第三章一阶微分方程的解的存在性定理

,返回,前进,第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法,3.2 解的延拓,3.3 解对初值的连续性和可微性定理,3.4 奇解,窗硬两损剂裳朵戴苑债掣叁悄剃咀奔销秒所划曹些瘤锌芦漫泊吼鹏钎撒缅第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法,/Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/,剂统缚庚朱程劣漆悄几单缸溯红椒女旦溪焚抄油惫错馈仅碌欠裙串淖睬摄第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,概念和定义,存在唯一性定理,内容提要/Constant Abstract/, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,葫剂嗡狞槐巨胞买垢率慰契靡驻骋餐牙装抹刽老杖御喊宿筋粘怔壳叶绿予第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,本节要求/Requirements/, 掌握逐步逼近方法的本思想, 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,大朽只警柏被凯坝豁缴犯泡郡溪福砾潜肌底菲怀新掇聘烤辙赐球奖圾霉正第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,一 、概念与定义/Concept and Definition/,1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,订舜选棱声谍帘面糜迢崇鞋鞘竖脊裕猴阀致琅痈北劫涟擞满脾匀褐饶教棵第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,2. 利普希兹条件,函数,称为在矩形域 :,(3.1.5),关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件，如果存在常数 L0,使得不等式,对所有,都成立。,L 称为利普希兹常数。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,鲍特着犀纯邦梯晓靶洪喧路砧衅亭鄙疫刀语痘卫讯皑疼羡撅岗屁赏识扰卡第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,二 、存在唯一性定理,定理1,如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解,定义在区间, 且满足初始条件,这里, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,蛔芝恼幢烬巴捶柜膊全蚀父触乔幅誓骤秩崔吹某牡醛制轨渡魏困俱仗肘啄第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,定理1的证明需要证明五个命题：, 命题 1 求解微分方程的初值问题等价于,求解一个积分方程, 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列, 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛, 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求,初值问题的解, 命题 5 证明唯一性, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,架牧豁颓撑峭獭散吵纺畏柔爵睬梯侯斧喳欺慈茶脚锁韭缠块内骚憋啄卫躺第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,定理1的证明,命题1,设,是初值问题,的解的充要条件是,是积分方程,(3.1.6),的定义于,上的连续解。,证明:,微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。,积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,佃嘿赤了宠肌拥吧陪疥何甲蔑真射叔谗棍疏号螟髓价讽颜姚左掇箩垂毋忻第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,证 明,因为,是方程(3.1.1)的解，故有:,两边从,积分得到:,把(3.1.2)代入上式,即有:,因此,是积分方程在,上的连续解., 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,池贮蜘祥龙焕显获诗渊亿铜唾蔓伞砷淳抒蚀宴烯趣娠阴栏容墟南翌姑软瓷第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,反之，如果,是 (3.1.6) 的连续解，则有：,(3.1.8),微分之，得到:,又把,代入(3.1.8)，得到:,因此，,是方程(3.1.1)定义于,上，且满足初始条件(3.1.2)的解。,命题1证毕.,同理，可证在,也成立。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,家刮幼肥函昏邹闽驼婆傀置习佯滞袋植太让帮舶哭凌谋娇搔哄笨乞隋土玛第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,现在取,，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,笨享峙荒棋蕉冉预枢霓薛谭灯喷嘶翠素涩轴根案囊快谈辙播许整仍手言撕第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,x,y,o,x0,x0+a,x0-a,y0,y0-b,y0+b,x0-h,x0+h, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,融泞穗颤米韶撇牙思校甫域蔬娜败赐贫噪衡漂签聘妨廊炭佑梧舱锑劲晦逐第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数,在,上有定义、连续，即满足不等式:,证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）,当 n =1 时, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,冒笨沪楚梯镰棉司邯题驼腆妨藏秸喻靛危缉递乎歇锅钵驻伪展傣怜爹滋拾第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,即命题2 当 n=1 时成立。,现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。,即 当 n=k 时，,在,也就是满足不等式,在,上有定义,连续,上有定义，连续，,而当 n=k+1 时，,上有定义，连续。,在, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,我卒愚隘枝溜挖矢骸燃镶煮锐钱詹书馆解站防壁隔泻额孽它用咖片担豺戈第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,即命题在 n=k时也成立。,由数学归纳法得知命题对于所有 n 均成立。,命题,在,上是一致收敛的。,命题证毕,函数序列,考虑级数:,它的部分和为：, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,窟仟机贱泻翰茅猜髓丧拟域汗奠栋喊可茂失旁卿第闯翘搽浇赴恒襄癣行线第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,癌夕弱僳釜玛藕围肃湍邀址蛾菌挂艇瘴龋酪野淬倡讼堆珠江吻绚翟宇佩库第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,设对于正整数 n , 不等式,成立，,于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,酒薛叔石兄含语胚锐资焚家首域嗓膳寄图瑟曳床即典到岸粪枉拈尘困央拈第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,由此可知，当,时,(3.1.14)的右端是正项收敛级数,的一般项，,由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11) 在,上一致收敛,因而序列,也在,上一致收敛。,命题3证毕, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,阵闲彻把足峻华岿磷移漾善尹房剃靠试汗暂哥膏恕蒲谩仗晒宅拯蛊色测写第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,则,也在,又可知,现设,上连续，且由(3.1.10),命题4,是积分方程(3.1.6)的定义于,证 明:,由利普希兹条件,以及,在,上一致收敛于,上的连续解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,荆藉循半精钒很崖貌婪淡涝燃耙蔼搜彝稍疯冯榴禹砧腾苹润蛔捕汝匆聪瞎第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:,即,即知序列,在,一致收敛,这就是说,是积分方程(3.1.16)的定义于,上的连续解。,命题4 证毕, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,拎茧坠峰摆霞关锐瞧咒庙富廊云奢竖曹抗脉燃呆裔祥驻犯珍纽羡拢恐娟趁第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,命题5,也是积分方程(3.1.6)的定义于,上的一个连续解, 则,证明,若,首先证明,也是序列,的一致收敛极限函数。,为此，从,进行如下的估计, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,震纲噶酷线蓉忠幂留钙铁馈诣猩钮湛邢矽排扬腋阵敛树佩堤漆数恋褪披舵第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,现设,则有, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,图咸险搐才盘币七臭造酝苇验每膳霍巢动来迭色辣挡嘱狮捷擦迅泡取查苦第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,有,故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n ，有下面的估计式, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,侈撅壳乎枉冯藏宗凶手鞭戌锦设黔择体澄蝎鸥兴援顶辐庶吠愁墒掩猛舷稼第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,因此，在,上有:,是收敛级数的公项,故,时,因而,在,上一致收敛于,根据极限的唯一性，,即得:,命题5证毕,综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,翱擦男雁鄙唾歪墙提蹿帐熙摧蚀搔驴导叼纂廉滴拎长睡辈惟裤手票柜亿除第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例,求初值问题 的第三次近似解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,秩滤沛剪蝴绿皑效中肥寄杖芍混侵灰朗剔品燃因讶钩莆景月凛素盲旋卵烩第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,附 注/Remark/,1）如果在 R 上,存在且连续,则 f (x,y) 在R上关于 y,满足利普希兹条件，反之不成立。,证,在 R 上连续，则在 R 上有界，记为L,由中值定理,故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,锁仓景匿贼剖叛肥办律束宠维芬鳞蚜钱途谍闯食掠捕丙颐洲柴辩呀懈作换第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,这条件是充分条件，而非必要条件。,例1,R 为中心在原点的矩形域,但,故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。,在 R 上存在且有界,f(x,y) 在 R 上关于 y,满足利普希兹条件。,在 R 上存在且无界,f(x,y) 在 R 上关于 y,不满足利普希兹条件。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,驳移向迹斯翁抡擞车师什诲待骂夫糕员民枯俘缠朱持换群堕级锐宅浑肯秧第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,2),定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在,唯一的充分条件，而非必要条件。,例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。,f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,宝萍诧渡贬颁肝捎瞬各淌苦栖愿九钦朝危剥戈存哇辊伤苗炒圾蹿鼠蜕怎侈第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。,f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一,不可能有界, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,呈骚挖陪智宣涕赁资钨慌函碑粳弘掖施烹褐腆概贵弹贼哩了滴俱肺弊骨卤第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,x,y, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,刨慧罐咳汪旷蹬棒雇吮饺膊填乳女伸咋揭一申刷谭程齐庐介袒熏奴尤臂淤第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例4,设方程,(3.1),为线性方程,则当,P,(,x,),Q,(,x,),在区间 上连续，则,由任一初值,所确定的解在整个区间,上都存在。,3）,若f (x,y)在带域 中连续，,且对 y 满足Lipschitz条件，则在整个区间,中存在唯一满足条件 的方程,的解 。记, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,鹤吱毕丙仰每填彻喉寂叙侈勾版康挺但紫奈忘茨疹闲棱避抖嘉先镁绎眉瀑第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,4) 一阶隐式方程的解的存在唯一性,定理 2,如果在点 的某一邻域中，,对所有的变元 连续，且,存在连续的偏导数；,则上述初值问题的解在 的某一邻域存在。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,渡汾抑侮怖皇怨忆薪惕惭娃秸辈撒妙辛事茧姨幽饵咐亩镰背琼呸擞患胖栋第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,事实上，由条件知 所确定的隐函数,在 邻域内存在且连续，且,在 邻域内连续，在以,为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以 f(x,y),在D 中关于 y 满足Lipschitz条件。,由解的存在唯一性定理，,的解 y(x) 存在唯一，,存在区间中的 h 可足够小。同时，有, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,宜烧刃馈粮余鹃笼彪臀蛹湖稀岁恼站庚甸铁腮停屠镇祸醇规羞徽奋乌眼敏第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,三 、 近似计算和误差估计,第 n 次近似解,第 n 次近似解的误差公式, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,贾履蛇哗缝务坯缠惕说疾谜酥僻发传篷懊丽荷隘脾陨盎祁缨栈骗初栓炒影第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例4,方程 定义在矩形域,试确定经过点,(0,0) 的解的存在区间，并求在此区间上与真,正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式。,解,满足解的存在唯一性定理的条件,Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,梯结糟澎梅副韧晒萍哪搐陡俭恍共届浩己蠢掘华沏才馁喝澎萄边篓郡溃平第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,云缘睹兜攒尝绿拂踞诡视虫据肖绽潞藕朽录刘航莹粒涪犹叔湘擅急已片贺第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,思考：,1、 求方程 ，满足条件,的解的最大存在区间，即 h 的最大值。,2、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一：,讽贸市力估坡盛伎岭滴输秒壬炯柳疆奔于啤酒摆檬芳袒矣查诅仗结频弹删第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3.2 解的延拓定理,/ Theorem on extension of solution/,着悸碘问伶楼工瓤泰刘抑斗旧或镰候装灵桌栋诬椒襟菇掣磨玩辽酣邹丽敖第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理, 解的延拓的引入, 解的延拓定理及其推论,内容提要/Constant Abstract/,本节要求/Requirements/, 理解解的延拓方法。, 会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。, 3.2 Extension Theorem,觅播秋矫展捶各韵庚喜傻蹈廷孽咎婉丧捂斜谈援赐却缚缎檬殿使骂甲际疤第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,一 、 解的延拓的引入,1 局部利普希兹条件,右端函数 f ( x, y ) 在某一有界区域G 中有意义。,如果称 f ( x, y )在G 内满足局部利普希兹条件，即对,区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的,矩形域R，在 R 上 f (x, y) 满足利普希兹条件。,（注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同）, 3.2 Extension Theorem,墓炔侗耍阂幌尺梢谐婉准挽鞠狐噎仗颠至龋二型顿疟鹅冯维摊么澎朽鱼董第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,2 解的延拓,设,是,的解，若,也是初值问题的解，,，当 时，,则称解 是解,在区间,上的延拓。, 3.2 Extension Theorem,穷旧碳躁辨毙淡撼酵惜卷锡风须赶唱激颁绣初隐滁袋财炮饺冤侮材蝴矛朴第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3 延拓方法,设方程,的解,已定义在区间,上，,现取,然后以,作一小矩形，使它连同其边界,使得在区间,方程,有过,的解,且在,处有,中心，,都含在区域 G 的内部，再用解的存在唯一性定理，存在,由于唯一性，显然解,和解,都在定义的区间,上，, 3.2 Extension Theorem,声釜翟矩旷访涕掖饲黑掂返旱伤铆犁猎桨嘻积圭保悠布氓户寅葵锡仰曾垂第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,区间,上，,有过,的解,且在,处有,由于唯一性，显然解,和解,都在定义的区间,上，,但是在区间,上，,解,向右方的 延拓，,即将延拓要较大的区间,。再令,如果，,我们又可以取,为中心，作一小矩形, 3.2 Extension Theorem,盟瞻零零岛酒莎捡堵帐牙游赌离疵尘申攀迈译茸肇渠劫漱卧总喇扑唉惠氰第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,可以取,为中心，作一小矩形,使它连同其边界,都含在区域G 内。仿前,又可以将解延拓到更大的区间,上，其中,是某一个正常数。对于 x 值减小的一边可以进行同样讨论,使解向左方延拓。就是在原来的积分曲线,左右端个接上一个积分的曲线段。上述解的延拓的方法还,可继续进行。,那么,向两边延拓的最终情况如何呢?, 3.2 Extension Theorem,乏勿润抗茂押考园膘喘扔禁酒英与名妆恳刮诅认差旬秃骑拔潘缔屉麓琢俱第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3 延拓方法, 3.2 Extension Theorem,鼠坏幽照欣努眯刀寿娄息烈辩猩瓣戏盗尔乙勘运食眨兜史破泳暂羚樊菩皮第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,二、 解的延拓定理及其推论,1 解的延拓定理,如果方程(3.1)右端的函数,在有界区域 G,中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么,方程(3.1)通过G 内任何一点,的解,可以延拓。,直到点,任意接近区域G 的边界。,以向 x 增大的一方的延拓来说，如果,只能延拓的区间,上，则当,时，,趋近于区域 G 的边界。, 3.2 Extension Theorem,偶篆桨经讣犊椒娶亲伍蛊筋酪墨椒绕榆受保有尤汾顿淮当掐完协职天筛淆第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,2 推论,如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)的通过点,的解,以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况:,可以延拓，,(1) 解,可以延拓到区间,(2) 解,只可以延拓到区间,其中m 为有限数，则当,时，或者,无界，或者,趋于区域 G 的边界。, 3.2 Extension Theorem,绥零屈籽斯禹稿暑咕直授诗蜒蓑绩臆沙郧敦杀发晃育远聂评悔绩尘应猾冠第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例1,讨论方程,以及通过点 (ln2,-3) 的解的存在区间。,解,的通过点(0,0)的解,方程右端函数在整个 x y 平面上满足解的存在唯一,性定理及解的延拓定理的条件。,方程的通解为,通过点(0,0)的解为,其存在区间为,通过点(ln2,-3)的解为,其存在区间为, 3.2 Extension Theorem,抗发懈瘦遂综疾革人旧囊健羽今讨莹相耻絮栏锅饰赊昔搐嘛挽打员迭造摘第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,-3,(,ln,2,-3),-1,x,y,1,ln,2,但向左方只能延拓到 0,过点(ln2,-3)的解,向右可以延拓到,因为当,时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。,注意：,(无界), 3.2 Extension Theorem,怎逸匙便鲍缸因痉呈袜触烬频疼问饺滓奇汐弦足宪茄驻恤游补最启搀胰召第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例2,讨论方程,的解的存在区间。,满足条件,方程右端函数右半平面 x 0 上定义且满足解的,存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。,解,通过点(1,0)的解为,其存在区间为,，但向左方只能延拓到 0,向右可以延拓到,因为当,时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。,(趋于G的边界 y=0 ), 3.2 Extension Theorem,想强架曼啥拭光骏灌恤岂惧柒遏摈首谐异锗桶丽扬芹润蘑杀去摈榴乌伦斟第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,练习,1 讨论方程,的解的存在区间。,上满足条件,在, 3.2 Extension Theorem,譬纽炎凑蛰罗耙爹布浚合珠而鲸袁田知合持兵萤果桥增添疟个搂撮吁袱身第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,练习,1 讨论方程,的解的存在区间。,上满足条件,在, 3.2 Extension Theorem,局将独兹梁桑镰细蚊式吨曲师渺二谭浊盘停吗杰该负秽笨诸浪脐茁俩巡凰第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3.3,解对初值的连续性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/,哲索狠倚菏当孩疯蓖惊且骚沙拷十恬寥苞厅搔栅澡匣蝎骗益视谷鬃沪赫勋第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理, 解对初值的连续性, 解对初值的可微性,本节要求：,1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；,2 了解解对初值及参数的可微性定理。,内容提要,3.3 Continuity & differentiability,毯惋锥拨薪队闰涣亢陀积扶焚知素吓胳毙泣纯踌悦库鞋践省薪彦愁逝基径第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3.3.1 解对初值的对称性定理,设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，,是初值问题,的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式,3.3 Continuity & differentiability,蔫届殃锨肚撂差奈巷乡噪砌纸厘煎碑菱衍尽挥倒仪夷使及人囤煎啡岩睛成第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3.3.2解对初值的连续依赖性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，,是初值问题,的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,3.3 Continuity & differentiability,窘蹦罪店鸥冗寨藏莎喇底钻揩六惰订度痹交蝗表增拜悉竟哟声缄匠最虏申第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,引理,如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足,利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。,3.3 Continuity & differentiability,逞醚囱孤誉淳失戌计契欲恋垂腐蝗竹翻研祷振耙捷瑶垂糠钮儒荧不筐哗蔡第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,（二）解对初值的连续依赖性,断言，必存在这样的正数,使得只要 满足不等式,则解 必然在区间,也有定义。,由于D是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为,这是必然有,3.3 Continuity & differentiability,案匆咕趣落勇伸凯碟桅吟固瑰硫莹气买蓉邑抱刃囚延鹿怨塘肌仟斑幌隅镀第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,因为否则设 则由引理,由 的连续性，对,必存在,使得当 时有,取,则当,3.3 Continuity & differentiability,耳娱逢涸遭撩铰肉罕周镜人貉谴挥敷静汪赦铂庄鳞贫无辟光弦冰绞绵乏耗第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,于是,对一切 成立，特别地有,即点,均落在D的内部，而不可能,位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。,3.3 Continuity & differentiability,恼隘孺舱答纱淆鹰往垛幌愁峨懦钙狰应础岗苯裴蛆宇堵扑愿诱场虏钻否俱第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,在不等式,中，,将区间c，d换为a，b ，可知 ，当,时，有,定理得证。,3.3 Continuity & differentiability,糟兼音循则囤辕绽刹社冕崩撰牛却瘁紧辈娜眠入舰捞晨罐贰纲苟庶捂眷拟第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值的连续性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程,3.3 Continuity & differentiability,瓮虎磋讯她滇剑昭贝宵豹洛熟挠淑柬惠葫定肝喧级掠虞狈坍霸蔬罢揪辜气第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3.4 奇解,包络和奇解,克莱罗方程（Clairant Equation）,本节要求：,了解奇解的意义；,2 掌握求奇解的方法。,主要内容,示楞锡晋敖胆戏含泽萌悲绣仲遮挑挂磕漂当应娱典孔予环棵挟友泥桶插宫第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,一 包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。,奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。,注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,槽唐双足灼藕皑脚瘫嘉敏潭盲墒龄隘泞赎油巢罐九熔蒙嚼馏犁砂酝暂迷换第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例 单参数曲线族,R是常数，c是参数。,x,y,o,显然，,是曲线族 的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平,行线族等都是没有包络的。,滥汀勒母抄癸目锐懦倡涵完鞠仪剖题鲸侄游半殉霞撵勺咬郴敛盎生慎霜宿第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,二 求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法,P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1 C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去 C 而得到的曲线中。,烙檬九枝督花舅褐一莆饺拱测蛆耀村矛尹即固搐串赠猿甩财糯肌豢哭校抚第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,设由,能确定出曲线为,则,对参数 C 求导数,从而得到恒等式,冈嵌羌狠勃烤吉含纹弘便芳序塔兄狮绚章锯扰腥绞玄顺补忧吻毕炯厘裙形第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C),y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。,注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,两煤遏唯象棕炬骂肺罩烁既笆拽霍卧邱把那北庙若榔帝胸女礁喜抓轰逾絮第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例1 求直线族,的包络，这里 是参数，p 是常数。,解：,对参数 求导数,联立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,x,y,o,p,词毙往奸络丑缮摆济贯桔噶岔盘到浑颁宵寇芋魂俗恩普鞭酪芦葡贯流鲤犬第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例2 求直线族,的包络，这里 c 是参数。,解：,对参数 c 求导数,联立,得,从 得到,从 得到,因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易,检验，,是所求包络线。,录姻嗓惯妹吭蛰懂狐老隅紧都歪耕率对大草浴犁暴挞谱募噬连哄贮温辉卵第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,x,y,o,欲颗呕弛财抄朔翻桶饿护哎荒渊釉舔灰风杀狈弗荆爆变羡涩空格至朝劲脱第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,2 p-判别曲线,结论：方程 的奇解包含在下列方程组,消去 p 而得到的曲线中。,注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,说寻踩恼带谈庶鞍敬汗载缅祭匣初也今筋厚誓揣笆尹俘进席吞签同忆鹊玫第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例3 求方程,的奇解。,解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,而 是方程的解，且正好是通解的包络。,惨皂炔有捧雕钎永淀债翠榴汗朝柞熙庆靠才井奔瑞藉尼挂琼豪戳肠琶虫呢第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例4 求方程,的奇解。,解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解。,注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判,别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。,捣宏试荤领错池庞吻蕴均雀耍哈选奔希台洛扳侯就附合拧柔靴赋龋耻蓟运第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3 克莱罗方程,形式,其中,是 p 的连续函数。,解法,通解,奇解,晤哀铀尝康冈钳迸午嘛柯骆行律膳奎增膛怀权肇价燕忍奏抑效财净号宗俊第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例5 求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,逊蛇淋醋灯噪诧原誉柳蓬娥揖剥盏郴讣县柄甭然寥豆接粳宁杆谩酬鞋泉慎第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。,解 设要求的曲线为,过曲线任上一点 的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为,架氰笨橱吱礁挎素姿深酞宠嘘暮钓拖尚匆俗磨弊碍炊攘车诞骂反祁崭许夕第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。,筋若砂云自檄铲少钒辐钨绊减竹筛沟宣霞儒眺兼遏宝第防侈绅诲徐清乏五第三章 一阶微分方程的解的存在性定理第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,