直角坐标系下二重

返回,后页,前页,2,直角坐标系下二重,积分的计算,一、在矩形区域上二重积分的计算,二,、,在,x,型或,y,型区域上二重积分,的计算,三、在一般区域上二重积分的计算,返回,一,、,在矩形区域上二重积分的计算,定理,21,.,8,设,在矩形区域,上可积,且对每个,积分,存在,则累次积分,也存在,且,证,令,定理要求证明,在,上可积,且积分的结果恰为二重积分,.,为此,对区间,与,分别作分割,按这些分点作两组直线,把矩形,D,分为,rs,个小矩形,(,图,21,-,4).,记,为小矩,形,设,在,上的上确界和下确界分别为,和,.,在区间,中任取一点,于是就有不等,式,其中,因此,其中,记,的对角线长度为,于是,由于二重积分存在,由定理,21,.,4,当,时,使,和,有相同的极限,且极限,值等于,因此当,时,由不等式,(2),可得,:,(3),由于当,时,必有,因此由定积,分定义, (3),式左边,定理,21,.,9,设,在矩形区域,上可积,且对每个,积分,存在,则累次积分,也存在,且,定理,21. 9,的证明与定理,21. 8,相仿,.,特别当,在矩形区域,上连续,时,则有,例,1,计算,其中,解,应用定理,21. 8,(,或定理,21. 9),有,对于一般区域,通常可以分解为如下两类区域来进,行计算,.,称平面点集,为,x,型区域,(,图,21-5(a);,称平面点集,为,y,型区域,(,图,21-5(b).,二、在,x,型或,y,型区域上,二重积分的计算,这些区域的特点是当,D,为,x,型区域时,垂直于,x,轴,的直线,至多与区域,D,的边界交于,两点,;,当,D,为,y,型区域时,直线,至,多与,D,的边界交于两点,.,定理,21,. 10,若,在如,(4),式所示的,x,型区域,D,上连续,其中,在,上连续,则,即二重积分可化为先对,y,、,后对,x,的累次积分,.,证,由于,与,在闭区间,上连续,故存,在矩形区域,(,如图,21,-,5(,a).,现作一,定义在,上的函数,容易知道,函数,在,上可积,而且,类似可证,若,D,为,(5),式所示的,y,型区域,其中,在,上连续,则二重积分可化为先,对,x,、,后对,y,的累次积分,例,2,设,D,是由直线,及,围成的区域,(,图,21-6),试计算,:,的值,.,解,若用先对,y,、,后对,x,的积分,则有,由于,的原函数无法求得,因此改用另一种顺序,的累次积分来计算,:,例,3,计算二重积分,其中,D,为由直线,及,所围的,三角形区域,(,图,21-7).,解,当把,D,看作,x,型区域,时,相应的,所以,例,4,求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体,积,V,.,解,设圆柱底面半径为,a,两个圆柱方程为,利用对称性,只要求出在第一卦限,(,即,),部分,(,见第十章图,10-9),的体积,然后再乘以,8,即得所求的体积,.,第一卦限部分的立体是一曲顶柱,所以它的体积为,D,:,底为,四分之一圆域,体,曲顶为,于是,三,、,在一般区域上二重积分的计算,边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解,成有限个除边界外无公共,内点的,x,型区域或,y,型区,域,.,如图,21-8,所示,D,被分,为,x,型区域,为,y,型区域,.,解成三个区域,其中,、,例,5,设,为,上的连续函数,试将二重积分,化为不同顺序的累次积分,.,解,(1),先对,积分,再对,积分,.,(,见图,21,-,9),其中,为此设,所以有,(2),先对,积分,再对,积分,.,类似地有,:,(,见图,21,-,10),例,6,计算,其中,解,记,(,见图,21,-,11),则又有,