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,单击此处编辑母版标题样式,2017/4/17,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、,x,趋于,时的函数极限,在本章,我们将讨论函数极限的基本概念和重要性质,.,作为数列极限的推广,函数极限与数列极限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就是归结原理,.,1,函数极限概念,数学分析 第三章,函数极限,二、,x,趋于,x,0,时的函数极限,三、单侧极限,*,点击以上标题可直接前往对应内容,x,趋于,时的函数极限,极限,.,f,(,x,),当,x,趋于,时以,A,为,我们就称,函数,f,(,x,),当,x,沿着,x,轴的正向,上,无限远离原点时,也无限地接近,A,定义在,设函数,后退 前进 目录 退出,x,趋于,时的函数极限,趋于,例如,函数,当,时,10,20,30,40,O,0.5,1,为极限,.,以,x,趋于,时的函数极限,定义,1,记为,或者,A,为常数,.,若对于任意正数,使得,存在,x,趋于,时的函数极限,任意给定,存在,x,趋于,时的函数极限,任意给定,存在,x,趋于,时的函数极限,注,数列可视为定义在正整数集上的函数,.,所以,(,由定义,1),例,1,证明,任给,证,取,与不同点,.,比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点,请大家,x,趋于,时的函数极限,例,2,证,任给,这就是说,x,趋于,时的函数极限,定义,2,记为,或,则称,x,趋于,时的函数极限,定义,3,记为,或,存在,当,x,趋于,时的函数极限,证,对于任意正数,这就是说,例,3,证明,x,趋于,时的函数极限,例,4,证明,所以结论成立,.,证,对于任意正数,x,趋于,时的函数极限,定理,3.1,从定义,1,、,2,、,3,不难得到,:,则由定理,3.1,，,的充要条件是：,例如,x,趋于,时的函数极限,x,趋于,x,0,时的函数极限,设函数,f,(,x,),在点,x,0,的某空心邻域 内有定义,.,为极限的定义,.,下面我们直接给出函数,f,(,x,),时以常数,A,x,趋于,x,0,时的函数极限,定义,1,或者,记为,x,趋于,x,0,时的函数极限,x,趋于,x,0,时的函数极限,例,5,证明,分析,时,使,x,趋于,x,0,时的函数极限,这就证明了,证,只要 式就能成立,因,x,趋于,x,0,时的函数极限,故取 即可,.,例,6,证明,因为,此时有,可以先限制,故只要,所以,要使,分析,x,趋于,x,0,时的函数极限,这就证明了,证,有,x,趋于,x,0,时的函数极限,例,7,证明：,注,在例,5,、例,6,中,我们将所考虑的式子适当放大,不是“最佳”的,但这不影响我们解题的有效性,.,其目的就是为了更简洁地求出,或许所求出的,x,趋于,x,0,时的函数极限,证,首先，在,右图所示的单位圆内,显然有,即,故,x,趋于,x,0,时的函数极限,O,C,D,B,A,y,x,x,同理可证,:,x,趋于,x,0,时的函数极限,例,8,证明：,证,因为,则,这就证明了所需的结论,.,x,趋于,x,0,时的函数极限,在上面例题中,需要注意以下几点：,我们强调其存在性,.,1.,对于,的,不同的方法会得出不同的,不存在哪一个更,好的问题,.,数,都可以充当这个角色,.,3.,正数,是任意的,一旦给出,它就是确定的常数,.,那么比它,更小的正,是不唯一的,一旦求出了,换句话说,对于固定,有时为了方便,需要让,小于某个正数,.,当然也能满足要求,.,样的,能找到相应的,那么比它大的,这个,一旦对这,x,趋于,x,0,时的函数极限,平面上以,y,=,A,为中心线,宽为 的窄带,可,以找到,使得曲线段,4.,函数极限的几何意义如图,对于,坐标,落在窄带内,.,x,趋于,x,0,时的函数极限,单侧极限,x,既可以从,x,0,但在某些时,在定义区间的端点和分段函数的分界点等,.,候,我们仅需,(,仅能,),在,x,0,的某一侧来考虑,比如函数,单侧极限,定义,5,则称,A,为函数,f,当,时的右,(,左,),右极限与左极限统称为单侧极限,.,极限,记作,有时记,A,为常,数,.,若对于任意正数,单侧极限,为了方便起见,例,7,讨论函数,解,因为,所以,单侧极限,定理,3.1,由定义,3.4,和定义,3.5,，我们不难得到：,注,试比较定理,3.1,与定理,3.1,.,不存在,.,单侧极限,例,9,证明狄利克雷函数,证,处处无极限,.,单侧极限,则有,也有,证毕,.,例,10,对于黎曼,函数,证,因为在,(0,1),中分母小于,N,的有理数至多只有,个,单侧极限,故可设这些有理数为,这就是说，除了这,n,个点外,其他点的函数值都,对以上两种情形都有,这就证明了,小于,.,单侧极限,所以,注,有兴趣的读者可以证明：,单侧极限,我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限,.,能,否构造一个函数，它仅在,处有极限,.,
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