高等代数--初等函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,初等函数,2.2.1,指数函数,2.2.0,整幂函数,2.2.3,双曲函数,2.2.4,小结与思考,2.2.2,三角函数,1,2.2.0 (,整,),幂函数,Def,：称,为幂函数,性质,(1).,z=,x,R,时,z,n,=,x,n,(2).,令,z=,re,i,=,r,(cos,+,i,sin,),z,n,=,r,n,e,in,=,r,n,(cos(,n,) +,i,sin(,n,) ),2,这里的,e,x,是实指数函数,2.2.1,指数函数,1.,指数函数的定义,:,定义,2.4,对于任何复数,z=,x+iy,规定,实的正,余弦函数,3,2,指数函数的性质,复指数函数与实指数函数保持一致,.,(4).,加法定理,(5),e,z,是以,2, i,为基本周期的周期函数,4,(1),证明加法定理,证,几点说明：,加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明,5,因为：当,z,沿实轴趋于,+,时,e,z,;,当,z,沿实轴趋于,-,时,e,z,0,.,2, i,是,e,z,的周期,2, i,是,e,z,的基本周期,6,例1,解,7,例,2,解,求出下列复数的辐角主值,:,8,9,10,例,3,解,11,2.2.3,三角函数,1.,三角正弦与余弦函数,将,两式相加与相减,得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况,.,12,定义,2.5,对任意的复数,z,规定,z,的,性质,:,(2),正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数,.,13,遵循通常的三角恒等式，如,14,15,例,9,解,16,(,注意：这是与实变函数完全不同的,),sin,z,的零点,(i.e.,sin,z,=0,的根,),为,z=n,cos,z,的零点,(i.e.,cos,z,=0,的根,),为,z=,(,n+,1/2),n=,0,1, 2,n,(5),(6),sin,z,cos,z,在复数域内均是无界函数,17,2.,其他复变数三角函数的定义,1.,都是相应实函数的推广,2.,定义域：,tan,z,sec,z,的定义域为,z,(,k+,1/2),cot,z,csc,z,的定义域为,z,k,3.,它们都在自己的定义域内解析。,(,tan,z,),=sec,2,z,(,cot,z,),=-csc,2,z,(,sec,z,),=,tan,z,sec,z,(,csc,z,),=-,cot,z,csc,z,4.,tan,z,cot,z,的周期是,sec,z,csc,z,的周期是,2,5,sec,z,是偶函数,tan,z,cot,z,csc,z,是奇函数,18,例,10,解,19,例,11,解,20,例,12,解,21,22,1.,双曲函数的定义,2.2.4,双曲函数,2.,双曲函数的性质,23,它们的导数分别为,并有如下公式,:,它们都是以,为周期的周期函数,24,例,13,解,25,2.2.5,小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性,.,如,:,1.,指数函数具有周期性,2.,三角正弦与余弦不再具有有界性,3.,双曲正弦与余弦都是周期函数,26,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同,?,27,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式,.,最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,放映结束，按,Esc,退出,.,28,