教育专题：万有引力定律及其应用

,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,万有引力定律及其应用,单位：淮北市开渠中学 姓名：杜广英,1.,卫星的线速度,v,、角速度,、周期,T,、向心加速度,a,n,与轨道,半径,r,的关系,:,(1),由,得,v=_,则,r,越大,v_,。,(2),由,G =m,2,r,得,=_,则,r,越大,_,。,(3),由,得,T=_,则,r,越大,T_,。,(4),由,G =ma,n,得,a,n,=_,则,r,越大,a,n,_,。,越小,越小,越大,越小,2.,近地卫星与同步卫星,:,(1),近地卫星,:,近地卫星的线速度即,_,是卫星绕,地球做圆周运动的,_,也是发射卫星的,_,。,(2),同步卫星。,运行周期,:_;,运行轨道,:,与,_,共面,所有同步卫星高度,_,。,第一宇宙速度,最大速度,最小速度,等于地球的自转周期,赤道,相同,1.(,多选,)(2013,新课标全国卷,)2012,年,6,月,18,日,“,神舟九,号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在离地面,343 km,的近圆,形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道,所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是,(,),A.,为实现对接,两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间,B.,如不加干预,在运行一段时间后,“,天宫一号”的动能可能会增加,C.,如不加干预,“,天宫一号”的轨道高度将缓慢降低,D.,航天员在“天宫一号”中处于失重状态,说明航天员不受地球引力作用,【,解析,】,选,B,、,C,。绕地球运行的飞船和,“,天宫一号,”,的速度小于第一宇宙速度,选项,A,错,;,如不加干预,在运行一段时间后,空气阻力对,“,天宫一号,”,做负功,“,天宫一号,”,速率减小而做向心运动,高度将缓慢降低,万有引力又会对,“,天宫一号,”,做正功而使其动能可能会增加,故选项,B,、,C,对,;,航天员在,“,天宫一号,”,中处于失重状态是因为其重力提供向心力,并不是不受地球引力作用,所以选项,D,错。,2.(2013,四川高考,),迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多,不适宜人类居住,绕恒星“,Gliese581”,运行的行星“,Gl-,581c”,却很值得我们期待。该行星的温度在,0,到,40,之间,质量是地球的,6,倍,直径是地球的,1.5,倍,公转周期为,13,个地球,日。“,Gliese581”,的质量是太阳质量的,0.31,倍。设该行星,与地球均视为质量分布均匀的球体,绕其中心天体做匀速圆,周运动,则,(,),A.,在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同,B.,如果人到了该行星,其体重是地球上的,2,倍,C.,该行星与“,Gliese581”,的距离是日地距离的 倍,D.,由于该行星公转速率比地球大,地球上的米尺如果被带上该行星,其长度一定会变短,【,解析,】,选,B,。设,“,Gl-581c,”,、地球质量分别为,m,1,、,m,2,在,“,Gl-,581c,”,、地球上发射卫星的第一宇宙速度分别为,v,1,、,v,2,根据,m,1,=6m,2,、,R,1,=1.5R,2,解得,:v,1,=,2v,2,故选项,A,错误,;,根据,m,1,=6m,2,、,R,1,=1.5R,2,解得,:mg,1,=2 mg,2,故选项,B,正确,;,设恒星,“,Gliese581,”,、,太阳质量分别为,M,1,、,M,2,恒星,“,Gliese581,”,与行星,“,Gl-581c,”,、,太阳与地球的距离分别为,r,1,、,r,2,行星,“,Gl-581c,”,、地球的公转,周期分别为,T,1,、,T,2,根据,T,1,= T,2,解得,:,进而解得,:,故选项,C,错误,;,只有在接近光速的相,对运动中,长度才有缩短的相对论效应,所以地球上的米尺如,果被带上行星,“,Gl-581c,”,上,其长度几乎不变,故选项,D,错误。,3.(2013,山东高考,),双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相,互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的,匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质,量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆,周运动的周期为,T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来,的,k,倍,两星之间的距离变为原来的,n,倍,则此时圆周运动的周,期为,(,),A.,B.,C. D.,【,解析,】,选,B,。设两颗星的质量分别为,m,1,、,m,2,做圆周运动的,半径分别为,r,1,、,r,2,根据万有引力提供向心力可得,:,联立解得,:,m,1,+m,2,= ,即,T,2,= ,因此,当两星总质量变,为原来的,k,倍,两星之间的距离变为原来的,n,倍时,两星圆周运,动的周期为,T= T,选项,B,正确。,热点考向,1,天体质量和密度的估算,【,典例,1】,(2013,太原二模,)“,嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的,加上月球的自转,卫星能探测到整个月球的表面。卫星,CCD,相机已对月球背面进行成像探测,并获取了月球部分区域的影像图。假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为,H,绕行的周期为,T,M,;,月球绕地球公转的周期为,T,E,半径为,R,0,。地球半径为,R,E,月球半径为,R,M,。若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响,则月球与地球质量之比为,(,),A.,B.,C. D.,【,解题探究,】,(1),请确定卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心力。,提示,:,卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的。,(2),设月球的质量为,M,月,、地球的质量为,M,地,、卫星的质量为,m,请写出天体质量的求解思路,:,物理规律,:,a._,。,b._,。,方程式,:,a.,对卫星,:_,。,b.,对月球,:_,。,牛顿第二定律,万有引力定律,【,解析,】,选,C,。卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心,力是由它们之间的万有引力提供的,由牛顿第二定律及万有引,力定律得,对卫星 对月球,解以上两式得选项,C,正确。,【,拓展延伸,】,典例中,:,(1),能否求出卫星与月球、月球与地球的万有引力之比,?,提示,:,卫星与月球间的万有引力,F= ,月球与地球间,的万有引力,F= ,由于卫星的质量未知,故不能求出,它们之间的万有引力之比。,(2),能否求出卫星绕月球、月球绕地球做圆周运动的线速度、,角速度之比,?,提示,:,由 由于月球与地球的质量之,比可求,轨道半径,r,已知,故能求出卫星绕月球、月球绕地球做,圆周运动的线速度之比,;,由,=,可知能求出卫星绕月球、月,球绕地球做圆周运动的角速度之比。,【,总结提升,】,估算中心天体的质量和密度的两条思路,(1),测出中心天体表面的重力加速度,g:,由,G =mg,求出,M,进而求得,=,(2),利用环绕天体的轨道半径,r,、周期,T:,由,若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时,轨道半径,r=,R,则,=,【,变式训练,】,天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗,行星的体积是地球的,4.7,倍,质量是地球的,25,倍。已知某一近,地卫星绕地球运动的周期约为,1.4,小时,引力常量,G=6.67,10,-11,N,m,2,/kg,2,由此估算该行星的平均密度约为,(,),A.1.810,3,kg/m,3,B.5.610,3,kg/m,3,C.1.110,4,kg/m,3,D.2.910,4,kg/m,3,【,解析,】,选,D,。近地卫星绕地球做圆周运动,所受万有引力充,当其做圆周运动的向心力,则 由密度、质量,和体积关系有,M= R,3,解得,= 5.6,10,3,kg/m,3,由,已知条件可知该行星密度是地球密度的 倍,即,=5.6,10,3,kg/m,3,=2.98,10,4,kg/m,3,选项,D,正确。,热点考向,2,人造卫星问题,【典例,2】,(2013,抚顺一模,),据报道,我国自主研,制的“嫦娥二号”卫星在奔月的旅途中,先后完,成了一系列高难度的技术动作,在其环月飞行的,高度距离月球表面,100 km,时开始全面工作。国际上还没有分辨,率优于,10,米的全月球立体图像,而“嫦娥二号”立体相机具有,的这种高精度拍摄能力,有助于人们对月球表面了解得更清楚,所探测到的有关月球的数据比环月飞行高度约为,200 km,的“嫦,娥一号”更加详实。若两颗卫星环月运行均可视为匀速圆周运,动,运行轨道如图所示,则下列说法不正确的是,(,),A.“,嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更长,B.“,嫦娥二号”环月运行的速度比“嫦娥一号”更大,C.“,嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”更大,D.“,嫦娥二号”环月运行的角速度比“嫦娥一号”更大,【,解题探究,】,(1),请确定卫星环月做匀速圆周运动的向心力。,提示,:,卫星环月做匀速圆周运动的向心力是由月球对卫星的万有引力提供的。,(2),请写出卫星的线速度,v,、角速度,、周期,T,、向心加速度,a,n,与轨道半径,r,的关系。,提示,:,由,则,r,越大,v,、,、,a,n,越小,T,越大。,【,解析,】,选,A,。设,“,嫦娥二号,”,和,“,嫦娥一号,”,的运动半径分,别为,r,1,和,r,2,万有引力提供向心力,由,可得周期之比,选项,A,错误,;,线速度之比,选,项,B,正确,;,向心加速度之比,选项,C,正确,;,角速度之比,选项,D,正确。故选,A,。,【,总结提升,】,人造卫星运动规律分析,(1),在讨论有关卫星的运动规律时,关键要明确向心力、轨道半径、线速度、角速度、周期和向心加速度,彼此影响、互相联系,只要其中一个量确定了,其他的量也就不变了,;,只要一个量发生了变化,其他的量也随之变化。,(2),不管是定性分析还是定量计算,必须抓住卫星运动的特点。,万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力,由方程,求出相应物理量的表达式,即可讨论或求解,需要注意的是,a,、,v,、,、,T,均与卫星质量无,关。,【,变式训练,】,(2013,海南高考改编,)“,北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星,(,同步卫星,),、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行,它们距地面的高度分别约为地球半径的,6,倍和,3.4,倍。下列说法正确的是,(,),A.,静止轨道卫星的周期大,B.,静止轨道卫星的线速度大,C.,静止轨道卫星的角速度大,D.,静止轨道卫星的向心加速度大,【,解析,】,选,A,。根据 静止,轨道卫星的半径大,周期大,A,正确,;,根据,半径越大,线速度越小,B,错误,;,根据,G =m,2,r,可得,=,半径越大,角速度越小,C,错误,;,根据,G =ma,可得,a= ,半径越大,向心加速度越小,D,错误。,【,变式备选,】,(,多选,)(2013,襄阳二模,),质量为,m,的探月航天器,在接近月球表面的轨道上飞行,其运动视为匀速圆周运动。已,知月球质量为,M,月球半径为,R,月球表面重力加速度为,g,引力,常量为,G,不考虑月球自转的影响,则航天器的,(,),A.,线速度,v=,B.,角速度,=,C.,运行周期,T=2 D.,向心加速度,a=,【,解析,】,选,A,、,C,、,D,。对航天器由牛顿第二定律得,解得,v= ,选项,A,正确,;,由,mg=m,2,R,得,= ,选项,B,错误,;,由,mg=m( ),2,R,得,T=2 ,选项,C,正确,;,由,G,=ma,得,a= ,选项,D,正确。,热点考向,3,航天器的变轨问题,【典例,3】,航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的,维修任务后,在,A,点从圆形轨道,进入椭圆轨道,B,为轨道,上的一点,如图所示。关于航天飞机的运动,下,列说法中错误的是,(,),A.,在轨道,上经过,A,的速度小于经过,B,的速度,B.,在轨道,上经过,A,的动能小于在轨道,上经过,A,的动能,C.,在轨道,上运动的周期小于在轨道,上运动的周期,D.,在轨道,上经过,A,的加速度小于在轨道,上经过,A,的加速度,【,解题探究,】,(1),设轨道,的半径为,R,1,周期为,T,1,轨道,的半长轴为,R,2,周期为,T,2,请用物理量符号写出开普勒第三定律的表达,式,:_,。,(2),请判断航天飞机从轨道,进入轨道,做什么运动,其机械,能怎样变化。,提示,:,航天飞机从轨道,进入轨道,做近心运动,航天飞机在,A,点需减速后,才能从轨道,进入轨道,其机械能减小。,(3),请写出航天飞机在,A,点时牛顿第二定律的表达式,:,_,。,【,解析,】,选,D,。航天飞机在轨道,上从远地点,A,向近地点,B,运动,的过程中万有引力做正功,所以在,A,点的速度小于在,B,点的速度,选项,A,正确,;,航天飞机在,A,点减速后才能做近心运动,从圆形轨道,进入椭圆轨道,所以在轨道,上经过,A,点的动能小于在轨道,上经过,A,点的动能,选项,B,正确,;,根据开普勒第三定律,=k,因为轨道,的半长轴小于轨道,的半径,所以航天飞机在轨道,的运动周期小于在轨道,的运动周期,选项,C,正确,;,根据牛顿,第二定律,F=ma,因航天飞机在轨道,和轨道,上,A,点的万有引,力相等,所以在轨道,上经过,A,点的加速度等于在轨道,上经,过,A,点的加速度,选项,D,错误。,【,总结提升,】,求解航天器变轨问题时的五点注意,(1),卫星的,a,、,v,、,、,T,是相互联系的,其中一个量发生变化,其他各量也随之发生变化。,(2)a,、,v,、,、,T,均与卫星的质量无关,只由轨道半径,r,和中心天体质量共同决定。,(3),卫星变轨时半径的变化,根据万有引力和所需向心力的大,小关系判断,;,稳定在新轨道上的运行速度变化由,v=,判,断。,(4),航天器在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能越大。,(5),航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等,外轨道,的速度大于内轨道的速度。,【,变式训练,】,(2013,新课标全国卷,改编,),目前,在地球周围,有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似,为圆,且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过,程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正,确的是,(,),A.,卫星运行的速率逐渐减小,B.,卫星运行的速度始终大于第一宇宙速度,C.,由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变,D.,卫星的机械能逐渐减小,【,解析,】,选,D,。卫星在轨道半径变小的过程中,环绕速度增加,(v= ),选项,A,错误,;,第一宇宙速度是卫星的最大环绕速,度,故选项,B,错误,;,气体阻力对卫星做负功,机械能减小,选项,C,错误,D,正确。,1.(2013,南昌二模,),卫星绕某一行星的运动,轨道可近似看成是圆轨道,观察发现每经过,时间,t,卫星运动所通过的弧长为,l,该弧长对应的圆心角为,弧度,如图所示。已知万有引力常量为,G,由此可计算出行,星的质量为,(,),A.,B.,C. D.,【,解析,】,选,B,。由牛顿第二定律得 其中,v=,l,=r,解以上三式得,M=,选项,B,正确。,2.(2013,广东高考,),如图,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半,径分别绕质量为,M,和,2M,的行星做匀速圆周运动,下列说法正,确的是,(,),A.,甲的向心加速度比乙的小,B.,甲的运行周期比乙的小,C.,甲的角速度比乙的大,D.,甲的线速度比乙的大,【,解析,】,选,A,。甲、乙两卫星分别绕质量为,M,和,2M,的行星做匀,速圆周运动,万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。,由牛顿第二定律 可得,a=,由已知条件可,得,a,甲,T,乙,甲,乙,v,甲,v,乙,故选项,A,正确。,3.(2013,上海高考,),小行星绕恒星运动,恒星均匀地向四周辐,射能量,质量缓慢减小,可认为小行星在绕恒星运动一周的过,程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后,小行星运动,的,(,),A.,半径变大,B.,速率变大,C.,角速度变大,D.,加速度变大,【,解析,】,选,A,。恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,二者之间的万有引力减小,小行星运动的半径增大,速率减小,角速度减小,加速度减小,选项,A,正确,B,、,C,、,D,错误。,4.(2013,西安一模,),火星和地球绕太阳的运动可以近似看作,是同一平面内同方向的匀速圆周运动。已知火星公转轨道半,径大约是地球公转轨道半径的 。从火星、地球某一次处于,距离最近的位置开始计时,试估算它们再次处于距离最近的,位置至少需多少地球年。,计算结果保留两位有效数字,=1.85,【,解析,】,由 可知,行星环绕太阳运行的周期与,行星到太阳的距离的二分之三次方成正比,即,T ,所以地,球与火星绕太阳运行的周期之比为,=1.85,。,设从上一次火星、地球处于距离最近的位置到再一次处于距,离最近的位置,火星公转的圆心角为,则地球公转的圆心角,必为,2+,它们公转的圆心角与它们运行的周期之间应有,如下关系,:,= +2=,即,:2,解得,:t= 2.2,地球年,答案,:,2.2,地球年,五天体运动综合问题的规范求解,【,案例剖析,】,(15,分,)(2013,安溪一模,),我国将,在,2017,年前后发射一颗返回式月球软着陆器,进行首次月球样品自动取样并安全返回地球。,假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的,M,点,并,沿水平方向,以初速度,v,0,=16m/s,抛出一个质量,m=1kg,的小球,测得小球经时,间,15s,落到斜坡上另一点,N,斜面的倾角为,=37(,如图,),已,知月球半径,R=1600km,月球的质量分布均匀,万有引力常量,G=6.6710,-11,Nm,2,/kg,2,tan37=,。求,:,(1),月球表面的,重力加速度,g;,(2),小球,落在斜面上时的动能,;,(3),月球的质量。,【,审题,】,抓住信息,准确推断,关键信息,信息挖掘,题,干,沿水平方向,小球做平抛运动,落到斜坡上,平抛运动的位移与斜面倾角有关,问,题,重力加速度,g,平抛运动在竖直方向自由落体的加速度,落在斜面上时的动能,可考虑平抛运动过程应用动能定理求解,月球的质量,与月球对物体的万有引力有关,【,破题,】,精准分析,无破不立,(1),月球表面重力加速度,g,的求解,:,选研究过程,:_,。,列运动学方程,:,a.,水平方向,:_,。,b.,竖直方向,:_,。,小球从,M,点水平抛出落在,N,点,Lcos=v,0,t,(2),小球落在斜面上时动能的求解,:,选研究过程,:_,。,列动力学方程,:_,。,小球从,M,点水平抛出落在,N,点,(3),月球质量的求解,:,请写出月球表面处小球受万有引力的表达式。,提示,:,F=G,。,小球在月球表面处的万有引力与其重力存在怎样的关系,?,提示,:,小球在月球表面处的万有引力等于其重力。,【,解题,】,规范步骤,水到渠成,(1),设,MN,间距为,L,由平抛运动规律得,:,水平方向,:Lcos=v,0,t,(2,分,),竖直方向,:Lsin= gt,2,(2,分,),解得,:g= =1.6m/s,2,(2,分,),(2),小球平抛过程由动能定理得,:,mgLsin=E,kN,-,(3,分,),解得,:E,kN,=416J (2,分,),(3),在月球表面处有,:,G =mg,(2,分,),解得,:M= =6.14,10,22,kg (2,分,),答案,:,(1)1.6m/s,2,(2)416 J,(3)6.14,10,22,kg,【,点题,】,突破瓶颈,稳拿满分,(1),常见的思维障碍,:,在求解月球表面重力加速度,g,时,把平抛运动的位移关系,tan=,误认为速度关系,tan= ,从而导致错误,;,在求解小球落在斜面上的动能时,不能利用平抛运动的规,律求出小球的位移,从而导致无法求出结果。,(2),因解答不规范导致的失分,:,在求解月球表面重力加速度,g,时,把加速度的单位,“,m/s,2,”,误写成速度的单位,“,m/s,”,导致失分,;,在求解月球的质量时,没有把,R=1600km,换算单位,而直接代入公式,使计算结果数量级错误,导致失分。,单位：淮北市开渠中学 姓名：杜广英,结束,