求曲线方程的常用方法课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,轨迹法,定义法,待定系数法,直接法,代入法,参数法,求曲线方程,轨迹法求曲线方程,例,1,动点,P,（,x,，,y,）到定点,A,（,3,，,0,）的距离比它到定直线,x=-5,的距离少,2,。,求：动点,P,的轨迹方程。,O,3,-5,A,x,y,m,解法一,轨迹法,思考：如何化去绝对值号？,P,点在直线左侧时，,|PH|-5,P,如图，,P,H,y,2,=12x,例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x,例,1,动点,P,（,x,，,y,）到定点,A,（,3,，,0,）的距离比它到定直线,x=-5,的距离少,2,。,求：动点,P,的轨迹方程。,3,-5,A,x,y,m,解法一,轨迹法,解法二,定义法,如图，,-3,n,作直线,n,：,x=-3,则点,P,到定点,A,（,3,，,0,）与定直线,n,：,x=-3,等距离。,P,（,x,，,y,）,故，点,P,的轨迹是,以,为焦点，,以,为准线的抛物线。,A,n,依题设知,x -5,y,2,=12x,所以动点,P,的轨迹方程为,y,2,=12x,例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x,例,2,已知圆A：(x+2),2,+y,2,=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.,（1）PAB的周长为10;,（2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）;,（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.,例2已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（,【,分析,】,（1）根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程.,（1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6.,（2）|PA|-|PB|=1.,（3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离.,【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲,【,解析,】,(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=64=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b=,，因此其方程为,（y0）.,（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此|PA|-|PB|=1.,由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a=1，2c=4，即a=,c=2,b=,，因此其方程为,【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=,（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.,因此其方程为y,2,=-8x.,【,小结,】,解题时应注意动点的几何特征，若盲目进行代数运算则可能较繁琐.,【小结】解题时应注意动,例,2,等腰直角三角形,ABC,中，斜边,BC,长为 ，一个椭圆以,C,为其中一个焦点，另一个焦点在线段,AB,上，且椭圆经过点,A,，,B,。,求：该椭圆方程。,O,解,x,y,A,C,B,O,|BC|=,如图，,设椭圆的另一个焦点为,D,D,以直线,DC,为,x,轴，线段,DC,的中点为原点建立直角坐标系。,设椭圆方程为,（,ab0),则,|AD|+|AC|=2a,，,|BD|+|BC|=2a,所以，,|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a,即,例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个,例,2,等腰直角三角形,ABC,中，斜边,BC,长为 ，一个椭圆以,C,为其中一个焦点，另一个焦点在线段,AB,上，且椭圆经过点,A,，,B,。,求：该椭圆方程。,O,解,x,y,A,C,B,O,得,D,|AD|+|AC|=2a,|AC|=,|AD|=,在,ADC,中,|DC|,2,=|AD|,2,+|AC|,2,=,（）,2,+16=24,2c,c,2,=,6,，,b,2,=,a,2,c,2,=,（,2+,）,2,-6=,故所求椭圆方程为,注：重视定义！,例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个,例,3,设动直线l垂直于x轴，且与椭圆,交于A、B两点，P是l上满足,=1的点，求点P的轨迹方程.,【,分析,】,设P点的坐标为(x,y)，用直接法求得P点的轨迹方程.要注意x的范围通过直线l与椭圆相交获得.,直接法,例3设动直线l垂直于x轴，且与椭圆【分析】设P点的坐标为,【,解析,】,设点P的坐标为(x,y)，,由方程x,2,+2y,2,=4得2y,2,=4-x,2,，y=,，,A、B两点的坐标分别为(x,),(x,-,)，,又,=1.,(0,-y),(0,-,-y)=1，,即y,2,-,=1，,【解析】设点P的坐标为(x,y)，,又直线l与椭圆交于两点，-2x2,点P的轨迹方程为,（,-2x2,）,【,小结,】,（1）,“,轨迹,”,与,“,轨迹方程,”,是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围).（2）求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性.化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点.,又直线l与椭圆交于两点，-2x2【小结,例,4,设椭圆方程为,.过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满,，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.,代入法,【,解析,】,设点,P,的坐标为（,x,y,），,A,（,x,1,y,1,）,B(x,2,y,2,),因,A,，,B,在椭圆上，所以,例4 设椭圆方程为 .过点M(0,1,求曲线方程的常用方法课件,当,x,1,=x,2,时，点,A,，,B,的坐标为（,0,，,2,），（,0,，,-2,），这时点,P,的坐标为（,0,，,0,），也满足，所以点,P,的轨迹方程为,4x,2,+y,2,-y=0.,当x1=x2时，点A，B的坐标为（0，2），（0，-2），这,例,5,设椭圆与双曲线有公共的焦点F,1,（-4，0），F,2,（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹.,参数法,【,解析,】,法一：设双曲线实半轴长为,a,则椭圆的长半轴长为,2a,，由题意得,2,a,4,，由半焦距为,4,，可得椭圆与双曲线方程为,例5设椭圆与双曲线有公共的焦点F1（-4，0），F2（,设点,P,的坐标为（,x,y,），,A,（,x,1,y,1,）,B(x,2,y,2,),因,A,，,B,在椭圆上，所以,由,4-,可得,设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）,B(x2,将此式代入式可得,a,2,=2|x|,，,再把代入式，消去,a,，得,当,x,0,，得（,x-5,）,2,+y,2,=9;,当,x,0,，得（,x+5,）,2,+y,2,=9;,由,2,a,4,，得,2,|x|,8.,所以，所求轨迹为两个圆，并除去它们与,y,轴的交点,.,将此式代入式可得a2=2|x|，,法二：设椭圆与双曲线交点,P,（,x,，,y,），,由椭圆与双曲线的定义及已知条件，可得,|PF,1,|+|PF,2,|=2|PF,1,|-|PF,2,|,，,即,|PF,1,|=3|PF,2,|,或,|PF,2,|=3|PF,1,|,，,将,P,点坐标（,x,，,y,）代入，化简可得,（,x+5,）,2,+y,2,=9,及（,x-5,）,2,+y,2,=9.,因交点,P,不会在,x,轴上，,y0,，,故,2,|x|,8,，,所以所求轨迹方程是（,x+5,）,2,+y,2,=9,（,y0,），,法二：设椭圆与双曲线交点P（x，y），,（,x-5,）,2,+y,2,=9,（,y0,）,.,轨迹为两个圆，并除去它们与,y,轴的交点,.,【,小结,】,由于探讨的对象是,“,交点的轨迹,”,，求轨迹方程的过程是一个创造性的,“,建模,”,过程，并不能完全依靠已有，因此，充分认清题设条件后或选择适当的参数，建立方程组，消去参数后就得,“,交点轨迹方程,”,（如方法一）或选择根据几何等式的传递，构建新的几何条件（如方法二）都是常见的解题思路,（x-5）2+y2=9（y0）.【小结】由于探讨,1,求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从而简化解题过程,.,2,求关于轴对称的曲线的方程的一般步骤：（,1,）设所求曲线上任一点,P(x,y),；（,2,）求出其关于点或轴对称的点,p(x,y),；（,3,）将,p,坐标代入已知曲线得所求曲线方程,.,3,涉及多个动点的轨迹问题，可用动点代入法或参数法求解，分清主动点和从动点，选择适当参数是解题的关键,.,4,求轨迹要注意取值范围和,“,杂点,”,的去除,.,规律总结,1求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从,基础训练,1,动点,P,与定点,A(-1,0),，,B(1,0),的连线的斜率之积为,-1,，则,P,点的轨迹方程是,(),Ax,2,+y,2,=1,Bx,2,+y,2,=1(x1),Cx,2,+y,2,=1(x0),Dy=,【,解析,】,直接法,B,基础训练1动点P与定点A(-1,0)，B(1,0)的,2设P为双曲线,上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为,x,2,-4y,2,=1,【,解析,】,（代入法）设P(x,1,y,1,)，M(x,y,),则x,1,=2x，y,1,=2y，代入得x,2,-4y,2,=1.,3,两条直线,ax+y+1=0,和,x-ay-1=0(a1),的交点的轨迹方程是,2设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点,【,解析,】,（参数法）,ax+y+1=0，,x-ay-1=0.,y+x得y,2,+y+x,2,-x=0,即,.,a1,x1,x0,y0,且,y-1,【解析】（参数法）ax+y+1=0，,4,已知两圆,C,1,：（,x+4,）,2,+y,2,=2,，,C,2,：（,x-4,）,2,+y,2,=2,，动圆,M,与两圆,C,1,，,C,2,都相切，则动圆圆心,M,的轨迹方程是,【,解析,】,(,定义法,),动圆,M,与两圆,C1,，,C2,都要相切，有四种情况：动圆,M,与,两圆都相外切，动圆,M,与两圆都相内,切；动圆,M,与圆,C2,内切、与圆,C1,外切；,4已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4,动圆,M,与圆,C,1,内切、与圆,C,2,外切,.,在情况下，显然，动圆圆心,M,的轨迹方程为,x=0,；在的情况下，如图,8-55-1,设动圆,M,的半径为,r,，则,|MC,1,|=r+,，,|MC,2,|=r-,，故得,|MC,1,|-|MC,2,|=2,；,在的情况下，同理得,|MC,2,|-|MC,1,|=2 .,由得,|MC,1,|-|MC,2,|=2 .,根据双曲线定义，可知点,M,的轨迹是以,C,1,（,-4,，,0,）、,C,2,（,4,，,0,）为焦点的双曲线，且,a=,，,c=4,，,b,2,=c,2,-a,2,=14,，,其方程为,动圆M与圆C1内切、与圆C2外切.在情况下，显然，,知识要点,1求轨迹方程的一般步骤,建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性）,2求轨迹方程的常用方法,（1）直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x,y）的解析式.,（2）定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.,知识要点1求轨迹方程的一般步骤,（,3,）代入法：如果轨迹动点,P,（,x,，,y,）依赖于另一动点,Q,（,a,，,b,），而,Q,（,a,，,b,）又在某已知曲线上，则可先列出关于,x,、,y,、,a,、,