二元线性规划问题的图解法课件

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,单击此处编辑母版标题样式,18.2二元线性规划问题的图解法1,问题,在平面直角坐标系中，直线,x+y-1=0,将平面分成几部分呢？,?,不等式,x+y-10,对应平面内哪部分的点呢？,答：分成三部分,:,（,2,）点在直线的右上方,（,3,）点在直线的左下方,0,x,y,1,1,x+y-1=0,想一想？,（,1,）点在直线上,右上方点,左下方点,区域内的点,x+y-1,值,的正负,代入点的坐标,（,1,1,）,（,2,0,）,（,0,0,）,（,2,1,）,（,-1,1,）,（,-1,0,）,（,-1,-1,）,（,2,2,）,直线上的点的坐标满足,x+y-1=0,，那么直线两侧的点的坐标代入,x+y-1,中，也等于,0,吗,?,先完成下表，再观察有何规律呢？,探索规律,自主探究,0,x,y,1,1,x+y-1=0,同侧同号，异侧异号,规律：,正,负,1,、点集,(x,y)|x+y-10,表示直线,x,+,y,1=0,右上方,的平面区域；,2,、点集,(x,y)|x+y-1,0,表示直线,A,x,+B,y,+C=0,某一侧,所有点组成的平面区域，我们把直线画成,虚线,以表示区域,不包含,边界,;,不等式,A,x,+B,y,+C,0,表示的平面区域,包括,边界，把边界画成,实线。,1,、,由于直线同侧的点的坐标代入,Ax+By+C,中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入,Ax+By+C,中，从所得结果的,正负,即可判断,Ax+By+C0,表示哪一侧的区域。,2,、,方法总结：,画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：,1,、线定界（注意边界的虚实）,2,、点定域（代入特殊点验证）,特别地，当,C0,时常把原点作为特殊点。,x+4y4,x-y-40,x-y-40,典例精析,题型一：画二元一次不等式表示的区域,例,1,、画出,x+4y4,表示的平面区域,x+4y=4,x+4y4,（,2,）,x-y-40,o,x,y,x-y-4=0,例2,画出不等式,y,2,x+,6,表示的平面区域.,变式1：,2,x+y60,区域？,y 2x+6,练习1,画出下列不等式表示的平面区域：,(1) 2y x; (2) 3x+2y 6； (3) 2x+5y100; (4) x30,直线右侧区域,Ax+By+C0,直线左侧区域,方法二,:,(3) 2x+5y100,(1) 2y x;,(2) 3x+2y 6,(4) x30,例,2,、画出不等式组表示的平面区域。,题型二：画二元一次不等式组表示的区域,由于所求平面区域的点的坐标需同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的区域是各个不等式表示的区域的,交集,，即,公共部分,。,分析,：,画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：,总结：,2.,点定域,3.,交定区,1.,线定界,x-y+5,0,x+y,0,x,3,x,o,y,4,-,5,5,x-y+5=0,x+y=0,x=3,画出不等式组,表示的平面区域.,例2,x,=3,2,x,=,y,3,x,+,y,=6,3,y,=x+9,练习2,画出下列不等式组表示的平面区域：,(1),(2),变式2：,(1),(2),返回,y,=2,x,+1,x,+2,y,=4,y,=,x,x,+2,y,=4,y,=2,画出不等式组,表示的平面区域.,例2,x,=3,2,x,=,y,3,x,+,y,=6,3,y,=x+9,练习2,画出下列不等式组表示的平面区域：,(1),(2),变式2：,跟踪练习,能力提升,如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)0的点(x,y)所在区域应为：( ),B,y,1,2,O,(C),y,1,2,O,(D),y,1,2,O,(A),y,1,2,O,(B),(0,1),(-4,-1),(2,-1),x,y,题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）,例,3,、写出表示下面区域的二元一次不等式组,解析：边界直线方程为,x+y-1=0,代入原点（,0,，,0),得,0+0-1,0,即所求不等式为,x+y-10,典例精析,题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）,例,3,、写出表示下面区域的二元一次不等式,x,y,-2,o,1,1,-1,x-2y+2,0,y-1,绿色区域,蓝色区域,x-2y+2,0,y-1,x+y-10,x+y-10,紫色区域,黄色区域,根据平面区域写出二元一次,不等式（组）的,步骤：,方法总结,求边界直线的方程,1,代入区域内的点定号,2,写出不等式（组）,3,题型五：综合应用,解析：,由于在异侧，则（,1,，,2,）和（,1,，,1,）,代入,3x-y+m,所得数值,异号,，,则有（,3-2+m,）（,3-1+m,）,0,所以（,m+1,）,(m+2) 0,即：,-2m-1,试确定,m,的范围，使点（,1,，,2,）和（,1,，,1,）在,3x-y+m=0,的,异侧,。,例,4,、,变式,:,若在,同侧,，,m,的范围又是什么呢？,解析,：,由于在同侧，则（,1,，,2,）和（,1,，,1,）,代入,3x-y+m,所得数值,同号,，,则有（,3-2+m,）（,3-1+m,）,0,所以（,m+1,）,(m+2),0,即：,m 0,直线右侧区域,Ax+By+C0,直线左侧区域,方法二,:,18.2.2,二元线性规划,问题的图解法,本节课内容解读,二元线性规划问题,的图解法,(,1,),能从实际问题中抽象出二元一次不等式组.,(2),了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组,.,(3),会用图解法解决简单的二元线性规划问题,.,1.,二元一次不等式,(,组,),表示平面区域,作二元一次不等式,Ax+By+C,0(,或,Ax+By+C,0),表示的平面区域的方法步骤,:,(1),在平面直角坐标系中作出直线,Ax+By+C=0.,(2),在直线的一侧任取一点,P(x,0,y,0,),特别地,当,C0,时,常把,作为此特殊点,.,(3),若,Ax,0,+By,0,+C,0,则包含点,P,的半平面为不等式,所表示的平面区域，不包含点,P,的半平面为不等式,所表示的平面区域,.,原点,Ax+By+C,0,Ax+By+C,0,2.,线性规划的有关概念,（,1,）线性约束条件,由条件列出一次不等式（或方程）组,.,（,2,）线性目标函数,由条件列出一次函数表达式,.,（,3,）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题,.,（,4,）可行解：满足,的解（,x,，,y,）,.,（,5,）可行域：所有,的集合,.,（,6,）最优解：使,取得最大值或最小 值的可行解,.,线性约束条件,可行解,目标函数,合作讨论，构建新知,探究：,如图：在平面直角坐标系中，,Ax+By+C=0,（,A,0,，,B,0,）表示一条直线，当,C,取不同的值时，所得的方程就表示不同的直线，这些直线可以看做由直线,Ax+By=0,平移得到。当直线往右上方平移时，,Z= Ax+By,的值是增大还是减小？,x,y,0,Ax+By=0,Z,值不断增大,为什么？,解：,A,0,，,B,0,，,当直线往右上方平移时，直线上点的横坐标,x,和纵坐标,y,的值随之增大，所以,Z= Ax+By,的值也在不断地增大。,如果没有,A,0,，,B,0,限制条件时，当直线平移时，由于系数,A,、,B,符号不同，值,Z= Ax+By,的变化情况是不同的。,解：,A,0,，,B,0,，,当直线往右上方平移时，直线上点的横坐标,x,和纵坐标,y,的值随之增大，所以,Z= Ax+By,的值也在不断地增大。,如果没有,A,0,，,B,0,限制条件时，当直线平移时，由于系数,A,、,B,符号不同，值,Z= Ax+By,的变化情况是不同的。,例,1,用图解法解线性规划问题：,max z=2x+3y,5x+10y40,120x+60y600,x,y0,x,y,0,x+2y=8,2x+y=10,x+2y=8,2x+y=10,A,(4,2),x+2y 8,2x+y 10,x,y0,画（画可行域）,移（移等值线）,2x+3y=0,如何求点,A,的坐标？,x+2y = 8,2x+y = 10,解方程组,求（求,z,最值）,max z=24+32=14,解：画直线直线x+2y=8和2x+y=10，其交点为A.如图中的阴影部分就是问题的可行域，将直线2x+3y=0往右上方平移到可行域的顶点A （4,2）时，z取得最大值14.即maxz=24+32=14,x+2y=8,2x+y=10,A,(4,2),归纳总结：,利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是,（,1,）画：在平面直角坐标系内作出可行域,.,（,2,）移：作出目标函数的等值线,.,（,3,）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定,.,（,4,）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值,.,最优解,1.,变式,1,：求例,1,中函数,z=2x+3y,在平面区域,5x+10y40,120x+60y600,x,y0,内的取值范围,.,x+2y=8,2x+y=10,A,（,0,0,）,(4,2),解：,当,2x+3y=0,往右上方平移时，直线上的横坐标,x,随之增大，纵坐标,y,随之增大，故所对应的,z,值也随之增大。因此，,z=2x+3y,在原点,0,（,0,0,）取得最小值，在,A,点（,4,2,）取得最大值。所以,z0,14,2.,变式,2,：观察例,1,的平面区域，若使目标函数,z=abx+y(a,0,，,b,0),取得最大值为,14,，则,ab,的值为,，,a+b,的最小值为,。,x+2y=8,2x+y=10,A,(4,2),3,解：,目标函数,z=abx+y,在,A,（,4,2,）处取得最大值为,14,，,4ab+2=14,ab=3.,a+b,a+b,的最小值为,3,、 变式,3,：观察例,1,的平面区域，若使目标函数,z=ax+y(a,0),取得最大值的最优解有无穷多个，则,a,的值为,。,x+2y=8,2x+y=10,A,解：由题意知：要使,目标函数,z=ax+y(a,0),取得最大值的最优解有无穷多个，必须直线,ax+y=0,与直线,x+2y=8,平行，即两直线斜率相等。所以,a=,4,思考：例,1,中约束条件下的平面区域的图形面积如何求？,x+2y=8,2x+y=10,A,思路点拨,：,求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，则可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形然后求解,5.,营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供,0.075kg,的碳水化合物，,0.06kg,的蛋白质，,0.06kg,的脂肪，,1kg,食物,A,含有,0.105kg,碳水化合物，,0.07kg,蛋白质，,0.14kg,脂肪，花费,28,元；而,1kg,食物,B,含有,0.105kg,碳水化合物，,0.14kg,蛋白质，,0.07kg,脂肪，花费,21,元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物,A,和食物,B,多少,kg,？,食物,kg,碳水化合物,kg,蛋白质,/kg,脂肪,kg,A,0.105,0.07,0.14,B,0.105,0.14,0.07,分析,:,列,(,列线性约束条件,目标函数,),目标函数,为：,z,28x,21y,线性约束条件,（三）例题分析,画,(,画可行域,),1,1,移,(,平移目标函数,寻找最优解,),M,解方程组,解得,求,(,求,Z,的最值,),如何求点,M,的坐标,?,z,min,28x,21y,16,28X+21y=0,(1)解决线性规划实际应用题的一般步骤:,认真审题,分析并掌握实际问题的背景,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数.,作出可行域.,作出目标函数值为零时对应的直线l.,在可行域内平行移动直线l,从图中能判定问题有唯一最优解,或是有无穷最优解或无最优解.,求出最优解,从而得到目标函数的最值.,x-y+50,ya,0x2,表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是,.,6.,若不等式组,【,解析,】,如图，不等式组,x-y+50,0x2,表示的平面区域与,x,轴构成一个,梯形，它的一个顶点坐标是（,2,，,7,）,用平行于,x,轴的直线,y=a,截梯形得到,三角形，则,a,的取值范围是,5a7.,