5讲条件概率与乘法规则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,*,概率论与数理统计,第五讲,10/1/2024,1,条件概,率,率乘,法,法法则,2/8,/,/2020,2,条件概,率,率是概率,论,论中一,个,个重要,而,而实用,的,的概念,，,，通俗,的,的讲，,条,条件概,率,率是事,件,件A发,生,生的条,件,件下，,事,事件B,发,发生的,概,概率。,先来看,两,两个例,子,子。,2/8,/,/2020,3,例1100,个,个产品,中,中有60个一,等,等品,30,个,个二等,品,品,10个,废,废品.,规,规定,一,一,二,等,等品都,是,是合格,品,品.,试验:,从,从100个,产,产品中,任,任意抽,取,取一个,假设:A,B为抽到,的,的是一,二等,品,品,C为抽到,的,的是合,格,格品,则,则C=A+B,则一等,品,品率为P(A)=60/100,二,二等,品,品率为P(B)=30/100.,合,合格,率,率为P(C)=90/100,如果改,变,变试验为:,从,从合格,品,品中任,抽,抽一件,则,合,合格品,中,中的一,等,等品率,为,为P(A|C)=60/90.,2/8,/,/2020,4,例2丢一颗,均,均匀的,骰,骰子，B：,“,“奇数,点,点”,，,，,A：“,点,点数大,于,于1”,，,，则,P(B,),)=3,/,/6,P,(,(A),=,=5/6,若将这,颗,颗骰子,丢,丢下后,，,，告诉,你,你一个,“,“点数,大,大于1,”,”的信,息,息，再,考,考虑“,是,是奇数,点,点”的,概,概率，,即,即“已知A,(,(点数,大,大于1,),)发生,的,的条件,下,下，求B(奇,数,数点),的,的概率”，这,就,就是条件概,率,率，记为,：,：P(B,|,|A)。,2/8,/,/2020,5,一、条,件,件概率,1定义在事件A已经发,生,生的条,件,件下,事,事件B发生的,概,概率,称,称为事件B在给定A下的条,件,件概率,简称为B对A的条件,概,概率,记,作,作P(B,|,|A),相应地,把P(A)称为无条件,概,概率.,这里,只,只研,究,究作为,条,条件的,事,事件A具有正,概,概率即P(A)0,的,的情况,.,.,2/8,/,/2020,6,条件概,率,率，一理解；二计算,例2：丢一,颗,颗均匀,的,的骰子,，,，B,:,:“奇,数,数点”,，,，A,:,:“,点,点数大,于,于1”,。,。,方法1,：,：由定,义,义来计,算,算,AB=,奇数,点,点且大,于,于1,=,=3,5,P(AB),=,=2/6,则,方法2,：,：“改,变,变样本,空,空间”,法,法,将这颗,骰,骰子丢,下,下后，,样,样本空,间,间是S,=,=1,2,3,4,5,6，,准,准备在S的基,础,础上计,算,算“奇,数,数点”,的,的概率,，,，当得,到,到一个,信,信息A,:,:“点,数,数大于1”,则,则转而,在,在新样,本,本空间A=2,3,4,5,6,的基,础,础上计,算,算，在A的5,个,个元素,中,中，有2个奇,数,数，于,是,是P(B,|,|A)=2/5.,2/8,/,/2020,7,条件概,率,率:样,本,本空间,的,的压缩或者可,以,以认为,是,是基本事,件,件的减,少,少而导致,的,的试验,.,.,以事件B为条件,的,的条件,概,概率,意,意味,着,着在试,验,验中将B提升为,必,必然事,件,件.,S,B,B,S,2/8,/,/2020,8,例3市场上,供,供应的,灯,灯泡中,甲,厂,厂的产,品,品占70%,乙,乙厂,占,占30,%,%,甲,甲厂产,品,品的合,格,格率是95%,乙,厂,厂的合,格,格率是80%,若,用,用事件A,A分别表,示,示甲乙,两,两厂的,产,产品,B表示产,品,品为合,格,格品,试,试写,出,出有关,事,事件的,概,概率和,条,条件概,率,率。,解,依,依题意,注:,在,在解题,过,过程中,常,常见的,错,错误是,将,将条件,概,概率写,成,成无条,件,件概率,!,!,2/8,/,/2020,9,例4全年级100,名,名学生,中,中,有,有男生,(,(以事,件,件A表示)80人,女,生,生20,人,人,来,来自北,京,京的(,以,以事件B表示),有,有20,人,人,其,其中男,生,生12,人,人,女,生,生8人,免修,英,英语的,(,(用事,件,件C表示)40人,中,中有32名男,生,生,8,名,名女生,求P(A)，P(B)，P(B|A)，P(A|B)，P(AB)，P(C)，P(C|A),解：P(A)=80/100=0.8P(B)=20/100=0.2,P(B|A)=12/80=0,.,.15P(A|B)=12/20=0,.,.6,P(AB)=12/100=0.12P(C)=40/100=0.4,2/8,/,/2020,10,因此,在,在概,率,率论中,把,把某一,事,事件B在给定,另,另一事,件,件A(P(A)0,),)下的条件概,率,率P(B|A)定义,为,为乘法法,则,则,P(AB)=P(A)P(B|A),(,(若P(A)0,),),P(AB)=P(B)P(A|B),(,(若P(B)0,),),2/8,/,/2020,11,n个事件A1,A2,An的乘法公,式,式为:,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),证明略,。,。,2/8,/,/2020,12,无论是两个事,件,件的乘法,公,公式还,是,是多个事,件,件的乘法,公,公式都,是,是非常重,要,要的。,通常,P(A|B)好,算,算,P(AB)往往,不,不好算,.,.,2/8,/,/2020,13,再回到,例,例3市场上,供,供应的,灯,灯泡中,甲,厂,厂产品,(,(A)占70%,乙,乙厂,(,(A)占30%,甲,甲厂,产,产品合,格,格率是95%,乙,厂,厂合格,率,率是80%,B表示产,品,品为合,格,格品。,解,依,依题意,2/8,/,/2020,14,例510个,考,考签中,有,有4个,难,难签,3人,参,参加抽,签,签(不,放,放回),甲,先,先,乙,乙次,丙,丙最,后,后,求,求甲抽,到,到难签,甲,乙都抽到难,签,签,甲,甲没抽,到,到难签而乙抽到,难,难签以,及,及甲,乙,乙,丙都抽到难,签,签的概,率,率.解 设,事,事件A,B,C分别表,示,示甲乙,丙,丙各抽,到,到难签,2/8,/,/2020,15,古典概,型,型的方法,：,：,用这种,思,思路可,以,以知道P(B)和P(C)也都,是,是4/10,2/8,/,/2020,16,事实上,即,使,使这十,张,张难签,由,由10,个,个人去,抽,抽,因,因为其,中,中有4,张,张难签,因,此,此每个,人,人抽到,难,难签的,概,概率都,是,是4/10,与,与他,抽,抽的次,序,序无关,.,.,正如十,万,万张彩,票,票如果,只,只有10个特,等,等奖,则,则被,十,十万个,人,人去抽,无,论,论次序,如,如何,每,每个,人,人的中,奖,奖概率,都,都是十,万,万分之,十,十,即,即万分,之,之一.,这在概,率,率论中,叫,叫抽签原,理,理.,2/8,/,/2020,17,例如(考研,题,题,3,分,分)一批产,品,品有10个正,品,品和2,个,个次品,任,意,意抽取,两,两次,每,每次,抽,抽一个,抽,出,出后不,放,放回,则,则第,二,二次抽,出,出的是,次,次品的,概,概率为,_,_,_,_.,因产品,总,总数是12,次,次品,数,数是2,因,此,此答案,是,是2/12.,(考研,题,题,3,分,分)袋中有50个,乒,乒乓球,其,中,中20,个,个是黄,球,球,30个,是,是白球,.,.今,有,有两人,依,依次随,机,机地从,袋,袋中各,取,取一球,取,后,后不放,回,回,则,则第2,个,个人取,得,得黄球,的,的概率,是,是_,_,_.,因共有50个,乒,乒乓球,20个黄,球,球,因,因此答,案,案是2,/,/5.,2/8,/,/2020,18,例6甲乙两,选,选手进,行,行乒乓,球,球单打,比,比赛,甲,甲发,球,球成功后,乙,回,回球失,误,误的概,率,率为0,.,.3,若乙回球,成,成功,甲,甲回,球,球失误,的,的概率,为,为0.4,若甲回球,成,成功,乙,乙再回球时,失,失误的,概,概率为0.5,试计算这,几,几个回,合,合中,乙,输,输掉一,分,分的概,率,率.,解 设Ai为甲在,第,第i回,合,合发(,回,回)球,成,成功的,事,事件,Bi为乙在,第,第i回,合,合回球,成,成功的,事,事件(i=1,2),A为两个,回,回合中,乙,乙输掉,一,一分的,事,事件,则,则,2/8,/,/2020,19,则因,2/8,/,/2020,20,例75人以,摸,摸彩方,式,式决定,谁,谁得1,张,张电影,票,票.,今,今设Ai表示第i人摸到,(,(i=1,2,3,4,5),则,则下,列,列结果,中,中有1,个,个不正,确,确,它,它是(,),),2/8,/,/2020,21,解.则P(A3|A1A2)是指,在,在前两,个,个人没,有,有抽到,条,条件下,第,第3个,人,人抽到,的,的事件,则,第,第3个,人,人抽时,只,只有三,张,张彩票,则,抽,抽中的,条,条件概,率,率当然,是,是1/3.,因,因此,选,选项(A)正,确,确.,此,此外,每,每个,人,人抽中,的,的无条,件,件概率,显,显然是1/5,因,此,此选项,(,(D),正,正确.,选,选项,(,(B),和,和(E,),)可由,乘,乘法法,则,则求得,为,为,因此选,项,项(C,),)不正,确,确,答,答案为,(,(C),2/8,/,/2020,22,小结,1条件概,率,率有两,种,种计算,方,方法：,“,“定义,计,计算”,和,和“改,变,变样本,空,空间”,法,法，简,单,单的条,件,件概率,可,可由第,二,二种方,法,法直接,得,得到，,较,较复杂,的,的用定,义,义计算,。,。2乘法公,式,式是利,用,用条件,概,概率计,算,算交事,件,件的概,率,率：P(AB)=P(A,),)P(B|A)=P(B)P(A|B)乘法公,式,式推广,到,到3个,事,事件：P(ABC),=,=P(A)P(B|A)P(C|AB)乘法公,式,式推广,到,到n个,事,事件：,P(A1A2An)=P,(,(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1)P(An|An-1.A1),乘法公,式,式是普,遍,遍成立,的,的，只,要,要作为,“,“条件,的,的事件,”,”的概,率,率不等,于,于零即,可,可。,2/8,/,/2020,23,在实际,问,问题中,哪,哪些是,条,条件概,率,率，条,件,件是什,么,么，要,根,根据具,体,体问题,去,去理解,，,，看清,具,具体随,机,机试验,的,的过程,，,，一步,一,一步的,先,先后次,序,序、步,与,与步之,间,间是否,有,有影响,。,。在初学,阶,阶段，,尽,尽可能,用,用字母A,B,去表,示,示事件,，,，进而,表,表示概,率,率，这有助,于,于对事,件,件关系,的,的理解,及,及对概,率,率及条,件,件概率,的,的理解,。,。3对P(C|A,),)和P,(,(AC,),)的区,别,别，要,根,根据具,体,体问题,去,去理解,。,。如“,甲,甲厂产,品,品的次,品,品率”,，,，这要,理,理解为,：,：产品,是,是甲厂,生,生产的,条,条件下,的,的次品,率,率，是,条,条件概,率,率P(C|A,),)；而,“,“甲厂,的,的次品,”,”的概,率,率，应,理,理解为,产,产品既,是,是甲厂,生,生产的,，,，又是,次,次品的,概,概率，,是,是交事,件,件的概,率,率P(AC),。,。,2/8,/,/2020,24,4条件概,率,率公式P(B|A)=P,(,(AB,),)/P,(,(A)中的A,和,和B是,事,事件，,可,可以是,简,简单事,件,件，也,可,