后一页,表明有对称分布的根,这些根都是偶数，所以可以辅助多项式的阶书数总是偶数,例如，一个控制系统的特征方程为,列劳斯表,显然这个系统处于临界,(,不),稳定状态。,s,s,s,F,16,12,2,),(,2,4,+,+,=,0,),4,)(,2,(,2,),8,6,(,2,16,12,2,),(,2,2,2,4,2,4,=,+,+,=,+,+,=,+,+,=,s,s,s,s,s,s,s,F,前一页,后一页,8 24,二、劳斯判据的应用,实际系统希望,S,左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。,为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线,此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,代入原方程式中，得到以,稳定判据能回答特征方程式的根在,S,平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。,解决的办法,设,右侧。,前一页,后一页,用劳斯判据检验下列特征方程,是否有根在,S,的右半平面上，并检验有几个根在垂线,的右方。,例,s,1,s,1,-,0,解：列劳斯表,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。,前一页,后一页,令,代入特征方程：,式中有负号，显然有根在,的右方。,列劳斯表,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线,的右方。,前一页,后一页,已知一单位反馈控制系统如图，试回答,例,时，闭环系统是否稳定？,单位反馈控制系统方块图,时，闭环系统的稳定条件是什么？,排劳斯表,第一列均为正值，,S,全部位于左半平面，故,时，闭环系统的,特征方程为,解：,系统稳定,前一页,后一页,开环传递函数,闭环特征方程为,列劳斯表,前一页,后一页,利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值,前一页,后一页,缺点：不能指出怎样改变结构、参数才能改善系统的稳定性,
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