某科技大学研究生课程随机过程14课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Poisson过程,计数过程,称,实,随机过程N(t),t,0,是计数过程，如果N(t)表示直到t时刻为止发生的某随机事件数,性质,N,(,t,),是非负整数,表示时间间隔,t-s,内发生的随机事件数,Poisson过程计数过程 称实随机过程N(t),t,实例,1.电话交换台的呼叫次数,2.放射性裂变的质点数,3.发生故障而不能工作的机器数,4.通过交通路口的车辆数,5.来到某服务窗口的顾客数,.,以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也,统一叫做,随机点,实例1.电话交换台的呼叫次数以上实例中的呼叫,质点,机器,车,Poisson,过程,定义,若计数过程,N,(,t,),t,0,满足,是平稳的独立增量过程,服从参数是,t,的Poisson,分布,即,则称计数过程,N,(,t,),t,0是参数(强度,比率)为,的,Poisson过程.,Poisson过程定义若计数过程 N(t),t0 满足,定理,设,N,(,t,),t,0,是参数为,的Poisson,过程，则,定理 设 N(t),t0 是参数为 的Poisso,证明,1),由定义,显然有,又对s,0,t,0,不妨设st,则有,是独立增量,证明 1) 由定义,显然有又对s0, t 0,不妨设s,平稳性,由定义,平稳性由定义,Poisson过程的等价定义,称计数过程 ,N,(,t,),t,0 是参数为,的Poisson过程，如果：,等价性证明见教材page55-56,Poisson过程的等价定义称计数过程 N(t),t0,Poisson过程的到达时间与到达时间间隔分布,设 ,N,(,t,),t,0 是参数为,的Poisson过程，,则,N,(,t,)表示时间区间0,t)内到达的随机点数.,到达时间(序列),表示第,i,个随机点的到达时刻,则称,为,Poisson过程的,到达时间序列.,Poisson过程的到达时间与到达时间间隔分布设 N(t),到达时间间隔(序列),它表示第n,-,1个随机点与第n个,随机点的到达时间间隔,则称,为,Poisson过程的,到达时间间隔(序列),到达时间间隔(序列)它表示第n-1个随机点与第n个随机点的到,显然有,关于,Poisson过程中的这两个序列的概率分布,有以下结论,显然有关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布,定理,(,到达时间间隔分布),设,N,(,t,),t,0,是参数为,的Poisson过程，,是其到达时间间隔序列，则,是相互独立同服从参数为,的指数分布,证明,独立性,由于poisson过程是平稳的独立增量过程,所以,相互独立.,定理 (到达时间间隔分布)设N(t),t0 是参数为,下证同分布,T,1,T,2,的独立性,平稳性,下证同分布T1,T2的独立性平稳性,T,1,T,2,T,n,的独立性,平稳性,得证,T1,T2Tn的独立性平稳性得证,定理,(,到达时间序列分布),设,N,(,t,),t,0 是,参数为,的Poisson过程,则,其到达时间,服从,分布,密度为,证明,的分布函数,定理 (到达时间序列分布)设N(t),t0 是参数为,第n个随机点的到达时刻,再求导数,第n个随机点的到达时刻再求导数,所以到达时间序列的密度函数为,本题目还可以用特征函数证明,见教材,所以到达时间序列的密度函数为本题目还可以用特征函数证明,见教,Poisson过程中到达时间的条件分布,问题:,设 ,N,(,t,),t,0 是参数为,的Poisson过程，,如果在0，t)内仅有一个随机点到达,是其到达时间,则该随机点的到达时间,服从怎样的概率分布?,Poisson过程中到达时间的条件分布问题:,如果在0，t)内仅有一个随机点到达，则该随机点的到达时间,服从0,t上的均匀分布. 即,事实上,st时,有,如果在0，t)内仅有一个随机点到达，则该随机点的到达时间,更一般有以下问题,设,N,(,t,),t,0,是参数为,的Poisson过程,如果,在0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时间,服从怎样的概率分布?,更一般有以下问题设 N(t),t0 是参数为 的Po,定理,设,N,(,t,),t,0,是参数为,的Poisson过程,如果在0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时间,和 n 个相互独立同服从0,t,上的均匀分布的随机变量U,1,U,2,U,n,的顺序统计量,即,定理 设 N(t),t0 是参数为 的Poisso,证明,证明,某科技大学研究生课程随机过程14课件,某科技大学研究生课程随机过程14课件,例,假设乘客按照参数为,的Poisson过程来到一个火车站乘坐某次火车，若火车在时刻t启动，试求在0,t内到达火车站的乘客等待时间总和的数学期望,例 假设乘客按照参数为的Poisson过程来到一个火车站,某科技大学研究生课程随机过程14课件,某科技大学研究生课程随机过程14课件,某科技大学研究生课程随机过程14课件,7.复合poisson过程,定义,设 ,N,(,t,),t,0 是参数为,的Poisson过程,Y,k,.k=1,2,是一列独立同分布的随机变量,且与,N,(,t,),t,0独立,称 ,X,(,t,),t,0为复合Poisson过程.,7.复合poisson过程定义 设 N(t),t0,若将,N,(,t,),表示0,t)内的随机点数,Y,k,表示第k个随机点,所携带的某种(能)量,则总量为,即 ,X,(,t,),t,0为复合Poisson过程,若将N(t)表示0,t)内的随机点数, Yk表示第k个随机,定理,设 ,X,(,t,),t,0为复合Poisson过程.则, ,X,(,t,),t,0的一维特征函数为,其中,f,(,u,),是,Y,n,(,n,=1,2,),的特征函数, 若,证明, 由特征函数的定义可得,X(t),的特征函数为,定理 设 X(t),t0为复合Poisson过程.,Y,n,与N(t),独立,Y,n,独立同分布,Yn与N(t)独立Yn独立同分布, 由于特征函数与矩有关系,则对,X(t),的特征函数求导数,所以,所以, 由于特征函数与矩有关系则对X(t)的特征函数求导数所以,例1,设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程，平均每周有2户定居，即,=2,.,如果每户的人口数是随机变量,一户4人的概率为1/6，一户3人的概率为1/3，一户2人的概率为1/3，一户1人的概率为1/6，且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区的人口数的数学期望和方差,例1 设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程，平,和,中出现第次事件,例2,设,是两个相互独立,的Poisson过程，它们在单位时间内发生事件的平均数分别为,1,和, .,设,代表第一过程,中出现第次事件所需的时间，,代表第二过程,所需的时间试求：,(1)第一过程中出现第一次事件先于第二过程出现第一次事件的概率，即,(2),和中出现第次事件例2 设是两个相互独立的Poisson过程,解题思路:,考虑两个随机变量的联合密度函数,再计算有关的概率,解题思路:,例3,某中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔一个记录一次，假设粒子是按照比率4个每分钟的Poisson 过程到达，令T是两个相继被记录粒子之间的时间间隔（单位：分钟）,试求,：1）T的概率密度；,2）,例3 某中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔一个记录一次，,解题思路:,由poisson过程是平稳的独立增量过程.,可知相继被记录的时间间隔是独立同分布的.,解题思路:,例4,设有两个相互独立的、强度分别为 和 的 Poisson过程 和 ，试证在过程 中两个相邻事件间，过程,出现k个事件的概率为,例4 设有两个相互独立的、强度分别为 和 的 Poi,证明思路:,证明思路:,本章作业,1. 2. 3. 7. 8. 9. 10. 12. 14. 15. 17. 19.,本章作业,