资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,几种不同增长的函数模型,冷水江一中 孙祝梧,例,1,、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一,：每天回报,40,元；,方,案二,：第一天回报,10,元，以后每天比前,一天多回报,10,元；,方案三,：第一天回报,0.4,元，以后每天的回,报比前 一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,思考,投资方案选择原则：,投入资金相同，回报量多者为优,比较三种方案每天回报量,(2),比较三种方案一段时间内的总回报量,哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。,分析,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：设第,x,天所得回报为,y,元，则,方案一：每天回报,40,元；,y=40 (xN*),方案二：第一天回报,10,元，以后每天比前一天多回 报,10,元；,y=10 x(xN*),方案三：第一天回报,0.4,元，以后每天的回报比前一天翻一番。,y=0.42,x-1,(xN*),x/,天,方案一,方案二,方案三,y/,元,增长量,/,元,y/,元,增长量,/,元,y/,元,增长量,/,元,1,40,0,10,0.4,2,40,0,20,10,0.8,0.4,3,40,0,30,10,1.6,0.8,4,40,0,40,10,3.2,1.6,5,40,0,50,10,6.4,3.2,6,40,0,60,10,12.8,6.4,7,40,0,70,10,25.6,12.8,8,40,0,80,10,51.2,25.6,9,40,0,90,10,102.4,51.2,30,40,0,300,10,214748364.8,107374182.4,图112-1,从每天的回报量来看：,第,14,天，方案一最多：每,58,天，方案二最多：第,9,天以后，方案三最多；,有人认为投资,14,天选择方案一；,58,天选择方案二；,9,天以后选择方案三？,累计回报数：,819,409,204,102,50.8,25,12,6,2.8,1.2,0.4,三,660,550,450,360,280,210,150,100,60,30,10,二,440,400,360,320,280,240,200,160,120,80,40,一,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,天数,回报,/,元,方案,3276,1638,910,780,520,480,13,12,方案一,方案二,方案三,三种方案的累计回报表,投资,8,天以下（不含,8,天），应选择第一种投资方案；投资,810,天，应选择第二种投资方案；投资,11,天（含,11,天）以上，应选择第三种投资方案。,由表,-1,和图,-1,可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第,1,天所得回报分别是方案三的,100,倍和,25,倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第,7,天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第,14,天，方案一最多，在,58,天，,方案二最多；第,9,天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第,30,天，所得回报已超过,2,亿元。,例题的启示,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,演算,推理,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,例,2,、某公司为了实现,1000,万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且资金,y(,单位：万元,),随着销售利润,x(,单位：万元,),的增加而增加，但资金数不超过,5,万元，同时奖金不超过利润的,25%,。现有三个奖励模型：,y=0.25x,，,y=log,7,x+1,，,y=1.002,x,，,其中哪个模型能符合公司的要求呢？,例,2,、某公司为了实现,1000,万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且奖金,y(,单位：万元,),随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过,5,万元，同时奖金总数不超过利润的,25%,现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，,奖金总数不超过,5,万元，,由于公司总的利润目标为,1000,万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。,同时奖金不超过利润的,25%,，,于是，只需在区间,10,1000,上，检验三个模型是否符合公司要求即可。,不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。,(,图略）,(1),、由函数图象可以看出，,它在区间,10,1000,上递增，,而且当,x=1000,时，,y=log,7,1000+14.555,所,以它符合资金不超过,5,万元的要求。,模型,y=log,7,x+1,(2),、再计算按模型,y=log,7,x+1,奖励时，资金是否不超过利润的,25%,，即当,x 10,1000,时，是否有,成立。,令,f(x)=log,7,x+1-0.25x,，,x 10,1000,.,利用计算机作出函数,f(x),的图象，由图象可知它是递减的，因此,f(x)f(10)-0.31670,即,log,7,x+11),和幂函数,y=,x,n,(n0),，,通过探索可以发现：,在区间,(0,+),上，无论,n,比,a,大多少，尽管在,x,的一定范围内，,a,x,会小,x,n,，,但由于,a,x,的增长快于,x,n,的增长，因此总存在一个,x,0,，当,xx,0,时，就会有,a,x,x,n,.,结论,2,：,一般地，对于对数函数,y=,log,a,x,(a1),和幂函数,y=,x,n,(n0),，,通过探索可以发现：,在区间,(0,+),上，随着,x,的增大，,log,a,x,增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与,x,轴平行一样。尽管在,x,的一定变化范围内，,log,a,x,可能会大于,x,n,，,但由于,log,a,x,的增长慢于,x,n,的增长，因此总存在一个,x,0,，当,xx,0,时，就会有,log,a,x,1),，,y=,log,a,x,(a1),和,y=,x,n,(n0),都是增函数。,(2),、随着,x,的增大，,y=a,x,(a1),的增长速度越来越快，会远远大于,y=,x,n,(n0),的增长速度。,(3),、随着,x,的增大，,y=,log,a,x,(a1),的增长速度越来越慢，会远远小于,y=,x,n,(n0),的增长速度。,总存在一个,x,0,，当,xx,0,时，就有,log,a,x,x,n,a,x,例,1,同一坐标系中，函数,y,x,2,7,和,y,2,x,的图象,如图,.,试比较,x,2,7,与,2,x,的,大小,.,50,40,30,20,10,5,10,y,x,2,7,y,2,x,x,y,O,例,2,已知函数,y,x,2,和,y,log,2,(,x,1),的图象,如图，试比较,x,2,与,log,2,(,x,1),的大小,.,4,3,2,1,-1,2,4,x,y,O,y,x,2,y,log,2,(,x,1),1,、,四个变量 随变量 变化的数据如下表：,练习：,1.005,1.0151,1.0461,1.1407,1.4295,2.3107,5,155,130,105,80,55,30,5,33733,1758.2,94.478,5,4505,3130,2005,1130,505,130,5,30,25,20,15,10,5,0,关于,x,呈指数型函数变化的变量是 。,练习：,2,、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的,20,台计算机。现在,10,台计算机在第,1,轮病毒发作时被感染，问在第,5,轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？,冷水江一中高一数学组,2007,年,10,月,25,制作,
展开阅读全文