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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章,传递函数矩阵的矩阵分式描述与结构特性,引言,传递函数矩阵的矩阵分式描述（,MFD,Matrix Fraction Description）,是复频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。本章前半部分将对,MFD,做较为系统和全面的讨论，主要内容包括,MFD,的形式、构成、真性、严真性和不可简约性等。,本章后半部分讨论传递函数矩阵的结构特性，它是复频域分析和综合的基础。传递函数矩阵的结构特性由,极点和零点的分布属性、极点和零点的不平衡属性,表示：,极点和零点的分布属性：,决定系统的稳定性和运动行为；,极点和零点的不平衡属性：,反映系统的奇异特性和奇异程度。,其中，我们需要重点掌握的内容包括,Smith-McMillan,型、结构指数、极点和零点。,本章主要内容,矩阵分式描述,规范矩阵分式描述,埃米特型、波波夫型、史密斯-麦可米伦型,MFD,传递函数矩阵的极点、零点和结构指数,传递函数矩阵的评价值（略）,传递函数矩阵的零空间和最小多项式基（略）,7.1 矩阵分式描述,MFD,实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵,G,(,s,),表示为两个多项式矩阵之,“比”,。,MFD,形式上则是对标量有理分式形式传递函数,g,(,s,),相应表示的一种自然推广。,1,右,MFD,和左,MFD,考虑,p,维输入和,q,维输出的连续线性时不变系统，其输入输出关系的传递函数矩阵,G,(,s,),为,q,p,有理分式矩阵，其表示形式为,严格真有理矩阵：,有理矩阵,G,(,s,),满足,G,()=,0,。,真有理矩阵：,有理矩阵,G,(,s,),满足,G,()=,G,0,(,非,零常数,)。,考察,G,(,s,),是否为严格真有理矩阵或真有理矩阵，只要观察,G,(,s,),中的元素,g,ij,(,s,)=,n,ij,(,s,)/,d,ij,(,s,),是否有,deg,n,ij,(,s,)deg,d,ij,(,s,)。,数学上，对,q,p,有理分式矩阵,G,(,s,)，,总能因式分解成：,右矩阵分式描述,：,G,(,s,)=,N,r,(,s,),D,r,-1,(,s,)(6-2),和,左矩阵分式描述,：,G,(,s,)=,D,l,-1,(,s,),N,l,(,s,),其中,右分母矩阵,：,p,p,阶方阵,D,r,(,s,)；,右分子矩阵,：,q,p,阶矩阵,N,r,(,s,)；,左分母矩阵,：,q,q,阶方阵,D,l,(,s,)；,左分子矩阵,：,q,p,阶矩阵,N,l,(,s,)。,其中,d,ci,是,G,(,s,),中第,i,列元素的最小公分母；,d,ri,是,G,(,s,),中第,i,行元素的最小公分母。,例如，,【,例7-1,】,给定2,3,传递函数矩阵,G,(,s,),为,解,首先构造,G,(,s,),的右,MFD。,为此，定出,G,(,s,),各,列,的,最小公分母如下：,d,c1,(,s,)=(,s,+2)(,s,+3),2,，,d,c2,(,s,)=(,s,+3)(,s,+4)，,d,c3,(,s,)=(,s,+1)(,s,+2),进而,，,构造,G,(,s,),的左,MFD。,为此，定出,G,(,s,),各,行,的最小公分母如下：,d,r1,(,s,)=(,s,+2)(,s,+3),2,，,d,r2,(,s,)=(s+1)(,s,+3)(,s,+4),由此可以导出,G,(,s,),的右,MFD,为,由此可以导出,G,(,s,),的左右,MFD,为,2,MFD,的特性,(1),MFD,的实质,类似于,SISO,线性时不变系统的传递函数的分式化表示，,MIMO,线性时不变系统的传递函数矩阵的,MFD,G,(,s,)=,N,r,(,s,),D,r,-1,(,s,)=,D,l,-1,(,s,),N,l,(,s,),实质上，上式也属于,G,(,s,),的分式化表示。因此，称,D,r,(,s,)、,D,l,(,s,),为,G,(,s,),的分母矩阵，,N,r,(,s,)、,N,l,(,s,),为,G,(,s,),的分子矩阵。,(2),MFD,的次数,对传递函数矩阵,G,(,s,),的一个右,MFD，,规定,N,r,(,s,),D,r,-1,(,s,),的,次数=,deg,det,D,r,(,s,),(7,4),对传递函数矩阵,G,(,s,),的一个左,MFD，,规定,D,l,-1,(,s,),N,l,(,s,),的次数=,deg,det,D,l,(,s,)(7,5),注：,对于同一个,G,(,s,)，,其右,MFD,的,次数和左,MFD,的次数,一般不相等,。,(3),MFD,的不惟一性,对传递函数矩阵,G,(,s,)，,其右,MFD,和左,MFD,不惟一，且不同的,MFD,可能具有不同的次数。,解,G,(,s,),的,两个,MFD,为,【,例7-2,】,给定2,2,传递函数矩阵,G,(,s,),为,并且可求出,deg det,D,1r,(,s,)=6，deg det,D,2r,(,s,)=5。,两右,MFD,的次数是不等的。,对于传递函数矩阵,G,(,s,),的,MFD，,无论是右,MFD,还是左,MFD，,表征其结构特征的两个基本特性为真性（严真性）和不可简约性。,3 真性(严真性)有理矩阵定理,定理7-1,设,G,(,s,),是,r,m,阶真性(严真性)有理矩阵，,G,(,s,)=,N,r,(,s,),D,r,-1,(,s,)=,D,l,-1,(,s,),N,l,(,s,)，,则,【,例7-3,】,真有理矩阵,G,(,s,)=,N,r,(,s,),D,r,-1,(,s,)，,其多项式矩阵,N,r,(,s,)、,D,r,(,s,),如下,从两个多项式矩阵可知，,c,1,N,r,(,s,),=2,c,1,D,r,(,s,)=2,c,2,N,r,(,s,),=2 ,c,2,D,r,(,s,)=3,注意,：,上述定理的逆命题并不成立，下面是一个说明这个问题的实例。,【,例7-4,】,矩阵,G,(,s,)=,N,r,(,s,),D,r,-1,(,s,)，,多项式矩阵,N,r,(,s,)、,D,r,(,s,),如下,解,由两个多项式矩阵可知，,cj,N,r,(,s,),cj,D,r,(,s,)，,j,=1,2,但是，,G,(,s,)=,N,r,(,s,),D,r,-1,(,s,)=-2,s,1 2,s,2,-,s,+1,却,是,多项式矩阵,，既不是真有理矩阵，更不是严格真有理矩阵。,定理7-2,设,N,r,(,s,),和,D,r,(,s,),是,r,m,和,m,m,阶多项式矩阵，且,D,r,(,s,),是列既约的,，则有理矩阵,N,r,(,s,),D,r,-1,(,s,),是真性(严真性)有理矩阵的充要条件是,定理7-3,每一个非奇异多项式方阵,M,(,s,),都可以通过单模矩阵,U,r,(,s,),或,U,l,(,s,),将其变换成列既约矩阵,M,(,s,),U,r,(,s,),或行,既约矩阵,U,l,(,s,),M,(,s,)。（,祥见上一章）,定理7-4,(,多项式矩阵除法定理,)设,N,r,(,s,),和,D,r,(,s,),是两个,r,m,和,m,m,阶多项式矩阵，且,D,r,(,s,),非奇异,，则存在唯一的,r,m,阶多项式矩阵,Q,r,(,s,),和,R,(,s,),使得,N,r,(,s,)=,Q,r,(,s,),D,r,(,s,)+,R,(,s,),(7-31),且,R,(,s,),D,r,-1,(,s,),是严真性有理矩阵，或者说在,D,r,(,s,),为列,既约条件下,cj,R,(,s,),cj,D,r,(,s,),j,=1,2,m,(7-32),定理7-4的对偶定理,设,N,l,(,s,),和,D,l,(,s,),是两个,r,m,和,r,r,阶多项式矩阵，且,D,l,(,s,),非奇异,，则存在唯一的,r,m,阶多项式矩阵,Q,l,(,s,),和,L,(,s,),使得,N,l,(,s,)=,D,l,(,s,),Q,l,(,s,)+,L,(,s,),(7-33),且,D,l,-1,(,s,),L,(,s,),是严真性有理矩阵，或者说在,D,l,(,s,),是行既约的条件下，有,ri,L,(,s,)deg,d,ij,(,s,)，,j,=1,2,i,-1,。,当,d,ii,(,s,)=1，,满足关系式,d,ij,(,s,)=0，,j,=1,2,i,-1,。,则称,N,rh,(,s,),D,rh,-1,(,s,),为,G,(,s,),的列,Hermite,型,MFD。,定义7-2,行,Hermite,型,MFD,对于,q,p,传递函数矩阵,G,(,s,),的左,MFD，,G,(,s,)=,D,lh,-1,(,s,),N,lh,(,s,)，,如果,q,q,分母矩阵,D,lh,(,s,),具有行,Hermite,型：,其中，,对角元,d,ii,(,s,),为首1多项式，,i,=1,2,q,。,当,d,ii,(,s,),为含,s,多项式，满足关系式,deg,d,ii,(,s,)deg,d,ji,(,s,)，,j,=1,2,i,-1,。,当,d,ii,(,s,)=1，,满足关系式,d,ji,(,s,)=0，,j,=1,2,i,-1,。,则称,N,rh,(,s,),D,rh,-1,(,s,),为,G,(,s,),的列,Hermite,型,MFD。,Hermite,型,MFD,的,惟一性,对,q,p,传递函数矩阵,G,(,s,)，,其所有不可简约右,MFD,均具有相同,列,Hermite,型,MFD,N,rh,(,s,),D,rh,-1,(,s,)，,其,所有不可简约左,MFD,均具有相同,行,Hermite,型,MFD,N,lh,(,s,),D,lh,-1,(,s,)。,证明,略。,2,Popov,型,MFD,对,q,p,传递函数矩阵,G,(,s,)，,给出,Popov,型右,MFD,和,Popov,型左,MFD,的定义。,定义7-3,Popov,型,MFD,对于,q,p,传递函数矩阵,G,(,s,),的,MFD，,G,(,s,)=,N,rE,(,s,),D,rE,-1,(,s,)=,D,lE,-1,(,s,),N,lE,(,s,)。,如果,p,p,分母矩阵,D,rE,(,s,),具有,Popov,型，则称,N,rE,(,s,),D,rE,-1,(,s,),为,G,(,s,),的,Popov,型右,MFD,；,如果,q,q,分母矩阵,D,lE,(,s,),具有,Popov,型，,则称,N,lE,(,s,),D,lE,-1,(,s,),为,G,(,s,),的,Popov,型左,MFD,。,Popov,型,MFD,的,惟一性,对,q,p,传递函数矩阵,G,(,s,)，,其所有不可简约右,MFD,均具有相同,Popov,型右,MFD,N,rE,(,s,),D,rE,-1,(,s,)，,其,所有不可简约左,MFD,均具有相同,Popov,型左,MFD,N,lE,(,s,),D,lE,-1,(,s,)。,证明,略。,7-3,史密斯-麦可米伦型,史密斯-麦可米伦（,Smith-McMillan）,型是有理分式矩阵的一种重要规范型。由,B.McMillan,于1952年在推广多项式矩阵的,Smith,型基础上提出。它是分析传递函数矩阵的极点和零点的重要的概念性和理论性工具。,1,Smith-McMillan,型,的定义,定义7-4,Smith-McMillan,型的,定义：当且仅当秩为,r,的,q,p,有理分式矩阵,M,(,s,),具有如下形式：,其中，,i,(,s,),i,(,s,),为互质，,i,=1,2,r,；,满足整除性,i+1,(,s,)|,i,(,s,),和,i,(,s,)|,i+1,(,s,),为，,i,=1,2,r,-1,。,则称该,M,(,s,),为,Smith-McMillan,型。,2,Smith-McMill
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