2-3 连续型随机变量及其概率密度

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,有关要点回顾,2,连续型随机变量,随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量,.,1,离散型随机变量,随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量,.,.,离散型随机变量的分布律,为,1.,2.,（非负性）,（归一性）,其中,连续型随机变量,X,所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其概率分布,.,下面学习连续型随机变量及其概率密度,连续型随机变量的概念,三种重要的连续型随机变量,小结,2.3,连续型随机变量及其概率密度,设离散型随机变量,X,在,a, b,内取,n,个值,:,x,1,=,a,x,2,x,3,x,4, ,x,n,=,b,X,即小矩形的面积为,取对应点的概率,x,1,=,a,P,x,2,x,3,s,1,s,2,s,3,s,n,.,x,n,=b,折线下面积之和！,连续型随机变量的概念,X,的概率,直方图：,(1),定义的引出,若,X,为连续型,随机变量，由于,X,在,a, b,内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线,而且：,X,a,P,.,b,由此推出连续,型随机变量,的定义,设,X,是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数,f,(,x,),，满足条件,1.,2.,对于任意的,3.,则称,X,是,连续型随机变量,，,称为,X,的,概率密度函数,简称概率密度,.,(2),连续型随机变量的定义,概率密度函数的性质,1),2),1,这两条性质是判定一,个函数,f(x,),是否为某,个随机变量,X,的概率,密度函数的充要条件,.,3) X,落入区间,a,b,内的概率,注意,对于任意可能值,a,连续型随机变量取,a,的概率等于零,.,即,连续型随机变量取值落在某一,区间的概率与区间的开闭无关,由此可得,这是因为,故,X,的密度,f(x,),在,x,这一点的值，恰好是,X,落在区间,上的概率与区间长度,之比的极限,.,这里，如果把概率理解为质量，,f (x),相当于线密度,.,若,x,是,f(x,),的连续点，则：,=,f(x,),(,),对,f(x,),的进一步理解,密度函数,f (x),在某点处,a,的高度，并不反映,X,取值的概率,.,但是，这个高度越大，则,X,取,a,附近的值的概率就越大,.,也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度,.,1,问题：,f,(,a,),是,=,a,的概率吗？,事实上，若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量,X,取值于,的概率近似等于,.,在连续型,r.v,理论中所起的作用与,在离散型,r.v,理论中所起的,作用相类似,.,P,X,=,a,=0,而,X=a,并非不可能事件,.,可见，,由,P,(,A,)=0,不能推出,由,P,(,B,)=1,不能推出,B=,问题：,概率为零的事件一定是不可能事件吗？,类似可知，,解,例,1,得,2.,三种重要的连续型随机变量,(,),均匀分布,均匀分布的意义,事实上,，,若,X,U,(,a,b,),，则对于满足,的,c,d,总有,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五,入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五,入时，那么一般认为误差服从（,-0.5, 0.5,）上的均匀分布。,如公交系统中乘客随机乘车的等车时间,解,设,X,表示他等车时间（以分计），则,X,是一个随机变量，且,X,的概率密度为,例,2,（等待时间）公共汽车每,10,分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站,.,求他等车时间不超过,3,分钟的概率,.,所求概率为,解,由题意,R,的概率密度为,故有,例,3,设电阻值,R,是一个随机变量，均匀分布在, 1100,求,R,的概率密度及,R,落在,950 1050,的概率,例,4,设随机变量,X,在, 2, 5 ,上服从均匀分布,现对,X,进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于,3,的概率,.,X,的分布密度函数为,设,A,表示“对,X,的观测值大于,3 ”,Y,表示,3,次独立观测中观测值大于,3,的次数,.,解,则,因而有,(2),指数分布,指数分布的重要性质,:“,无记忆性,”,.,证明,而,于是,指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！,指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间,.,有些系统的寿命分布也可用指数分布来,近似,当电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布,.,在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等,.,在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间,.,指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况,.,一般地,当随机质点流中在长,t,的时间内出现的质点数服从参数为,t,的泊松分布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为,的指数分布,.,例,5,某种电子元件的寿命,(,以小时计,),X,服从指数分,布,其概率密度为,(1),求元件寿命至少为,200,小时的概率,.,(2),将,3,只这种元件联接成为一个系统，设系统工作,的方式是至少,2,只元件失效时系统失效，又设,3,只元,件工作相互独立,.,求系统的寿命至少为,200,小时的概,率,.,解,(1),元件寿命至少为,200,小时的概率为,(2),以,Y,记,3,只元件中寿命小于,200,小时的元件的只数,.,由于各元件的工作相互独立，又由,(1),知一元件的寿命小于,200,小时的概率为,1-e,-2,故有,2,只及,2,只以上元件的寿命小于,200,小时的概率为,故系统的寿命至少为,200,小时的概率为,(3),正态分布,(,或,高斯分布,),高斯资料,正态概率密度函数的几何特征,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如,测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,;,正常情况下生产的产品尺寸,:,直径、长度、重量,高度等都近似服从正态分布,.,正态分布的应用与背景,正态分布的概率计算等有关问题在第章讲解,三、小结,常见连续型随机变量的分布,均匀分布,正态分布,(,或高斯分布,),指数分布,课堂思考,某公共汽车站从上午,7,时起，每,15,分钟来一班车，即,7:00,，,7:15,，,7:30, 7:45,等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间,X,是,7:00,到,7:30,之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于,5,分钟的概率,.,解：,依题意，,X,U,( 0, 30 ),以,7:00,为,起点,0,，以分为单位,为使候车时间,X,少于,5,分钟，乘客必须在,7:10,到,7:15,之间，或在,7:25,到,7:30,之间到达车站,.,所求概率为：,从上午,7,时起，每,15,分钟来一班车，即,7:00,，,7:15,，,7:30,等时刻有汽车到达汽车站,，,即乘客候车时间少于,5,分钟的概率是,1/3.,区间,( 0, 1),上的均匀分布,U,(0,1),在计算机模拟中起着重要的作用,.,实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从,( 0, 1),上均匀分布的随机数,.,它是由一种迭代过程产生的,.,严格地说，计算机中产生的,U,(0,1),随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为,伪随机数,.,知识拓展,如取,n,足够大，独立产生,n,个,U,(0,1),随机数，则从用这,n,个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于,( 0, 1),上的均匀分布,U,(0,1).,作业,P68: 8,、,11,Born:,30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany),Died:,23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany),Carl Friedrich Gauss,高斯资料,