两自由度系统的振动

两 自 由 度 系 统列 出 下 列 系 统 的 动 力 学 微 分 方 程 两 自 由 度 系 统 的 振 动单 自 由 度 系 统 与 多 自 由 度 系 统单 自 由 度 系 统v描 述 系 统 运 动 状 态 只 需 一 个 广 义 坐 标 ； 系 统 振 动 微 分 方程 为 一 个 二 阶 常 微 分 方 程 ；v系 统 有 一 个 固 有 频 率 ； 系 统 自 由 振 动 的 频 率 为 固 有 频 率 。多 自 由 度 系 统v描 述 系 统 运 动 状 态 需 多 个 广 义 坐 标 ； 系 统 振 动 微 分 方 程一 般 包 括 多 个 相 互 耦 合 的 二 阶 常 微 分 方 程 组 ；v系 统 具 有 多 个 不 同 数 值 的 固 有 频 率 （ 特 殊 情 况 下 数 值 可能 相 等 或 有 一 个 等 于 零 ） 。 当 系 统 按 其 中 任 一 固 有 频 率作 自 由 振 动 时 ， 称 为 主 振 动 。 主 振 动 是 一 种 简 谐 振 动v系 统 作 主 振 动 时 ， 任 何 瞬 时 各 点 位 移 之 间 具 有 一 定 的 相 对 比 值 ， 即 整 个 系 统 具 有 确 定 的 振 动 形 态 ， 称 为 主 振 型 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动两 个 自 由 度 的 振 动 系 统工 程 实 际 中 大 量 的 问 题 不 能 简 化 为 单 自 由 度 系 统 ，往 往 需 要 简 化 成 多 自 由 度 系 统 ；两 自 由 度 系 统 是 最 简 单 的 多 自 由 度 系 统 ， 无 论 是模 型 的 简 化 、 振 动 微 分 方 程 式 的 建 立 和 求 解 的 一般 方 法 、 以 及 系 统 响 应 表 现 出 来 的 振 动 特 性 等 等 ，两 自 由 度 系 统 的 多 自 由 度 系 统 没 有 什 么 本 质 上 区别 ， 却 有 数 学 上 求 解 比 较 简 便 的 好 处 。研 究 两 自 由 度 系 统 是 分 析 和 掌 握 多 自 由 度 系 统 振动 特 性 的 基 础 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动双 质 量 弹 簧 系 统 的 自 由 振 动m1与 m2的 任 一 瞬 时 位 置只 要 用 和 两 个 独 立 座 标就 可 以 确 定 ， 系 统 具 有两 个 自 由 度 质 量 m 1与 m2的 自由 振 动 微 分 方 程 )( 1221111 xxKxKxm 2312222 )( xKxxKxm 0)( 0)( 2321222 2212111 xKKxKxm xKxKKxm 两 自 由 度 系 统 的 振 动自 由 振 动 微 分 方 程 0)( 0)( 2321222 2212111 xKKxKxm xKxKKxm 矩 阵 形 式 000 0 21322 2212121 xxkkk kkkxxmm 210 0mmM 322 221 kkk kkkK 质 量 矩 阵刚 度 矩 阵 双 盘 转 子 的 扭 振动 力 学 方 程 000 0 212t1t1t 1t1t2121 kkk kkJJ 汽 车 车 体 的 振 动系 统 简 化 成 二 自 由 度 系 统 ， 即 一 根 刚性 杆 （ 车 体 的 简 化 模 型 ） 支 承 在 两 个弹 簧 （ 悬 挂 弹 簧 和 轮 胎 的 模 型 ） 上 ，刚 性 杆 作 跟 随 其 质 心 的 上 下 垂 直 振 动和 绕 刚 性 杆 质 心 轴 的 俯 仰 运 动 。以 钢 杆 中 点 垂 直 位 移 和 转 角 为 广 义 坐标 ， 可 以 得 到 如 下 动 力 学 方 程 0)()()( 4231 lxklxkexm 0)()()( 331442 eexmllxkllxkJc 整 理 后 得 002312423142 3142211 xlklklklk lklkkkxJem emm c 0)()()( 23124231422 lklkxlklkmeJxem c 0)()( 314221 lklkxkkmexm 两 自 由 度 系 统 的 振 动静 力 耦 合 和 动 力 耦 合一 般 情 况 下 两 自 由 度 系 统 无 阻 尼 自 由 振 动 微 分 方 程 组 为 00 212221 121121221 1211 xxkk kkxxmm mm 每 个 方 程 式 中 往 往 都 有 耦 合 项 0)( 0)( 2321222 2212111 xKKxKxm xKxKKxm 座 标 之 间 的 耦 合 称 为 静 力 耦 合 或 弹 性 耦 合 加 速 度 之 间 的 耦 合 称 为 动 力 耦 合 或 惯 性 耦 合 两 自 由 度 系 统 的 振 动 双 质 量 弹 簧 系 统 的 自 由 振 动 0)( 0)( 2321222 2212111 xKKxKxm xKxKKxm 双 盘 转 子 的 扭 振 0)( 0 2211122 211111 ttt tt kkkJ kkJ 汽 车 车 体 的 平 面 振 动广 义 坐 标 ： 车 体 随 参 考 点 O的（ 上 下 ） 平 动 x和 车 体 在 平 面内 绕 O点 的 转 动 0)( )( 0)()()( 211122 11222222112 xkklklkxmma xlklklklkxmamaJ 振 动 方 程 的 矩 阵 形 式 0KM qq 2221 1211M mm mm 2221 1211K kk kk质 量 矩 阵 刚 度 矩 阵 210 0M mm 322 221K kkk kkk 210 0M JJ 2t1t1t 1t1tK kkk kk mma mamaJ 2M 211122 1122222211K kklklk lklklklk 21xxq 21q xq 座 标 之 间 的 耦 合 称 为 静力 耦 合 或 弹 性 耦 合座 标 之 间 的 耦 合 称 为 静力 耦 合 或 弹 性 耦 合座 标 之 间 的 耦 合 称 为 静力 耦 合 或 弹 性 耦 合加 速 度 之 间 的 耦 合 称 为动 力 耦 合 或 惯 性 耦 合 两 自 由 度 系 统 的 振 动固 有 频 率 0)( 0)( 2321222 2212111 xKKxKxm xKxKKxm 为 了 书 写 简 便 ， 引 入 符 号 ： 1 21m KKa 12mKb 22mKc 2 21m KKd 00212 211 dxcxx bxaxxq这 是 二 阶 常 系 数 性 齐 次 联 立 微 分 方 程 组 。 第 一 个 方 程 中 包含 -bx2项 ， 第 二 个 方 程 中 包 含 -cx1项 ， 称 为 耦 合 项 。 q如 果 耦 合 项 均 为 零 时 ， 方 程 组 便 成 为 两 个 独 立 的 单 自 由度 系 统 自 由 振 动 的 微 分 方 程 两 自 由 度 系 统 的 振 动固 有 频 率 00212 211 dxcxx bxaxx设 在 振 动 两 个 质 量 按 同 样 频 率 和 相 位 角 作 简 谐 振 动 tAx tAx sinsin 22 11其 中 振 幅 A1与 A2， 频 率 和 相 位 角 都 为 待 定 常 数 代 入 运 动 微 分 方 程 组 可 得 0 sin 212 tbAAa 0) sin()( 221 tAdcASin( t+ )不 恒 等 于 零 两 自 由 度 系 统 的 振 动固 有 频 率 0)( 0)( 221 212 AdcA bAAa 这 是 A1和 A2的 线 性 齐 次 代 数 方 程 组 q显 然 ， A1 = A2 =0 是 它 的 解 ， 但 这 只 对 应 于 系 统 处 于 静平 衡 的 情 况 ， 不 是 我 们 所 需 的 解 A1和 A2具 有 非 零 性 解 的 充 要 条 件 是 系 数 行 列 式 等 于 零 0)( 222 dc ba 0)()()( 242 bcadda q该 方 程 唯 一 确 定 了 频 率 所 需 满 足 的 条 件 ， 称 为 频 率 方 程 或 特征 方 程 两 自 由 度 系 统 的 振 动固 有 频 率频 率 方 程 是 2的 二 次 代 数 方 程 ， 它 的 两 个 特 征 根 为 0)()()( 242 bcadda )(22 222,1 bcaddada bcdada 222 1 21m KKa 12mKb 22mKc 2 21m KKd 弹 簧 刚 度 和 质 量 恒 为 正 数 ， a， b， c，d的 值 都 是 正 数 21 22和 都 是 实 根 由 于 ad bc 21 22和 都 是 正 数 两 自 由 度 系 统 的 振 动固 有 频 率21 22和 是 两 个 正 实 根 。 它 们 仅 决 定 于 系 统 本 身 的 物 理 性 质 ，称 为 振 动 系 统 的 固 有 频 率 。 较 低 的 一 个 称 为 第 一 阶 固 有 频率 ， 简 称 基 频 。 较 高 的 一 个 称 为 第 二 阶 固 有 频 率 。固 有 振 型将 特 征 值 21 22和 分 别 代 回 方 程 组 0)( 0)( 221 212 AdcA bAAa 任 一 式 2222)2(1 )2(22 2121)1(1 )1(21 d cbaAAv d cbaAAv 对 应 于 21 22和 ， 振 幅 A1和 A2之 间 有 两 个 确 定 的 比 值 。这 个 比 值 称 为 振 幅 比 虽 然 振 幅 大 小 与 初 始 条 件 有 关 ， 但 当 系 统 按 任 一 固 有 频 率 振 动 时 ，振 幅 比 却 和 固 有 频 率 一 样 只 决 定 于 系 统 本 身 的 物 理 性 质 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动固 有 振 型 （ 主 振 型 ）对 应 于 21 22和 振 幅 A1和 A2， 之 间 有 两 个 确 定 的 比 值 。 tAx tAx sinsin22 11 两 个 质 量 任 一 瞬 时 的 位 移 的 比 值 x1/x2也 同 样 是 确 定 的 ， 并 且等 于 振 幅 比 o在 振 动 过 程 中 系 统 各 点 位 移 的 相 对 比 值 都 可 由 振 幅 比 确 定o振 幅 比 决 定 了 整 个 系 统 的 振 动 形 态 ， 称 为 主 振 型 与 1对 应 的 振 幅 比 1称 为 第 一 阶 主 振 型 与 2对 应 的 振 幅 比 2称 为 第 二 阶 主 振 型 两 自 由 度 系 统 的 振 动固 有 振 型 （ 主 振 型 ） bcdada 222,1 22 2222)2(1 )2(22 2121)1(1 )1(21 d cbaAAv d cbaAAv 0221 0221 22 21 bcdadabv bcdadabvo说 明 系 统 以 频 率 1振 动 时 ， 质 量 与 总 是 按 同 一 个 方 向 运 动 ，而 以 频 率 2振 动 时 ， 则 按 相 反 方 向 运 动 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动主 振 动l系 统 以 某 一 阶 固 有 频 率 按 其 相 应 的 主 振 型 作 振 动 ， 称为 系 统 的 主 振 动 第 一 阶 主 振 动 为 11)1(1111)1(2)1(2 11)1(1)1(1 sin)sin( )sin( tAvtAx tAx第 二 阶 主 振 动 为 22)2(1222)2(2)2(2 22)2(1)2(1 sin)sin( )sin( tAvtAx tAxl系 统 作 主 振 动 时 ， 各 点 同 时 经 过 静 平 衡 位 置 和 到 达 最 大 偏 离 位置 ， 以 确 定 的 频 率 和 振 型 作 简 谐 振 动 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动系 统 的 自 由 振 动微 分 方 程 组 00212 211 dxcxx bxaxx 的 通 解 是 两 种 主 振 动 的 叠 加 )sin()sin( )sin()sin( 22)2(1211)1(11)2(2)1(22 22)2(111)1(1)2(1)1(11 tAvtAvxxx tAtAxxxl在 一 般 情 况 下 ， 系 统 的 自 由 振 动 是 两 种 不 同 频 率 的 主 振 动 的叠 加 ， 其 结 果 不 一 定 是 简 谐 振 动 。 例 1 试 求 图 示 系 统 的振 动 系 统 的 固 有 频 率 和主 振 型假 设 已 知 mm 1 mm 22 KKK 21 KK 23 例 4.1试 求 图 示 系 统 的 振 动 系 统 的 固 有 频 率 和 主 振 型 。已 知 mm 1 mm 22 KKK 21 KK 23 解 振 动 微 分 方 程 0)( 0)( 2321222 2212111 xKKxKxm xKxKKxm 032 02 21 21 Kxxm xKxx tAx tA sinsin22 11代 入 运 动 微 分 方 程 组 得 记 mKa 02 12 211 axaxx axaxx 0)sin()23( 0sin2 221 212 tAaaA taAAa 0)23( 0)2( 221 212 AaaA aAAa 0232)( 222 aa aa频 率 方 程 0)23)(2( 222 aa 0572 224 aa固 有 频 率 （ 特 征 根 ） )40497(41 222 aaa )37(422,1 a mKa 21 mKa 41041022 tAx tAx sinsin22 11 0)23( 0)2( 221 212 AaaA aAAa mK21 mK41022 mK1 2 222)1(1 )2(22 2121)1(1 )1(21 232 232 a aaaAAv a aaaAAv mKa 121 mK mKmKv第 一 阶振 幅 比第 一 阶主 振 型 11)1(21AA 11 v mKmK 581.1252 第 一 阶 固有 频 率 第 二 阶 固有 频 率 212522 mK mKmKv 212 v 第 二 阶主 振 型 5.01)2(21AA第 二 阶振 幅 比 第 一 阶 主 振 型 11)1(21AA第 二 阶 主 振 型 5.01 )2(21AA mK1 mK25 2 两 自 由 度 系 统 的 振 动对 初 始 条 件 的 响 应 00212 211 dxcxx bxaxx是 两 个 二 阶 常 微 分 方 程 ， 应 有 四 个 待 定 常 数 )sin()sin( )sin()sin( 22)2(1211)1(11)2(2)1(22 22)2(111)1(1)2(1)1(11 tAvtAvxxx tAtAxxx中 有 四 个 未 知 数需 要 由 振 动 的 四 个 初 始 条 件 来 决 定 21)2(1)1(1 , AA 两 自 由 度 系 统 的 振 动对 初 始 条 件 的 响 应设 初 始 条 件 为 ： 202101202101 ,0 xxxxxxxxt ，时 ，代 入 )sin()sin( )sin()sin( 22)2(1211)1(11)2(2)1(22 22)2(111)1(1)2(1)1(11 tAvtAvxxx tAtAxxx 2)2(11)1(110 sinsin AAx 2)2(121)1(1120 sinsin AvAvx 22)2(111)1(110 coscos AAx 22)2(1211)1(1120 coscos AvAvx 20101 20101212 20102 20102111 22 22010122010121)2(1 21 22010222010212)1(1 tantan )(1 )(1 xxv xxv xxv xxv xxvxxvvvA xxvxxvvvA 两 自 由 度 系 统 的 振 动对 初 始 条 件 的 响 应 20101 20101212 20102 20102111 22 22010122010121)2(1 21 22010222010212)1(1 tantan )(1 )(1 xxv xxv xxv xxv xxvxxvvvA xxvxxvvvA )sin()sin( )sin()sin( 22)2(1211)1(11)2(2)1(22 22)2(111)1(1)2(1)1(11 tAvtAvxxx tAtAxxxl将 右 边 各 式 代 入 下 面 表达 式 ， 就 得 到 系 统 在 前 述初 始 条 件 下 的 响 应 在 特 殊 的 初 始 条 件 下 ， 若 ， 系 统 便 作 第 一 阶 主 振 动 0)2(1 A若 ， 系 统 便 作 第 二 阶 主 振 动0)1(1 Al如 果 初 始 位 移 和 初 始 速 度 的 比 值 都 等 于 振 幅比 1（ 或 2） ， 就 可 得 到 相 应 的 主 振 动 。 例 4.2 已 知 mm 1 mm 22 KKK 21 KK 23 解1)已 知 初 始 条 件 为2.110 x 0201020 xxx 求 系 统 的 响 应 ；2)若 初 始 条 件 变 为 12010 xx 02010 xx 系 统 的 响 应 有 何 变 化 ？固 有 频 率由 例 4.1得 mK 1 mK252 振 幅 比 11 v 5.02 v对 初 始 条 件 )sin()sin( )sin()sin( 22)2(1211)1(11)2(2)1(22 22)2(111)1(1)2(1)1(11 tAvtAvxxx tAtAxxx 202101202101 ,0 xxxxxxxxt ，时 ，的 响 应 )sin()sin( )sin()sin( 22)2(1211)1(11)2(2)1(22 22)2(111)1(1)2(1)1(11 tAvtAvxxx tAtAxxx 11 v 5.02 v1) 初 始 条 件 为 2.110 x 0201020 xxx 2)2(121)1(11 2)2(11)1(110 sinsin0 sinsin AvAv AAx 2)2(1221)1(111 2)2(121)1(11 coscos0 coscos0 AvAv AA 2)2(111 221)1(1 2)2(1121)1(1 coscos sinsin AvvA AvvA 2)2(1121)1(1 2)2(1121)1(1 coscos sinsin AA AvvA 可 以 解 得 22 同 样 过 程 可 以 解 得 21 )2(12 )2(1)1(1100 Avv AAx )2()1(1 5.02.1 AA 8.04.0 )2(1 )1(1AA tmKtmKx 25cos8.0cos4.01 tmKtmKx 25cos4.0cos4.02 )sin()sin( )sin()sin( 22)2(1211)1(11)2(2)1(22 22)2(111)1(1)2(1)1(11 tAvtAvxxx tAtAxxx mK1 mK252 11 v 5.02 v2)若 初 始 条 件 为 12010 xx 02010 xx 20101 20101212 20102 20102111 22 22010122010121)2(1 21 22010222010212)1(1 tantan )(1 )(1 xxv xxv xxv xxv xxvxxvvvA xxvxxvvvA 20101 20101212 20102 20102111 21 20101)2(1 12212 20102)1(1 tan 2tan 0 11xxv xxv xxv xxvvv xxvA vvvvv xxvA 系 统 的 响 应 为 tmKx cos1 tmKx cos2 为 第 一 阶 主 振 动 1) 初 始 条 件 为 2.110 x 0201020 xxx tmKtmKx 25cos8.0cos4.01 tmKtmKx 25cos4.0cos4.02 系 统 的 响 应 为2)若 初 始 条 件 为 1 2010 xx 02010 xx 系 统 的 响 应 为 tmKx cos1 tmKx cos2 为 第 一 阶 主 振 动 m K1 mK252 11 v 5.02 vmm 1 mm 22 KKK 21 KK 23 初 始 条 件 与第 一 阶 主 振型 一 致 例 3 扭 转 振 动 I1与 I2分 别 为 两 圆 盘 绕 x轴 的 转 动惯 量 ，角 座 标 1与 2分 别 表 示 圆 盘 I1与I2的 角 位 移 ，K 为 轴 段 的 扭 转 刚 度 轴 的 相 对 扭 转 角 12 作 用 在 轴 两 端 的 扭 矩 为 )( 12 KM轴 对 圆 盘 的 反 作 用 扭 矩 与 之 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 。根 据 动 量 矩 定 理 ， 分 别 列 出 两 圆 盘 的 转 动 方 程 式 ， 即 得 系 统扭 振 的 微 分 方 程 组 )( 1211 KI )( 1222 KI 0211 KK 02122 KK 或 0021 211 22 11 IKIK IKIK 自 由 振 动 微 分 方 程 0)( 0)( 2321222 2212111 xKKxKxm xKxKKxm 0021 211 22 11 IKIK IKIK上 面 两 个 系 统 的 自 由 振 动 微 分 方 程 在 数 学 形 式 上 是 相 同 的 00 212 211 dxcxx bxaxx1 21m KKa 12mKb 22mKc 2 21m KKd 1IKa 1IKab 2IKc 2IKcd 微 分 方 程 组 的 解 tAx tAx sinsin22 11 tA tA sinsin22 11 aaAA )( 221 1)( 21211 aaaAA 2122212 )( IIacaaAA 0)( 212 aAAa 00212 211 dc ba 1IKa 1IKab 2IKc 2IKcd 002111 cc aa微 分 方 程 组 的 解 tA tA sinsin22 11代 入 运 动 微 分 方 程 组 可 得 0)sin()( 0sin 221 212 tAccA taAAa 0)( 0)( 221 212 AccA aAAa 频 率 方 程 0)( 222 cc aa 0)()( 222 acca 0)()( 242 ca解 得 01 21 212 II IIKca 相 应 的振 幅 比 01 11 第 一 个 特 征 根 为 零 根相 应 的 振 幅 比 为 1 11)1(21AA 21 即主 振 型表 明 两 圆 盘 以 同 样 的 转 角 转 动 ， 轴 段 相 对 无 变 形 ， 整 个 系 统象 刚 体 一 样 绕 定 轴 转 动 扭 振 的 实 际 基 频 为 21 212 II IIK 相 应 的 振 幅 比212 II 主 振 型 21)2(21 IIAA 在 轴 段 上 的 一 个 始 终 不 动 的 面 ， 称为 节 面 ，节 面 的 位 置 正 好 把 轴 段 按 两 圆 盘 转动 惯 量 的 反 比 例 值 分 成 两 段 。 1221 IILL 两 自 由 度 系 统 的 振 动刚 体 在 平 面 内 的 振 动弹 簧 -质 量 系 统 和 扭 转 系 统 等 ， 就 动 力 学 性 质而 言 ， 是 属 于 质 点 作 直 线 运 动 或 刚 体 绕 定 轴 转动 的 问 题 。在 工 程 实 际 问 题 中 ， 例 如 具 有 对 称 平 面 的 机 器和 基 础 的 隔 振 系 统 以 及 车 体 等 的 振 动 ， 往 往 可简 化 为 弹 性 支 承 的 刚 体 在 平 面 内 的 振 动 ， 一 般具 有 上 下 移 动 及 转 动 两 个 自 由 度 。选 择 不 同 的 广 义 座 标 ， 将 会 得 到 不 同 形 式 耦 合的 振 动 微 分 方 程 。以 车 体 振 动 为 例 说 明 这 一 类 型 振 动 的 基 本 性 质 ，并 由 此 讨 论 两 自 由 度 系 统 在 一 般 情 况 下 的 静 力耦 合 和 动 力 耦 合 问 题 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动刚 体 在 平 面 内 的 振 动 车 辆 结 构 一 般 是 一 个 复 杂 的 空 间 多 自 由 度 系 统 。 在 进 行 研 究计 算 时 ， 可 以 根 据 研 究 的 目 的 ， 结 构 的 特 点 ， 要 求 计 算 的 精确 程 度 等 等 ， 从 实 际 情 况 出 发 进 行 简 化 。 考 虑 到 前 后 桥 的 质 量 比 车 体 质 量 小 得 多 ， 在 计 算 精 度 要 求 不 太高 时 ， 可 以 略 去 不 计 ， 可 进 一 步 简 化 成 图 c所 示 的 两 自 由 度 系 统 ：一 根 刚 性 杆 （ 车 体 ） 支 承 在 弹 簧 （ 悬 挂 弹 簧 和 轮 胎 ） 上 ， 作 上下 垂 直 振 动 和 绕 刚 性 杆 质 心 轴 的 前 后 俯 仰 振 动 。如 略 去 次 要 的 左 右 摇 摆 振 动 ， 可 简 化 为 在 汽 车 对 称 平 面 内的 振 动 ， 如 图 b所 示 。汽 车 是 由 许 多 部 件 组 成 的 复 杂 结 构 ， 即 使 忽 略 零 部 件 的 局 部 振动 ， 单 研 究 车 体 和 前 后 桥 的 振 动 ， 把 车 体 和 前 后 桥 作 为 刚 体 ， 联结 和 支 承 在 弹 性 元 件 悬 挂 弹 簧 和 轮 胎 上 ， 如 图 a所 示 ， 仍 然 包 括车 体 和 前 后 桥 的 上 下 垂 直 振 动 ， 左 右 摇 摆 振 动 以 及 车 体 的 前 后 俯仰 振 动 等 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动 刚 体 在 平 面 内 的 振 动 设 刚 性 杆 质 量 为 m， 两 端 弹 簧 的 刚 度 为 K1与 K2， 杆 质 心 c与弹 簧 K1 、 K2的 距 离 为 l1和 l2， 杆 绕 质 心 轴 的 转 动 惯 量 为 I0。以 质 心 垂 直 位 移 x及 杆 绕 质 心 的 角 位 移 为 两 个 独 立 座 标 ，其 正 方 向 如 图 d所 示 。lx的 座 标 原 点 取 在 静 平 衡位 置 ， 使 杆 重 和 与 之 相 平衡 的 弹 簧 静 压 力 都 不 出 现在 运 动 方 程 式 中 l在 任 一 瞬 时 杆 发 生 微 小位 移 x与 ， 两 端 便 受 到弹 性 恢 复 力 的 作 用 。 l根 据 牛 顿 运 动 定 律 和 转 动 方 程 式 ， 可 写 出 x与 两 个 方 向 的 振动 微 分 方 程 式 两 自 由 度 系 统 的 振 动 刚 体 平 面 振 动 微 分 方 程 )()( )()( 222111 2211 lxlKlxlKI lxKlxKxmc l或 0)()( 0)()( 2212111122 112221 lKlKxlKlKI lKlKxKKxmc l引 入 符 号 mKKa 21 m lKlKb 1122 cI lKlKc 1122 cI lKlKd 222211 l得 到 与 双 质 量 -弹 簧 系 统 同 样 形 式 的 微 分 方 程 组 00 dcx baxx 两 自 由 度 系 统 的 振 动刚 体 平 面 振 动 主 振 型 00 dcx baxx mKKa 21 m lKlKb 1122 cI lKlKc 1122 cI lKlKd 222211 l系 统 的 固 有 频 率 和 主 振 型 bcdada 222,1 22 2222)2(1 )2(22 2121)1(1 )1(21 d cbaAAv d cbaAAvl振 幅 比 是 角 位 移 与 垂 直 位 移 x的 比 值 两 自 由 度 系 统 的 振 动 刚 体 平 面 振 动 主 振 动分 析 K2 l2 K1 l1的 情 况 01122 m lKlKb 01122 cI lKlKc 0221 0221 22 21 bcdadabv bcdadabv第 一 阶 主 振 动 时 x与 是 同 方 向 ， 第 二 阶 主 振 动 时 x与 是 反 方 向 在 实 际 情 况 中 ， 振 幅 比 绝 对 值 )1(1)1(2)2(1)2(2 AAAA l表 明 两 种 主 振 动 如 以 相 同 的 角 位 作 比 较 ， 第 一 阶 主 振 动 的 质 心位 移 远 大 于 第 二 阶 主 振 动 的 质 心 位 移 ， 第 一 阶 主 振 动 以 上 下 垂 直振 动 为 主 ， 其 主 振 型 如 图 a） 所 示 ， l第 二 阶 主 振 动 以 杆 绕 质 心 轴 的 俯 仰 振 动 为 主 ， 其 主 振 型 如 图b） 所 示 两 自 由 度 系 统 的 振 动刚 体 平 面 振 动 主 振 动2211 lKlK 如 果 01122 m lKlKb 01122 cI lKlKc 00 dcx baxx 中 耦 合 项 均 为 零 ， 简 化 为 0axx 0 d相 当 于 两 个 单 自 由 度 系 统 各 自 独 立 地 作 不 同 固 有 频 率 的 主 振 动 mKKa 211 cI lKlKd 2222112 bcdada 222,1 22 两 自 由 度 系 统 的 振 动静 力 耦 合 和 动 力 耦 合一 般 情 况 下 两 自 由 度 系 统 振 动 微 分 方 程 组 为 00222121222121 212111112111 xkxkxmxm xkxkxmxm 00 dcx baxx方 程 组 中 座 标 之 间 有 耦 合 的 情 况 称 为静 力 耦 合 或 弹 性 耦 合 两 自 由 度 系 统 的 振 动静 力 耦 合 和 动 力 耦 合以 弹 簧 支 承 处 的 位 移 x1与 x2为 独立 座 标 建 立 振 动 微 分 方 程 lx1与 x2同 x与 之 间 有如 下 关 系 11 lxx 22 lxx 转 换 后 得 21 2112 ll xlxlx 21 21 ll xx 代 入 )()( )()( 222111 2211 lxlKlxlKI lxKlxKxmc 可 得 221121 2112 xKxKll xlxlm 22211121 21 xlKxlKll xxIc 两 自 由 度 系 统 的 振 动静 力 耦 合 和 动 力 耦 合 221121 2112 xKxKll xlxlm 222111 21 21 xlKxlKll xxIc 0)()( 0)()( 221221211121 221212112112 xlllKxlllKxIxI xllKxllKxmlxml cc 该 方 程 组 中 不 仅 座 标 有 耦 合 ， 而 且 包 含 加 速 度 的 项 也 有 耦 合 这 种 加 速 度 之 间 有 耦 合 的 情 况 ， 称 为 动 力 耦 合 或 惯 性 耦 合 l如 果 选 取 的 座 标 恰 好 可 使 微 分 方 程 组 的 耦 合 项 全 等 于 零 ， 既 无 静力 耦 合 ， 又 无 动 力 耦 合 ， 就 相 当 于 两 个 单 自 由 度 系 统 ， 这 时 的 座标 就 称 为 主 座 标 两 自 由 度 系 统 的 振 动 主 坐 标 ： 能 够 使 振 动 微 分 方 程 组 完 全 解 耦 的 广 义 坐 标在 特 殊 情 况 下 ， 由 于 结 构 上 的 安 排 ， 可 以 找 到 明 显 的 主 座 标 c为 汽 车 的 回 转 半 径 2cc mI 0)()( 0)()( 221221211121 221212112112 xlllKxlllKxIxI xllKxllKxmlxml cc 第 一 式 乘 以 ， 分 别 与 第 二 式 乘 以 l1相 加 2 c 0)()( 0)()( 221212121211212112 2212212121212122 xllllKxlllKxlmxlm xllKxllKxlmxlm cc cccc 以 及 与 第 二 式 乘 以 l2相 减 0)()( 0)()( 221222121211222122 2212212121212122 xlllKxllllKxlmxlm xllKxllKxlmxlm cc cccc 0)()()( 221212212121211212 xllllKxlllKxllm ccc 0)()()( 221222212121212212 xlllKxllllKxllm ccc 两 自 由 度 系 统 的 振 动 主 坐 标 0)()()( 221212212121211212 xllllKxlllKxllm ccc 0)()()( 221222212121212212 xlllKxllllKxllm ccc l在 汽 车 设 计 中 希 望 一 个 轮 子 在 行 车 时 受 到 跳 动 不 传 动 另 一 个 轮子 上 去 ， 可 使 车 体 质 量 分 布 和 前 后 轮 的 位 置 之 间 满 足 条 件 ： 212 llc l上 面 方 程 组 中 将 无 耦 合 项 ， 成 为 0)( 0)( 22 22222 12 22111 xmlKx xmlKx c cc c 这 时 弹 簧 支 承 处 的 位 移 x1和 x2便 是 主 座 标 两 个 独 立 的 主 振 动 的 固 有 频 率 为 2 2112 22111 )()( ml llKmlK c c 1 2122 22222 )()( ml llKmlK c c 两 自 由 度 系 统 的 振 动 主 坐 标212 llc 时 ， 弹 簧 支 承 处 的 位 移 x1和 x2就 是 主 座 标 两 个 独 立 的 主 振 动 的 固 有 频 率 为 2 2112 22111 )()( ml llKmlK c c 1 2122 22222 )()( ml llKmlK c c 这 两 个 频 率 称 为 偏 频 ， 是 汽车 出 厂 检 验 测 试 项 目 之 一 。 对 应 于 这 两 个 频 率 的 主 振 型当 前 轮 按 1上 下 振 动 时 ， 后轮 不 动 ；后 轮 以 2上 下 振 动 时 ，前 轮 不 动 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动如 果 同 时 满 足 两 个 条 件 2211 lKlK 212 llc 0)( 0)( 22 22222 12 22111 xmlKx xmlKx c cc c 由 可 得 mKK 2121 l特 征 值 出 现 两 个 相 等 的 实 根 ， 即 两 个 固 有 频 率 相 等 。l这 时 对 应 的 主 振 型 将 不 是 唯 一 的 。 两 自 由 度 系 统 的 振 动 振 动 方 程 组 解 耦 k 1 k 2m 1 m 2F 1 F 2x x1 2k 3两 自 由 度 弹 簧 -质 量系 统振 动 微 分 方 程 组 12212111 )( Fxkxkkxm 22321222 )( Fxkkxkxm 2121322 22121210 0 FFxxkkk kkkxxmm 矩 阵 形 式如 果 m1=m2=m， k1=k2=k3=k 1211 2 Fkxkxxm 2212 2 Fkxkxxm 两 自 由 度 系 统 的 振 动 振 动 方 程 组 解 耦 (1) 2 1211 Fkxkxxm (2) 2 2212 Fkxkxxm (2) (1)： 121212 )(3)( FFxxkxxm (2) (1)： 121212 )()( FFxxkxxm 122 121 xxy xxy 引 入 坐 标 变 换 定 义 广 义 力 122 121 FFQ FFQ 111 3 Qkyym 222 Qkyym 质 量 矩 阵 和 刚 度 矩 阵 同 时 为 对 角 矩 阵 mmM 0 0 kkK 0 03质 量 矩 阵 和 刚 度 矩 阵 的 形 式 与 坐 标 选 取 有 关 两 自 由 度 系 统 的 振 动通 过 选 取 坐 标 系 直 接 使 质 量 矩 阵 和 刚 度 矩阵 同 时 为 对 角 矩 阵 难 以 实 现 。通 过 坐 标 变 换 使 振 动 微 分 方 程 组 质 量 矩 阵和 刚 度 矩 阵 同 时 对 角 化 （ 解 耦 ） 振 动 模态 分 析 的 基 本 思 路 。 系 统 的 振 动 表 示 为 所 有n个 主 振 动 的 叠 加 两 自 由 度 系 统 的 振 动多 自 由 度 系 统 振 动 微 分 方 程 一 般 包 括 多 个 相 互耦 合 的 二 阶 常 微 分 方 程 组 ；系 统 具 有 多 个 不 同 数 值 的 固 有 频 率 （ 特 殊 情 况下 数 值 可 能 相 等 或 有 一 个 等 于 零 ） 。 当 系 统 按其 中 任 一 固 有 频 率 作 自 由 振 动 时 ， 称 为 主 振 动 。主 振 动 是 一 种 简 谐 振 动系 统 作 主 振 动 时 ， 任 何 瞬 时 各 点 位 移 之 间 具 有一 定 的 相 对 比 值 ， 即 整 个 系 统 具 有 确 定 的 振 动形 态 ， 称 为 主 振 型 ， 主 振 型 是 系 统 的 固 有 特 性 。通 过 坐 标 变 换 ， 有 可 能 使 系 统 振 动 微 分 方 程 组解 耦 ， 即 使 其 质 量 矩 阵 和 刚 度 矩 阵 同 时 对 角 化是 否 存 在 、 及 如 何 找 到 使 系 统 振 动 微 分 方 程 组解 耦 的 坐 标 变 换 ？ 振 动 模 态 分 析 2)2(1121)1(1 2)2(1121)1(1 coscos sinsin AA AvvA 2)2(122212222122)1(1 )(cos)(sin)()( AvvA 22222 cos25sin41)( )2(1 )1(1 AA mK1 mK252 11 v 5.02 v 222 cos4941)( )2(1 )1(1 AA 2)2(111 221)1(1 2)2(1121)1(1 coscos sinsin AvvA AvvA 2)2(122212222122)1(1 )(cos)( in)()( AvvA )cos25(sin41)( 22222 )2(1 )1(1 AA )cos231(41)( 222)2(1 )1(1 AA 222 cos8341)( )2(1 )1(1 AA 2,0cos 22 0)()()()( 4231331442 lxklxkellxkllxkJc 0)()()( 4231 lxklxkexm )()( 331442 ellxkellxkJc 整 理 后 得 00 2312423142 3142211 xlklklklk lklkkkxJem emm c 0)()( 314221 lklkxkkmexm 平 动 方 程转 动 方 程 0)()()( 23124231422 lklkxlklkmeJxem c 0)()()( 331442 exmellxkllxkJc