《数列求和的四种方法》课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常见数列求和的,四种方法,数,列,求,和,介绍求一个数列的前,n,项和的几种方法：,1,、,运 用 公 式 法,2,、错 位 相 减 法,3,、裂 项 相 消 法,4,、通 项 分 析 法,数,列,求,和,一、运用公式法,运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。,如：等差数列的求和公式：,等比数列的求和公式：,还有一些常用公式：,请看下面例子：,数,例,1,求数列 的前,n,项和,分析：,由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为,1,、公差为,2,的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前,n,项和可看作一个等差数列的前,n,项和与一个等比数列的前,n,项和的和。,解：,归纳出：奇数列的前,n,项和,列,求,和,1,二、错 位 相 减 法,错位相减法在等比数列求前,n,项和时用过；它主要用于由一个,等差数列,与一个,等比数列,的积数列。,求法步骤如下：,1,、在 的两边同时乘于,公比,q,2,、两式相减；左边为 ，右边,q,的同次式相减,3,、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的,各项组成等比数列，可用公式求和。,看以下例子,数,列,求,和,例,2,求数列 的前,n,项和,分析：,该数列可看作等差数列 等比数列 的积数列,这里等比数列的公比,q,=,解：,两式相减：,所以：,运算整理得：,数,列,求,和,2,例,3,设 求数列 的前,n,项和,分析：,这个数列的每一项都含有,a,，而,a,等于,1,或不等于,1,，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行,解：,两边同乘,a:,两式相减：,所以：,运算并整理得：,数,列,求,和,2,三、裂 项 相 消 法,顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为,0,达到求和目的的一种求和方法。,求 法 步 骤,1,、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。,（注意：裂开后的通项式当,n=k,和,n=k+d,时有相消为,0,的情况出现才行）,2,、解题时；对裂开后的通项式令,n,取,1,，,2,，,3,，,n,然后相加得,3,、把和式中每一对相消为,0,的式子除去，整理剩下的,式子即为和式。,请 看 下 面 例 子,数,列,求,和,例,4,求数列 的前,n,项和。,分析：,该数列的特征是：分子都是,1,，分母是一个以,1,为首项，以,3,为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差,3,，就可以裂项了。,解：,数,列,求,和,3,例,5,求数列 的前,n,项和,分析：,该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例,4,的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。,注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；,所以使用处理分式函数的常用手段：,“分离常数法”,即可把分子化为常数。,变化如下：,数,列,求,和,3,解：,共,n,项,数,列,求,和,3,例,6,已知 求,S,分析：,由阶乘的性质可知：,所以：,于是该和式求值可用“裂项相消法”,解：,数,列,求,和,3,四、通 项 分 析 法,通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。,求 法 步 骤,1,、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法,2,、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时,还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。,请 看 下 面 例 子,数,列,求,和,例,7,求数列 的前,n,项和,分析：,由数列的结构来分析，该数列的第,k,项应该是：,通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有,n,项的数列。,从通项公式的结构来分析，该数列是一个以,2,为首项，以,2,为公比的等比数列与一个常数列的差数列,。所以,它的前,n,项和是一个等比数列的前,n,项和与一个常数为,1,的常数列的前,n,项和的差。,通过这样分析，确定解题方向就方便了,解：,数,列,求,和,4,例,8,求和,分析：,这个数列是数列,1,，,2,，,3.n,与它的倒序数列的积数列，共有,n,项，在这里把,n,看成常数来分析它的通项就容易了。,(k,取从,1,到,n,的自然数）,所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列,解：,数,列,求,和,4,例,9,求数列 前,n,项和,分析：,由 所求数列的每一项都是一个等比数列的和，其第,k,项,通项公式理解清楚后，现在可以就以上三种情况考虑求和了,该数列是自然数列，求和容易。,n,为偶数时,n,为奇数时,此时的和式，转化为求数列,的通项公式,解：,数,列,求,和,4,分析：,(k,取,1,，,2,，,3,、,n),所以：,数,列,求,和,4,分析：,所以：,每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。,对例,10,的两种解法进行归纳可以清楚看到平时练习时有意识的经验积累，在关键时产生联想是很有帮助的。,数,列,求,和,4,例,11,设等差数列 的前,n,项为 ，且 ，,若 ，求数列 的前,n,项和,分析：,由已知该数列是等差数列且已知 ，所以必能求出通项和前,n,项和 这样确定 就没问题了。,1,、,2,、,3,、,现在来边解题边研究,解：,数,列,求,和,4,分析：,所以：,求和时，先分,n,为奇，偶数进行讨论，后考虑并合。,所以：,数,列,求,和,4,