教育专题：切线长(1)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,直线与圆的位置关系,切线长定理,练习,3,已知,O,到直线,l,的距离为,d,，,O,的半径为,r,，若,d,、,r,是方程,x,2,-,7,x,+,12,=,0,的两个根，则直线,l,和,O,的位置关系是,_,相交或相离,4,练习,练习,2,已知,A,的直径为,6,，点,A,的坐标为（,-,3,，,-,4,），则,A,与,x,轴的位置关系是,_,，,A,与,y,轴的位置关系是,_,相离,相切,4,练习,y,x,A,-,3,-,4,O,问题,1,、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？,O,O,O,P ,P,P,A,问题,2,、经过圆外一点,P,，如何作已知,O,的,切线？,O,。,A,B,P,思考,：假设切线,PA,已作出，,A,为切点，则,OAP=90,连接,OP,，可知,A,在怎样的圆上,?,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做,这点到圆的切线长,O,P,A,B,切线与切线长的区别与联系：,（,1,）,切线是一条与圆相切的直线；,（,2,）,切线长是指,切线上某一点,与,切点,间的线段的长。,若从,O,外的一点引两条切线,PA,，,PB,，切点分别是,A,、,B,，连结,OA,、,OB,、,OP,，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。,A,P,O,。,B,PA = PB,OPA=OPB,证明：,PA,，,PB,与,O,相切，点,A,，,B,是切点,OAPA,，,OBPB,即,OAP=OBP=90, OA=OB,，,OP=OP,RtAOPRtBOP(HL),PA = PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,PA,、,PB,分别切,O,于,A,、,B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,A,P,O,。,B,几何语言,:,反思,：切线长定理为证明,线段相等,、,角相等,提 供了新的方法,我们学过的切线，常有 五个 性质：,1,、切线和圆只有一个公共点；,2,、切线和圆心的距离等于圆的半径；,3,、切线垂直于过切点的半径；,4,、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；,5,、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6,、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,六个,A,P,O,。,B,M,若连结两切点,A,、,B,，,AB,交,OP,于点,M.,你又能得出什么新的结论,?,并给出证明,.,OP,垂直平分,AB,证明：,PA,，,PB,是,O,的切线,点,A,，,B,是切点,PA = PB OPA=OPB,PAB,是等腰三角形，,PM,为顶角的平分线,OP,垂直平分,AB,A,P,O,。,B,若延长,PO,交,O,于点,C,，连结,CA,、,CB,，你又能得出什么新的结论,?,并给出证明,.,CA=CB,证明：,PA,，,PB,是,O,的切线,点,A,，,B,是切点,PA = PB OPA=OPB,PC=PC,PCA PCB,AC=BC,C,例,.PA,、,PB,是,O,的两条切线，,A,、,B,为切点，直线,OP,交于,O,于点,D,、,E,，交,AB,于,C,。,B,A,P,O,C,E,D,（,1,）写出图中所有的垂直关系,OAPA,，,OB PB,，,AB OP,（,3,）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP,， ,AOC BOC,， ,ACP BCP,（,4,）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（,5,）若,PA=4,、,PD=2,，求半径,OA,（,2,）写出图中与,OAC,相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,。,P,B,A,O,（,3,）连结圆心和圆外一点,（,2,）连结两切点,（,1,）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,1.,切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,小 结：,A,P,O,。,B,E,C,D,PA,、,PB,分别切,O,于,A,、,B,PA = PB ,OPA=OPB,OP,垂直平分,AB,切线长定理为证明,线段相等，角相等，弧相等，垂直关系,提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,2.,圆的外切四边形的两组对边的和相等,李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。,下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。,思考,A,B,C,o,o,o,o,外接圆,圆心：,三角形三边垂直平分线的交点,。,外接圆,的半径：,交点到三角形任意一个定点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,o,内切圆圆心：,三角形三个内角平分线的交点。,内切圆的半径：,交点到三角形任意一边的垂直距离。,A,A,B,B,C,C,例,.,如图所示,PA,、,PB,分别切圆,O,于,A,、,B,，,并与圆,O,的切线分别相交于,C,、,D,，已知,PA=7cm,，,(1),求,PCD,的周长,(2),如果,P=46,求,COD,的度数,C,O,P,B,D,A,E,过,O,外一点作,O,的切线,O,P,A,B,O,例,1,ABC,的内切圆,O,与,BC,、,CA,、,AB,分别相切于,点,D,、,E,、,F,，且,AB=9cm,，,BC=14cm,，,CA=13cm,，,求,AF,、,BD,、,CE,的长,.,解,:,设,AF=x(cm), BD=y(cm),CE,z(cm),AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).,O,与,ABC,的三边都相切,AF,AE,BD,BF,CE,CD,则有,x,y,9,y,z,14,x,z,13,解得,x,4,y,5,z,9,例,.,如图，,ABC,中,C =90,它的,内切圆,O,分别与边,AB,、,BC,、,CA,相切,于点,D,、,E,、,F,，且,BD=12,，,AD=8,，,求,O,的半径,r.,O,E,B,D,C,A,F,明确,1.,一个三角形有且只有一个内切圆；,2.,一个圆有无数个外切三角形；,3.,三角形的内心就是三角形三条内角平,分线的交点；,4.,三角形的内心到三角形三边的距离相等。,B,C,a,b,c,r,A,直角三角形的两直角边分别是,5cm,12cm,则其内切圆的半径为,_,。,思考, O,A,B,C,D,E,F, O,A,B,C,D,E,选做题：如图，,AB,是,O,的直径，,AD,、,DC,、,BC,是切线，点,A,、,E,、,B,为切点，若,BC=9,，,AD=4,，求,OE,的长,.,B,D,E,F,O,C,A,如图，,ABC,的内切圆的半径为,r,ABC,的周长为,l,求,ABC,的面积,S.,解：,设,ABC,的内切圆与三边相切于,D,、,E,、,F,，,连结,OA,、,OB,、,OC,、,OD,、,OE,、,OF,，,则,ODAB,，,OEBC,，,OFAC.,S,ABC,S,AOB,S,BOC,S,AOC,ABOD,BCOE,ACOF,lr,设,ABC,的三边为,a,、,b,、,c,，面积为,S,，,则,ABC,的内切圆的半径,r,结论,2,S,a,b,c,三角形的内切圆的有关计算,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O,为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径,r.,设,AD=,x, BE=,y,CE,r,O,与,RtABC,的三边都相切,AD,AF,BE,BF,CE,CD,则有,x,r,b,y,r,a,x,y,c,解：,设,RtABC,的内切圆与三边相切于,D,、,E,、,F,，连结,OD,、,OE,、,OF,则,OAAC,，,OEBC,，,OFAB,。,解得,r,a,b,c,2,结论,设,RtABC,的直角边为,a,、,b,，斜边为,c,，则,RtABC,的,内切圆的半径,r, 或,r,a,b,c,2,ab,a,b,c,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, ,O,为RtABC的内切圆. （1）求,RtABC,的内切圆的半径,.,（2）若移动点,O,的位置，使,O,保持与ABC的边AC、BC都相切，求,O,的半径,r,的取值范围。,设,AD=,x, BE=,y,CE,r,O,与,RtABC,的三边都相切,AD,AF,BE,BF,CE,CD,则有,x,r,4,y,r,3,x,y,5,解：,（,1,）设,RtABC,的内切圆与三边相切于,D,、,E,、,F,，连结,OD,、,OE,、,OF,则,OAAC,，,OEBC,，,OFAB,。,解得,r,1,在,RtABC,中，,BC,3,AC,4, AB,5,由已知可得四边形,ODCE,为正方形，,CD,CE,OD,RtABC,的内切圆的半径为,1,。,（,2,）如图所示，设与,BC,、,AC,相切的最大圆与,BC,、,AC,的切点分别为,B,、,D,连结,OB,、,OD,则四边形,BODC,为正方形。,A,B,O,D,C,OB,BC,3,半径,r,的取值范围为,0,r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,基础题：,1.,既有外接圆,又内切圆的平行四边形是,_.,2.,直角三角形的外接圆半径为,5cm,内切圆半径为,1cm,则此三角形的周长是,_.,3.O,是边长为,2cm,的正方形,ABCD,的内切圆,EF,切,O,于,P,点，交,AB,、,BC,于,E,、,F,，则,BEF,的周长是,_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,4.,小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的,直径,(,锅边所形成的圆的直径,),而小红家只有一把长,20cm,的直尺,根本不够长,怎么办呢,?,小红想了想,采取以下方,法,:,首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴,墙面量得,MA,的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说,明她这样做的道理,.,1.,已知：,ABC,的内切圆分别和,BC,、,AC,、,AB,相切于点,D,、,E,、,F,，,DIE=120,EIF=130.,求,ABC,的三个内角的度数,.,A,B,C,I,D,E,F,2,、已知：如图，,P,为,O,外一点，,PA,，,PB,为,O,的切线，,A,和,B,是切点，,BC,是直径求证：,ACOP,C,B,A,P,O,2,、已知：如图，,P,为,O,外一点，,PA,，,PB,为,O,的切线，,A,和,B,是切点，,BC,是直径求证：,ACOP,C,B,A,P,O,同学们要好好学习,老师期盼你们快快进步！,