专题_拉氏变换与Z变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定义,:,1,拉氏变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,1.1,拉氏变换的基本概念,对于函数,f(t,),如果满足下列条件：,（,1,）当,t0,时，,f(t,),在每个有限区间上是分段连续的。,（,2,），其中,是正实数，也就是说,f(t,),是指数级；,那么定义,f(t,),的拉氏变换,F(s,),为,式中，,s,复变量，且 ；,f(t,),原函数；,F(s,),象函数,1,拉氏变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,1.2,简单函数的拉氏变换,（,1,）单位阶跃函数,1(t),（,2,）指数函数,e,at,（,3,）单位脉冲函数,1,拉氏变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,1.2,简单函数的拉氏变换,（,4,）正弦函数,和余弦函数,根据欧拉公式，有,则,那么利用上面的指数函数的拉氏变换结果，得出正弦函数和余弦函数的拉氏变换。,1.3,拉氏变换的性质,（,1,）叠加性质,若 ，,则,证明：略,（,2,）微分定理,推论,若,则,1,拉氏变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,（,3,）积分定理,式中，,推论,若,则,（,4,）位移定理,（,5,）延时定理,（,6,）初值定理,（,7,）终值定理,（,8,）卷积定理,1,拉氏变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,2.1 Z,变换的定义,采样信号的数学表达式为,对采样信号两边进行拉氏变换，得,是超越函数，不好计算，于是令,则有,2 Z,变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,F(z,),与,f*(t),或,f(kT,),构成变换对，它不是连续时间函数,f(t,),的,Z,变换。,对于序列,f(kT,),（,也就是采样信号,），可以定义它的,z,变换为,2.2,几类典型函数的,z,变换,（,1,）单位阶跃函数,1(t),单位阶跃函数,1(t),的采样函数,故有：,（,2,）单位斜坡函数,f(t,)=t,单位斜坡函数,f(t,)=t,所对应当序列为,f(kT,)=,kT,k=0,1,2,因此,2 Z,变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,满足：,（,3,）指数函数,指数函数对应的序列,所以,2 Z,变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,由此，有课本,P18,页表,2.1,，,Z,变换表,4,）,z,变换的性质,（,1,）线性性质,若 ，有,其中,常数。,证明：,（,2,）延迟定理（滞后定理右移定理）,设 时，,若 ，则,即离散信号在时域内延迟采样周期,T,，则等价于它的,z,变换乘以,z,-1,，所以,z,-1,可看成是滞后一个采样周期的,滞后算子,。,证明,：,注意证明的前提条件,2 Z,变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,(3),超前定理（左移定理）,，则,令,m=,k+n,，则,2 Z,变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,若,特别地，若初始条件,则,证明：,比较：,延迟定理,例,1,试求 的,z,变换,解 根据实数位移定理，有,（,4,）复数位移定理,若 ，则,证明：,例,2,求 的,z,变换,解：,2 Z,变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,复位移定理表明，若函数,f(t,),在时域乘以位移因子,e,at,，则在频域中，其相应的,Z,变换的自变量,Z,应乘以比例因子,（,5,）初值定理,若 ，且极限 存在，则,（,6,）终值定理,若 ，且 在复平面的单位圆上或外没有极点，那么,例,3,已知 ，求终值,解：,极点为,0.2,，位于单位圆内，所以有,2 Z,变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,2 Z,变换及其性质,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,（,8,）偏微分定理,若,，其中,a,是一个独立变量或者常数，则有,证明：,例题见课本,P21,例,2.6,，,自学。,Z,反变换,Z,反变换，即由象函数,F,（,z,）求序列,f(kT,),或者采样函数,f*(t),的变换。,Z,反变换主要有三种：长除法、部分分式法、留数法。,1,）长除法,特点：简单直观，便于计算机求解，可以得到序列，但难得到通项表达式。,2,）部分分式展开法,可分成单极点情况和多重极点情况,3,）留数法,求,Z,反变换灵活，但需要用到复变函数中的留数定理。,3 Z,反变换,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,3 Z,反变换,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,1),长除法,例 设 ，试求,f(kT,),。,解：将,F(z,),写成,Z,-1,形式：,特点：形象直观，可以用计算机编程求解。但获得通项表达式比较困难。,3 Z,反变换,专题,1,拉氏变换与,Z,变换,2,）部分分式展开法,原则：将,F(z,)/Z,展开成一系列部分分式之和，再利用查表法分别求各项的,Z,反变换，从而得出,F(kT,).,