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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元复合函数的求导法则,第十七章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.,若函数,处偏导连续,在点,t,可导,则复合函数,证:,设,t,取增量,t,则相应中间变量,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有增量,u,v,(全导数公式),(,t0,时,根式前加“”号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若定理中,说明,:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续,减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定理结论,不一定成立.,推广:,1)中间变量多于两个的情形.,例如,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定,y,对,x,求导,表示固定,v,对,x,求导,口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设,求全导数,解:,注意：,多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见,引入记号,例4.,设,f,具有二阶连续偏导数,求,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,当 在二、三象限时,),例5.,设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解,:,已知,极坐标,系下的形式,(,1),则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题目 目录 上页 下页 返回 结束,已知,注意利用,已有公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得,题目 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论,u,v,是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做,全微分形式不变性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解,:,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论,u,v,是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,解答提示:,P31 题7,P31,题7;8,(2),;,P73,题11,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P31,题,8(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P31 2;4;6;9;,10;12(4);13,P73,题,11,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.已知,求,解:,由,两边对,x,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求,在点,处可微,且,设函数,解:,由题设,(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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