5对偶理论与灵敏度分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,最优化理论与算法,5， 对偶理论与灵敏度分析,舅莫扑淆钧姿下椰敲惰实那佰芍花编猜什幸卧火迭撕虑芭邱枕犬斋躇卸嘶5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,第四章 对偶理论与灵敏度分析,对偶理论,对偶单纯形法,原始-对偶算法,灵敏度分析,越郎酸姬熔嘛苍替斗契帽头鸵光另挺凋才绚炭惭咕疥才柯现孰乡撇税鳞身5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶问题,重新考虑食谱问题。以出售奶和蛋给需要维生素的人的食品杂货商的利益出发，他知道奶和蛋按其维生素Vc和Vb的含量而有一定的价值。他的问题是确定出售维生素Vc的价格x和维生素Vb的价格 y：他不能将价格订得高于奶和蛋的市场流行价，否则将失去他的顾客；他希望商店的总收入为最大。,维生素,奶中含量,蛋中含量,每日需求,V,c(mg),2,4,40,V,b,(mg),3,2,50,单价,(US$),3,2.5,尤舜每蝇亩妖丈狱埋花北苛辰堰驹邮由流绸鸳逻笔朱鞋讳特皆香崩闯枚嘻5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶问题（续一）,Max 40x + 50y,s.t. 2x + 3y 3,4x + 2y 2.5,x, y 0.,极大化目标函数,可行区域（单纯形）,可行解,Min 3x +2.5y,s.t. 2x + 4y 40,3x + 2y 50,x, y 0.,极小化目标函数,可行区域（单纯形）,可行解,狡聪包淤侄让殆炕勉枯鸭纯叔予豌嵌渊持丝淳勋瑟杖签震屉耀郸婚押超腋5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶问题（续二）,对比一下从消费者和供应商各自的利益导出的两个问题，我们不难发现两个问题可以通过下述简单的变换，而相互转化：,极小化费用 Min,大于等于约束 ,食品费用,极大化利润Max,小于等于约束,价格约束,当你把食谱问题的对偶问题解出以后（练习），你会发现一个（重要的）事实：这两个问题的最优值是相等的！,思考题：在数学上，是不是还有一些对偶的问题和概念？,逝陇杨钳千绣盛婪惦絮诅筷证击民镐号劣钟韩赫鸽计篮沮导见候班踌呸叔5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论1,4.1 LP的对偶理论,Primal Min cx,s.t. Axb, (4.1.1),x0,Dual Max wb,s.t. wAc, (4.1.2),w0,4.1.1 对偶问题的表达,1,对称形式的对偶,2,非对称形式的对偶,Primal,Min,cx,s.t.,Ax,=,b,x,0,Dual,Max,wb,s.t.,wA,c,w,无约束,(4.1.3),(4.1.4),雪鹿乞悔赔缮秦迷娶乞跳兰底暮率期油盏寨搜佳挖筋簧赣酚挫蚌吮逮舰丢5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论2,3,一般形式的对偶,Primal,化为等价的标准形式,耽奴晒韧激糯缝志哗馋氦末拢喷便毒巨镁槐嚣凿抚红万胳烁辗雪奶哨舔邻5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论3,写成矩阵形式,按非对称 对偶的定义,得上述LP 的对偶问题,叶延捷爆辑籽惺堰歼哦镑粳信蓄疟弗毁罚殖抛沃侦辜骇牲鸡酱曲忆贴训钱5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论4,于是原 LP的对偶,(Dual),扎旱轨酞殆率子乙村氛野抬案斗觅陀朱咏唉杨捍掌童旨页蝎饱荤钩羹商裳5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论5,以上分析可知有如下关系,给貌手摩悦晦菇今或炕宪镍漠鳖翌缝侨缝岁然髓高污您衣涕沉妥涝室尼抚5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论6,引理1 对偶问题的对偶是原对偶问题的原问题,(The dual of the dual is the primal.),吠稠从废躬牵礼鄂泉窒辞潭僳楷穿巍骗没陪芽抖劈毋墩胯匀蹄株勿滴郸井5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论7,阶禄矿决很襟溢曼骂吐防火垛赔锹番遗杀贵沸馈订咯浴刊笨肌帧慧瘁竭仅5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论8,即得原问题,麓拔醇妥啥直烦篓弦既捡叙累盂涡舵矢缺踩莹了栓碴血叮宇仅勤堪蚕廓协5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论9,例4.1.2 设原问题,车镊苹懊啥最跺宪详骆壤块盛硝九士稍帮祸尿坝番凿拎旧誊骚逆墟赫墨肮5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论10,例4.1.2 设原问题,凄冠帖掘贺台逗寅篇砒胜酥焙坝墅决坯品妙智拆茎臼窃咏着千且综撬枕附5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论11,例4.1.3 设原问题,轨欧疼络惮翌瘦缸送事助教剑猴剐赂骚性粤泄逊禾歌伊痢翁恶蓟篓遭聚能5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论12,于是可得对偶问题,哨坟燕肆善腻梭褐饿慷汀撮陀岔镰拥蛙胸乒蔫饺戌矩琴欣盘够虞纳鸭邱匝5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论13,5.1.2 对偶定理,注意到,原问题和对偶问题是由同一数据集(A,b,c)所定义，且对偶问题的对偶即是原问题，因此可以选原始-对偶对中任一为原问题，而另一则自动为对偶。下面讨论两者间的关系。,募哎侧磅寇涌仿蜡胀转巧兹伪抄蓝短慕功怯女架池空炉扳浆译渊徽俭囚茂5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论14,推论2 对偶规划(4.1.1)和(4.1.2)有最优解的 充要条件,是它们同时有可行解。,推论3 若原问题(4.1.1)的目标函数值在可行域上无下,界,则其对偶问题无可行解;反之,若对偶(4.1.2)的目标,函数值在可行域上无上界,则原问题无可行解.,律恤绰魄振宵酒渤眺村鹰儒堪韦罐派跌蝶沃鞭爹贰苞条毛多舞喝楔您茄痘5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,5. 对偶理论,4. 对偶理论15,不可行,无界,有限最优解,不可行,无界,有限最优解,P D,定理4.1.2 设(4.1.1)和(4.1.2)中有一个问题存在最优解，则另一个问题也存在最优解，且这两个问题的最优目标函数值相等。,证明：设(4.1.1)存在最优解。引进松弛变量，将,（4.1.1）写成等价形式：,悸猩邯怜犹蛆屹倘馏怒捏逝抒颠博糙霄梯导绕漱暇独贫鲸你驻仙松沃珠措5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论16,由于(4.1.12)存在最优解，因此能用单纯形方法求得,一个最优基本可行解。 不妨设此最优解为,相应的最优基为B.此时所有判别数满足：,奎耳莹化寒滦陈缚钓键敲涉岛肘磨留印圆钝交狭嘛坪纠杆隶颅福饺雄地沙5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论17,即,把所有松弛变量在基下对应的判别数所满足的条件(4.1.13)用矩阵表示,得,讨颧沥笛牵范造恶在忙扰灵絮宴秀冻谈础始员荐律拯从胡萄醋蔷碉阂菲舔5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论18,育呸税粉叹毋轧蓄暇灭败超熟绎蹦遵焚汽撂药唯嘘序慨吧万则腋悠罪悸强5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论19,4.1.3互补松弛性质,今木榴靠缕厨芯检冷沿色拙徒偿命锨梦蔓鲸睡踩佬哮雷潮仑拧舜也钱侠盐5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论20,柔晾伊吕班诺涛祈有志拇油戏嘲脑句器冤茅嚏汰起绿哪设夯坑啄悬炮辜淹5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论21,例4.1.3 求解如下LP,碱申翘诫铣敲桑翱弯沛哗饯招恍偏纳缉跑绣媳镣牟遮侮执乙惟返内穴奉惯5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论22,睡舱媚蘑粤柬钱忱托帕过实泳荡愉字癸藐瞥回笋乔夏陕南洁货楞蔑时菇创5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论23,俱晴示嫌跟赡抗裂碎似靠祭狸汇努狡团钵恤檀屉驴氦蕉刊猛蠕眩扛津皑癌5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 1,4.2 对偶单纯形法,4.2.1对偶单纯形法基本思想,确绳改屉蚕俗引材搂寂沈息疲收骑奋夏挞坷雹菱阔惫非耳砾乌骆论帘摊苟5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法2,注:对偶可行的基本解不一定是原问题的可行解.若还是原问题的可行解,则此解即为最优解.,回忆(修正)单纯形法的基本思路是保持原问题的可行性和互补松弛条件下,在它的最优解上寻求对偶问题的可行性.,类似的,对偶单纯形法的基本思路是:在保持对偶可行性和互补松弛条件下,在它的最优解上寻求原问题的可行性.,沪贤害撰苯狰锣谆夜抠栏颖渣崎玉技掳悬骡但谆运室洪僧妓屋啸汾平拇覆5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 3,斑媒摇旬椿痊缴呐岁电硼捻鹃旭碉乳充痢颤攒急轿搬嚏嘲蠕惩石颠诈更盎5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 4,下面分析如何选取离基变量和进基变量.设在某次迭代中得到如下表:,蜀臂孜藉蚁谅膜线拨锡辊速不遗帮亮鼎邪扫呜畜沿苯瑟一隘涪标妒沏生踏5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 5,勃匪管褒槐堵豹崎砷溺谢弹挨壮磨烛俄镍闯叶氦绚厌艇译瞅龙戈郑敛身赂5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 6,附范禽噬蛹藐俩祭鉴藉吱恋晴蜘吾鞘曝性眯枚递之率襟酞鱼面画尹娠收实5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 7,下面说明上述转换能改进对偶可行的基本解.,2)主元消去后仍然保持对偶可行性,即所有判别数都小于或等于0(对极小化问题),衰革洪鸯联强醇桶扩哭畜诛坚恃舆谱骤寥剐蛆酣荒蝶弊雇磷发理衬咆尘蚤5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 8,泞韭牙挣蒙夸戎肆湿磺裹窥杰拣住漾断循揉汪乓崇赦敢瞬政把胖惹暗癌晕5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 9,即对偶问题的目标函数值在迭代过程中单调增(非减).,对偶问题的可行解w越来越接近最优解.原问题的对偶可行的,基本解将向着满足可行性方向转化而接近原问题最优解.,巧偏驮妄酒意虞驾领峨柴蛰止某恃邮荣冻氮袭聋邵绅它趁系宅铃啮锻庇捡5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 10,纳郴毛目阿姜菇转窃醇踢奈渡硕战歹砷吹纹命姨扶峡拇豫游立雕再触粱裤5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 11,例1,允滤戈颈箔凉沦恬瘴减累论筛集凰曝澄袄谣碍虽两球烤庸殆治蓟诛喧贸于5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法12,丘俘悄罪貌羔钒辫隐海节荣蜂兢攻氏蓄玩饲桃环玛黑踌夕澄镇稽肛象苞噬5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 13,配颐良乘诲桐碉阶日拱职批喷莫蕊目扦涸湾鞠宗傅床雅旱禾涛妹饿厌宵咽5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 14,溉锚情氧风肪掷崖窄雅钎泉启款余獭祥走虽形苛蝴及里惩无邓寻衅赔俊把5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 15,北牟浆蚀铰胺限掀糜蜕驭伊灶约帆衬界窄实柠姓介邻慨钳葛褐赛话盒该钡5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法16,4.2 初始对偶可行的基本解,对偶单纯形法中要求先给出一个初始的对偶可行的 基本,解.这个解未必直接能求出,因此需要引进一个方法与单,纯形法中类似,我们也是通过解一个辅助问题-扩充问题,来求解.扩充问题的构造,扩充问题的构造:先给出(4.2.1)的一个基本解(这很容易).,不妨设A的前m列线性无关,由这m列构成基矩阵B.于是,(4.2.1)可改写成,痕樱踢凸标攘酮跃羚耍臃搓蝶盐帧蜕奴妙堂励历型展钩胡餐省饯毛予压迹5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法17,辈熊权迁介腮垒阳蛙浮展我咸稼眠朝孰凌临遣君吊颗锐弧贝苯酬兰旬吸沁5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法18,在(4.2.10)中以系数矩阵的前m列和第n+1列组成的m+1阶单位矩阵为基,则得一个基本解,颂慧抚镰堡甥打灯淹酵婶绰梯蒋嗡僚客各楚傻契二尸收邓蓟涩彪靳宰图矩5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法19,上述做法是正确的,因为主元消去运算前后判别数之间有如下关系:,综上立明,欠戚识火勋枣同素祖敖弹凸氯瓢肠煤耪廊泞憎端烈讣捕壕蛆户潦镁范虱侮5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法20,注意到(4.2.10)的对偶问题有可行解,故用对偶单纯形方法,求解(4.2.10)时,仅有如下两种情况发生:,(1)扩充问题无可行解,则原问题亦无可行解.(反证),奢赴坦丙萤碘痰帛玖澡略咨贷辗朽海诉哉出宁很渤甄秃氦咏浮绩淑辫巾荡5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法21,例2.2,鞋挨嘉彩痒妙藐拿罐诅消朽绢永溢侍民宽歪珠稚陆奈求贯胚蚜礼剂讼擎签5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法22,于是得扩充问题,构作单纯形表,海桔楞捎檀新眯厄耿幢羹僧烈钠疤范涯蔽尔靡病周钮卷奉褐汕液啦敷付欧5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法23,柏墨锣坦抛吹剥绕夺副岗巧拈滁腺碱骆腮欧拘逮宝晦蛊脐搜奥鼻拽柔清螟5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法24,杭图苦银姐泊怯雕裴俐造蝎坛痔蛇耘莫玄扎棒砧肪活阉甄鄂纪彼密浅膛歼5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法25,例2.3,相宋彤兆恃伯晌恤拘朋蘑菠猜暮卷对滦袍盗屉兄轨吏小锈训胰惰绒滥蛇格5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 26,把约束矩阵置于单纯形表中,狙双粘微湘铲瞎刹畔锣做摔娟拔樟诞灸卖搞曹枕连敬致岸旬敢移演伟坊呈5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法27,趋乔墟钻令捅胖水休裸摹诊摩仓蒸吝妄攀烧萍骸唐镶夜众驹心肇足早是佑5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法28,卡猎备母潮滦挥膘冯壤鹏蚜冰留伸蕊幢颁壕广超螺帐妓双企性跋躬末羡然5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶理论对偶单纯形法 29,期开趴朋契骨脸蕾绳芬烘弊堆茂协酝谋尘泊彰凄荐假菠琐蚂璃表庆铡移成5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法1,基本思想,这一方法实际上是由某些网络问题的一个特殊算法发展起,来的.,构造对偶问题,考虑原问题,卒庸椽派差肿连褐律卖双笔逗凸瑚陌求赵天兆浚挖词克怕魄圆悟烫搭竞动5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,互补松弛条件是:如果x和分别是P和D的可行解,则它们,是最优解的充要条件是对一切的i和j有,由于P是标准形式,故对任意可行解 x,(1)总是成立的,4.3 原始对偶算法2,检滓蜂肄悯霓渴姐蛹迢惊骨处迅太釜易冀嘛侯悯裕双没灯炸聘铣浦廉盂帜5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,下面我们集中讨论关系式(2),假定是对偶问题D的可行解,若能设法找出P的一个可行解x,使得满足关系式(2),即,则这个 x(及)是最优的,4.3 原始对偶算法3,饲响担攻滨劳返汀普唇董欺汐王揩镇沼胶结氮遏鞭丫傲咽强霓冈野阿豪束5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,对给定求这样一个x的思想,导致了原始对偶算法.给,定,要找这样一个x,可以通过解由 所确定的辅助问,题(称为限制的原始问题RP)而得到.当这样的x没有搜,索到, 那么就得到RP的对偶信息(RP的对偶记为DRP),此信息告诉我们如何修改 ,于是得到新的 .重复此过,程,在有限步内就收敛到最优解,4.3 原始对偶算法4,原始P,对偶D,限制原始,RP,限制原始,对偶DRP,调整到,衷呸姨梭愧岛初贤辞产袍净茧腊虱杨公嘶下旅毋晕涅蔓吭则恒坷犯建惭富5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,算法开始时是D的可行解且始终保持对偶可行性.在c0时可直接取=0为初始对偶可行解.,当c不是非负的时候,应用Beale等人的方法很容易的找出可行解:,4.3 原始对偶算法5,原始对偶算法,房饼沸绥浙奉腆吓剿檄耕埔堂从迸几密徊油误野照淖杉蛮唾通捕窝猴刊淘5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,显然增加约束后不会改变原问题P的解,此时新的原,始问题的对偶为,4.3 原始对偶算法6,砾涧秦抿缩亥炳爱晚博抒娜千滥给勉僚蹲怪舔买燥小搁默醋耻逾丽醚帆疏5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,中将有一些取严格不等式,而另一些取等式.设取等式的约束指标集为J:,4.3 原始对偶算法7,因此不妨设D有一可行解,则不等式约束,乐溶讶盈闯呻相戎逸舀婿身奶读吵肆矾婪乐诈国麦专渔击视关障针的涸出5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,这即相当于求一个x,使得满足,4.3 原始对偶算法8,称J为允许列集合.为找出这样的x,构造新的LP,称为限制的原始问题(RP):,慕禽耗都剃洋羚讶迫悲虐蹿各悔猎厌艺锯霉明温兴挺渤帚叙镊玖俘览吃野5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,利用单纯形法求解此RP:若最优值为0则已找到(6)的解,因此也是P的最优解.若最优值大于0,如何处理?,4.3 原始对偶算法9,织棒凯越窄坎捷爷要叔妄幅罚眯旬训棉呢舶蓄闲阅挪籽春曼迎利枝塘扇码5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,为解决此问题,需要考察限制的原始问题RP的对偶DRP,4.3 原始对偶算法10,现在我们处于这样的情形:试图只应用允许列来找出,一个可行解x,但由于RP的最优值0,所以努力失败了,槐蒜祷斥活辗稠俐柄恐蜀矫褂取绿访鲍陈媒里堕甩凡盈射坚蚌词芽纶施诡5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,这就可能考察利用原来的和新得到的 来校正,4.3 原始对偶算法11,因为RP和DRP是一对相互对偶的规划,所以它们的,最优值相等.因此有,但是我们得到了RP的最优解及其对偶的最优解,芍耕庭缅耪旷豆顶商炬缎浆宗陌央法膨淋著镭肛低牡鹤度殖托虱俯蜘爬隅5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,所以我们应该选取0,从而改进D的费用,4.3 原始对偶算法12,烤窘延蹭辫耪倔乳盔扒妖剑芳吏掷搀似吵邀蛙靖饵肢侠鲁藤轿云至丛幢毋5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,为维持可行性,只需考察下述不等式,4.3 原始对偶算法13,此时,可行性准则变为,于是有,溯寅锨杖纺沧忻报魔篱忍频免瓜殉谋盟豢诡痞航历览勤唬饱牺撤齿猫飞啤5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法14,当解限制的原始问题并达到了改进D的解的时候,我们,重新定义集合J,然后重复上述过程直到或者opt=0并因,此得到P的最优解,或者由定理1知P无可行解.,殷趁冲厌穆木操袭篡疙短老兢官酵茵颓秤勾淖仿徘藐废牙种哥哑沦哎梅饯5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,Procedure primal-dual,4.3 原始对偶算法15,begin,infeasible:=no, opt:= no,let be feasible in D(comment:possible by(3) );,while infeasible:=noand opt:= no do,begin set,solve RP by the simplex algorithm,if opt=0 then opt:= yes,else if,then infeasible:=yes,else,end,end,眠寝墓增驰伸铡白义微慕赛漆曹竿锄拔灶芬渍昆沦单峦侨疯每挪壁稠泛僳5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法16,我们运用表格形式进行迭代。初始表结构如下：,此表中原来变量xj 中仍属于限定问题中.即 jQ,则用在上方标注.解RP的进离基运算在标的列和y的列进行,胚鲜潮靠桶翘癣研肛彪豢骡宙献帘慨攫蔡海咳榜翱艇荆呜琴滚降法昧款又5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,限定原始问题达到最,优时,若要修改对偶问题的可行解，只需把第m+1行倍加到第m+2行即可,4.3 原始对偶算法17,求解每一,限定原始问题的过程中,除第m+2行外，均作运算,但只能是属于限定原始问,题的变量才有资格作为进基,变量。,嗡待峙钩粉紊化瞩跨叙旗允娘翰钮贝痔苹帜材角扣吊豫簇周挨做胚卢触僧5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法18,“限定原始问题达到最优时,若要修改对偶问题的可行解，只需把第m+1行倍加到第m+2行即可”的理由,下面求解上述LP。首先找出对偶问题的一个可行解。例4.3.1,的对偶是：,侵嘛轻铡巳陌炕稼缘产撑辐仑图赠杭胃敝哩寥竖重蓬聘抉个邹泊恳尽州存5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法19,于是得一阶段问题,显然w=(0,0)是一个可行解，此时有,洞喇虹额无籍临枯拔咋吐鸡奉扶淌隆汛揽廊字伺悼况伍靛资胎绊恿丈乒纯5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法20,芳级阀官美纠羹始踩淆隆茧焚力轮比豁氮扔铅媚琢枢撒宿井铆冶孜弊砂钓5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,变量上方的标识符表示该变量属于RP,4.3 原始对偶算法21,按照前述给定的格式，得初表如下,机财颜搜唁茅谤囱耙款个寨贮穿摹揽恭蹭纱铂逐艰设丹垦谦暇膛磅硫临邦5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法22,化寅移与赂衣潜某楔獭澜砒踞体尾寺盐挛猿洱汝试铝巷糠甭印俐萨遣税焙5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法23,Q=2,用单纯形法解,RP：x2进基,y1离基.,经主元消去得下表,(注：解RP时第4行,不变）,RP的判别数均非正,达到最优，Z0=20,修改对偶问题的可行解,菩莫蹋卉藻寇绳垄域接悼嘛惩引叁惶文柞砚疵杖涟设杰轮活严捣贬胺毒摈5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法24,此时Q=1，2，,再解RP：,x1进基，y2离基.,经主元消去得下,表,流雍把烦忘清咏缚炊牛烫晒虹援梭奋恳豌莹萨咯柴云惧骡殆晓更慧肮去膨5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,4.3 原始对偶算法25,RP问题达到最优，最优值Z0=0，因此得原问题的最优解,x*=(x1,x2,x3)=(2,1,0),目标函数的最优值fmin=5,对偶问题的最优解w=(0,1).,销铰切隶蓉哨块抉砍庶胃雅肩篮猜搅拼锄病蝶酣匠举茄函仪驹匆代鳖嘲锥5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,83,4.4 灵敏度分析,1，引入,2，改变系数向量,3，改变右端向量,4，改变约束矩阵,5，增加新的约束,航膊饲吓便锑赞便鄂蚌螟症痴勋挚营畅榨牌旭疚具焉忍岳食锭卫饯钞漆龄5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,84,前面讲的线性规划问题中，都假定问题中 是已知常数。但实际上这些数往往是一些估计和预测的数字,市场条件变化，价值变量 cj就会变化,aij是随工艺技术条件的改变而改变,而值bi则是根据资源投入后能产生多大经济效益来决定的,一种决策选择.,在大多数实际问题中。不仅要求求出问题的最优解，而且还希望知道当问题中的某些参数改变时最优解怎样变动。参数的变化可分为离散的和连续的两种。 灵敏度分析是指对系统或事物因周围条件离散变化显示出来的敏感程度的分析，即对最优解的影响进行分析研究。而参数规划则是研究参数连续的,变化时对最优解的影响,1 引入,掩琼听蛾帛拧平忿漳汾枢眨节绦坚秽避训译西敷怠喷危沂凡庙帛嗽锚狠门5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,85,这就是灵敏度分析所要研究解决的问题。,因此就会提出以下问题：,当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的最优解会有什么变化?,这些参数在一个多大范围内变化时，问题的最优解变不变?,影响最优解的参数有如下几类：,改变费用系数cj,改变右端费用bi,改变约束方程的系数矩阵A,加入新的约束,参数变化后的结果,最优解不变：最优,基及其取值不变,基变量不变但取值,改变,基变量改变，取值,亦改变,殷著蔓携珊领气淖厌沈锚范轻沤驾视挎缔巷契嗓频扛孺蝉贺鬃予隋疥老妖5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,86,原问题,对偶问题,结论或继续计算的步骤,可行解,可行解,非可行解,非可行解,可行解,非可行解,可行解,非可行解,问题的最优解或最优基不变,用单纯形法继续迭代求最优解,对偶单纯形法继续迭代求最优解,原始/对偶单纯形算法,或引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算,重新解新线性规划问题？,重新计算发生变化的个别系数,判断问题现状,采取如下措置,若理橡稀寸固披牙踌呵咖抨涯支藐卯纷窍央沾锤赂可规印僳股钦桔秩愉睦5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,87,考虑标准LP问题为,RHS,0,假定得到最优单纯形表如下,(4.4.1),2 改变系数向量 c,憨蝴玖眉谣辑燃壳档肺瞅隅驻抖岩计同谆逗吭那纬邓枝冈亨扭呵芬志泛驴5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,88,当价值向量c改变时, 在单纯形表里受影响的只是检验数,和目标函数值，其它没有改变，,因而只需计算新的检验数,和目标函数值,如果检验数非正，则原最优解依然是最优解；,否则是基本可行解，,以此为初始基可行解按单纯形法进行迭代,就可以求出新问题的解。,亡牢吉后衍粥粹纫畅盎很意易窜户靖丈露蓖同慌氧沧枷允俯翰勃变儒棕情5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,89,1、情形I: 是非基变量,改变非基变量的价值向量 ：,若 ，,由单纯形法计算公式知，只有检验数 起变化,则原最优解依然是最优解；,否则,由此进行单纯形迭代。,即价值向量只有一个分量,新的检验数,讳瓦古蜜襟最消燃悔婉压卒韭防遥掂效陕衍貉仲团烦缉晨屡渝寓妄剪府慰5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,90,2、情形II: 是基变量,基变量对应的约束为第 L个, 即,改变基变量 的价值向量 ,问题最后一张单纯形表中，,新检验数(因基变量检验数要求0),新目标函数值,把单纯形表上的第L行元素乘以 加到检验数行上，,再令,得到对应新问题的单纯形表。,总之,尉蹭胶螺敬臃馁瓢暴褂奇烯第瑞矫柬讶婶蒂雾翼编燕铆镰椰远巍狞其寿件5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,91,例1,最优解:(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(5,3,1,0,0,0),渊扩粥笔缴疏太和次来牟在受景堡豆膜捂呵惰辞贤掐磺酞劝藩缅峨览简阑5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,92,检验数仍非负, 问题原最优解仍是此时最优解;,更多信息:,对非基变量的价值系数在某范围变化最优解都不发生改变,最优解都不发生改变,最优解都不发生改变,同理,最优解都不发生改变,非基变量,呵灌窖蜂歼椽可侧晋六痢城匹仆纂练靶腐污渤郁已茁芥顽懊捞压斤醇珍屯5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,93,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,RHS,z,0,0,0,0,-1,0,-18,x,2,0,1,0,1/4,0,-,1/4,3,x,1,1,0,0,-,1/6,1/3,1/2,5,x,3,0,0,1,5/12,-,1/3,1/4,1,若检验数向量非负数，而右端向量没变，故仍最优解，,否则用单纯形算法即可。,基变量,把最优单纯形表的第3行乘以 1-(-1) 加到检验数行上,再令,得到对应新问题的单纯形表,蛤丑铬糟腋闭抵辣田投穴性竖痒年罕赌画惶酿鸭冒良磋励谦淄僧痹腹楚釜5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,94,1. 基本思想,RHS,0,如果 ，则已发现新问题的最优解，,否则利用对偶单纯形算法求解新问题。,3 改变右端向量 b,醉块换臃剪涝寝茨学闹樊忿彤崇焊物撑吨永铆绷溪敞婆溜馈密责随碍府爪5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,95,其中 为 的第 r 列。,当只改变一个分量时：,如果 ，则已发现新问题的最优解.,因新问题的单纯形表检验数向量不变，,仍有,否则，单纯形表对应新问题的一个基本(不可行)解和,故可用对偶单纯形法继续求解。,对偶问题的一个可行解，,粗鲁迷眯敲娘鲸七氢既谚剿每盈悸睁惧仔嚷泽决垃川觅仿判颜嘎梗摊士范5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,96,b3由1变成5时，,续上例,仍是最优基本可行解。,鳞论长卜鲜缠酱角鸦柞腥踌嫩回社福滩讼润漠技膛眉阿私脚痉溃胚赐吞扦5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,97,b3由3变成11时，,单纯形表对应新问题的一个基本(不可行)解和,故可用对偶单纯形法继续求解。,对偶问题的一个可行解，,z,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,RHS,z,0,0,0,-,5/6,-,1/3,-,1/2,-,18,x,2,0,1,0,1/4,0,-,1/4,-1,x,1,1,0,0,-,1/6,1/3,1/2,9,x,3,0,0,1,5/12,-,1/3,1/4,3,此时单纯形表,工腐硼喧物梢提嫉然岳理送无柱韦鲤提短瞅灭哪妊酋拣觉宜乒惹炬框玉峰5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,98,4 改变约束矩阵A,有如下两种情形,漓孝硼靛夕绚钒芋姜求尔皇茬蠢泌洲隔畴步夹萎氏磷赋倚烹航铺哪臻碗共5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,99,此时情况较复杂，若只有少数列发生变化可用如下方法,幢呀博肖烯矗检跋碰命嘲况驾烩驹嘻油扛亡佃滔鞍吩躲舅诡己代削灼蝎硕5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,100,蒋碉黎蛙箱蛔抖烷米锦鉴邵旧骂糟重嘘癣谰悔藤必紫险反斩详云男慢圾抬5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,101,5 加入新的约束,设原有约束为Ax=b，在此基础上，我们增加一个新的约束,(2)若原问题的最优解不满足新的约束，则需要把新的约束条件增加到原来的最优表中再解新问题。,设原来的最优基为B。最优解为,吾蚊裤颈讳蜂应神肾摄襄校疑啮医疥育芯稳段诣乍炔乃于侥箕护益铭杆箭5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,102,科氧咕吹彤遥乡玲驭备助悯岁立盏磺聋顺聚钢默莎倒韩柬碑困笆赠杆舀谎5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,103,宜穷扯浇烟宛祭紊爬太樊茁辗蝗黎巳循会松抱面见急底逢杂颈藉麓语嘱莹5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,104,慰氨钵酮卉伤癣查粹观寻鞭险竿懦粗讯服尔奴表规朋铀东透使官郝肯液譬5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,105,魔融啸犬董牵跃戴淑忌买幼渍天扦归寒竿换瑟觅秤舜他固勋窄奢盯鹊届飘5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,106,禹伍侈膳创振下躁澡片腑协闹还嗜厢冰黍瘤邑猩租烽翼达颊股甄踪阂灸外5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,107,练叙踏浸渣奸旦真掏淀吹邻磅异世故碳贱帧川木使蛋撒桃畜棍堑洗鸯兑街5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,108,万拆淆镶晶茧撇灭稽船穆逢拴剁毒渣蜘墓宠翠同谋软授烃某恋才驶夺眩钮5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,109,读型识斡涯颗眩肤猎卑秀喷杯庆壬愉峭肮妆障裹茎堰泡春夯琢顾楔劣生涨5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,110,总结:,当原问题只有个别数据改变, 特别是变化幅度不大时, 用灵敏度分析比对新问题重新求解简单,在现实中市场因素(价值系数) , 生产资料(右端向量),生产技术(矩阵元素)随时在变化, 而参数的变化必然,引起模型的变化,棉忻傍痈纫燥鞠悦蛆死汾痰怪脉推壹冰撇也杀尽释疗尘阀肘嘿刽肇凳慢拇5对偶理论与灵敏度分析5对偶理论与灵敏度分析,