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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,*,*,第十九讲 数论问题,知识点梳理,我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是,分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。,一、整除的特征：,（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.,（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.,（3）5的倍数特征：末位数是0或5.,（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.,（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.,（6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.,二、分解质因数：,指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。,唯一分解定理：,那么N的因数个数n=（1+p1）,(1+p2),(1+pn),三、辗转相除法,辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。,就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2,以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。,典型例题精讲,例1,.9600共有多少个因数？,解 析,9600=,因数个数=（7+1）（1+1）（2+1）,=48（个）,例2,.,七位数A1994BC能被9,5和8整除，试确定数字A、B、C的值,。,解 析,（,1）此七位数可被5整除,则个位必须为0或5;,此七位数又可被8整除,则个位数C一定是0.,（2）七位数可被8整除,则后三位数4B0可被8整除,故B只能为0、4或8。,（3）七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除.,故当B=0时,A=4;当B=4时,A=9;当B=8时,A=5.,所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。,原数：A1994BC,例3.,求2821和1519的最大公因数。,解 析,辗转相除法求最大公因数,2821,1519=1,1302,1519,1302=1,217,1302,217=6,（2821,1519）=217,例4.,有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个数最小是多少？,解 析,设这个数为X,X,4=A,1,X,5=B,4,X,7=C,2,每个算式中，每次商减一，余数就增加一个,除数，这样可以得到同余是,“,9,”,，再求4、5、,7的最小公倍数是140，再加9等于149。,例5.,要使185,84,135,52,（）乘积的末五位数都是0，（）中应填入的自然数最小值是多少？,解 析,要使乘积末五位都是0，就要使这五个因数中有5个2和5个5。所以要把这四个数分解质因数，看缺少几个5和几个2，括号里就填出它们的乘积。,解:185=5,37 共有4个2和2个5,135=5,27 缺少3个5和1个2,84=2,2,21 5,5,5,2=250,52=2,2,13 答：括号里填250。,例6.,有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？,解 析,把三个数加起来的和减去50，把所得的差分解，可以求出这个整数。,70+110+160-50=290,290=29,10,这个整数就是29。,例7.,四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?,解 析,每个瓶子称3次，所以把称量的结果之和除以3得到各称量一次的和。,8+9+10+11+12+13=63（千克），63,3=21（千克），,21=19+2，所以油重19千克，四只瓶子共重2千克，每只瓶重2,5=0.5千克，最重的是13-0.5,2=12千克。,例8.,商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？,解 析,因为拿走的一定是3的倍数，把所有的数加起来，再减去20才是3的倍数，所以，剩下的是20千克。,15+16+18+19+20+31=119千克,1+1+9=11 11不是3的倍数，,11-2=9 ，9是3的倍数。,答：剩下的是20千克。,例9.,两个自然数的积是5766，这两个数的最大公因数是31，求这两个数。,解 析,两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积，所以，用它们的积除以最大公因数等于最小公倍数，再用最小公倍数除以最大公因数，将得数分解质因数，再乘以最大公因数就是所求的这两个数，注意讨论符合条件的数可能不止一组。,5766,31,31=6 6=2,3=1,6 1,31=31,6,31=186;2,31=62,3,31=93,答案有两组：31,186和62,93，,例10.,某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？,解 析,设2012有学生 人，2013年有学生 人，,（y+x),(y-x)=101,101=101,1 y=51,x+y=101 x=50,y-x=1 51,51=2601（人）,课后作业,2001个连续的自然数之和为a,b,c,d，若a、b、c、d都是质数，则a+b+c+d的最小值是多少？,祝你学习愉快！,
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