教育专题：矩形的定义和性质[1]9

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,19.2 .1,矩形,授课者：游仕伟,问题,:,体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗,?,为什么？,O,A,B,C,D,投圈游戏,矩形的定义和性质,矩形的定义和性质,温故而知新,平行四边形有哪些性质？,边,角,对角线,对称性,平行四,边形,对边平行,且相等,对角相等,邻角互补,对角线互,相平分,中心对称图形,有一个角是,直角,的,平行四边形,是矩形,矩形的定义：,平行四边形,矩形,有一个角,是直角,矩形是特殊的平行四边形,矩形的性质的研究,我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质,.,你能说出矩形有哪些性质吗,?,E,。,三,、,矩形 两条对角线互相平分,二,、,矩形的两组对角分别相等，邻角互补,一,、,矩形的两组对边分别平行且相等,四,、,矩形是称中心对图形,A,B,C,D,矩形的定义和性质,探究园,探索新知,:,矩形还有哪些特殊性质呢？,猜想,1,：,矩形的四个角都是直角,猜想,2,：,矩形的对角线相等,A,B,C,D,矩形的定义和性质,A,D,C,B,求证,:,矩形的对角线相等,已知： 四边形,ABCD,是矩形，,求证：,AC=BD,矩形有特殊性质：,1,、矩形的四个角均为直角,2,、矩形的对角线相等,证明二：,四边形,ABCD,是矩形, ,ABC=DCB=90,，,AB=CD,AC=BD,证明一：,四边形,ABCD,是矩形,AB=CD,ABC=DCB,，,又,BC=CB,ABCDCB,AC=BD,矩形的定义和性质,思 考,1.,矩形,ABCD,是轴对称图形吗？,2.,它的对称轴有几条？,A,B,C,D,E,F,G,H,.,矩形的定义和性质,矩形的特殊性质,矩形的四个角都是直角,矩形的两条对角线相等,从角上看：,从对角线上看：,从对称性上看：,矩形是轴对称图形,矩形的定义和性质,数学语言：, 四边形,ABCD,是矩形,A=B=C=D=90,数学语言：, 四边形,ABCD,是矩形,AC=BD,边,角,对角线,对称性,平行四,边形,矩形,比一比,知关系,对边平行,且相等,对角相等,邻角互补,对角线互,相平分,中心对称图形,对边平行,且相等,四个角,为直角,对角线互相,平分,且,相等,中心对称图形,轴对称图形,O,这是矩形所特有的性质,矩形的定义和性质,问题,:,体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗,?,为什么？,O,A,B,C,D,公平,因为,OB=OD = OA=OC,投圈游戏,矩形的定义和性质,学以致用,矩形的定义和性质,1.,矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）,.,A,、对角线相等,B,、对边相等,C,、对角相等,D,、对角线互相平分,2,、 矩形的一组邻边长分别是,3cm,和,4cm,，,则它的对角线长是,cm.,A,5,试一试,已知矩形,ABCD,请找出,1,、相等的线段,2,、,相等的角,矩形的问题可以转化到,直角三角形,或,等腰三角形,来解决,AB=CD,、,AD=BC,、,AC=BD,、,OA=OB=OC=OD,、,DAB=ABC=BCD=CDA,、,1=2=3=4,，,5=6=7=8,，,AOD=COB,，,DOC=BOA,矩形的定义和性质,A,B,C,D,O,1,2,4,3,5,6,7,8,例,:,如图，矩形,ABCD,的两条对角线相交于点,O,，,AB=4,求矩形对角线的长？,解： 四边形,ABCD,是矩形,AC,与,BD,相等且互相平分,OA=OB, AOB=60, AOB,是等边三角形,OA=AB=4(),矩形的对角线长,AC=BD=2OA=8(),D,C,B,A,O,已知矩形的一条对角线长是,8cm,，两对角线的一个交角,AOD,是,120,，,求矩形的边长,.,变式：,小结,:,如果矩形两对角,线的夹角是,60,或,120,则其中必有等边三角形,.,60,4,AOB=60,矩形的定义和性质,设矩形的对角线,AC,与,BD,交于点,0,那么,A0,是,Rt,ABD,中一条怎样的特殊线段,?,A0,与,BD,有什么大小关系,?,为什么,?,由此可得推论,:,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,A0,是,RtABD,中斜边,BD,上的中线,.,A0,等于,BD,的一半,.,AC=BD,A0=C0,议一议,:,第十九章 四边形,o,D,C,B,A,矩形的定义和性质,直角三角形的性质,:,直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半,.,练一练,:,已知一直角三角形两直角边分别为,6,和,8,则其,斜边上的中线长为,_.,5,矩形的定义和性质,A,B,O,C,学有所用,数学语言,：,三角形,ABC,是直角三角形，且,BO,是斜边,AC,的中线,BO=,2,、已知：如图,BE,、,CF,是,ABC,的两条高，,M,为,BC,的中点，分别连,ME,、,MF,求证：,(1),ME= BC,(2)ME=MF,操练场,C,M,F,A,B,E,矩形的定义和性质,（,1,）,BE,是,ABC,的高, ,BEC,是直角三角形,又,M,为,BC,中点,ME,是斜边,BC,的中线,ME= BC,（,2,）由（,1,）得，,ME= BC,同理,MF= BC ME=MF,2,1,2,1,矩形的定义和性质,4,、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。,3,、直角三角形的一个重要性质：斜边上的中线,等于斜边的一半；,1,、矩形定义：,有一个角是直角的平行四边形叫矩形,矩形的对边平行且相等,矩形的四个角均为直角,2,、矩形 性质,矩形的对角线互相平分且相等,课堂小结,作 业,4,、,9,、,习题,19.2,3,、,复习题,19,矩形,性质,说说：,本节课学了什么,定义：,有一个角是,直角,的,平行四边形,叫做矩形,1,、是平行四边形,2,、有一个角为直角,数学语言：,四边形,ABCD,是平行四边形，,A=90,0,平行四边形,ABCD,是矩形。,矩形的定义和性质,学习新知,1,、平行四边形变成矩形时，图形的内角,有何特征？,2,、平行四边形变成矩形时，两条对角线,的长度有什么关系？,动手试一试,矩形的定义和性质,在操作过程中,请你思考下列问题,:,练一练,D,C,B,A,1.,已知,ABC,是,Rt,ABC,=90,0,BD,是斜边,AC,上的中线,.,(1),若,BD=3,则,AC,_,;,(2),若,C=30,AB,5,则,AC,_,BD,_,.,6,5,10,矩形的定义和性质,求证：矩形的四个角都是直角,已知：如图，四边形,ABCD,是矩形,求证：,A=B=C=D=90,A,B,C,D,证明：,四边形,ABCD,是矩形,A=90,又 矩形,ABCD,是平行四边形,A=C B = D,A +B = 180,A=B=C=D=90,即,矩形的四个角都是直角,矩形的定义和性质,试一试，你能行,矩形的定义和性质,3,、矩形,ABCD,中,AC,、,BD,相交于点,O,，,AB=6,，,BC=8,，则,ABO,的周长为,_,A,D,C,B,O,16,7.,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,ABC=,ADC=90,0,，,M,是,AC,的中点，,N,是,（,1,）试判断,MD,与,MB,的大小关系。,（,2,）试判断,MN,与,BD,的位置关系,。,BD,的中点,。,矩形的定义和性质,用四段木条做一个,ABCD,的,活动木框,将其直立在桌面上轻轻地推动点,D,你会发现什么,?,试一试,A,D,A,C,B,O,90,D,C,B,O,第十九章 四边形,D,C,B,矩形的定义和性质,1,、如图，矩形,ABCD,的对角线的长为,2,，,BDC=30,0,则矩形,ABCD,的面积为,_.,2,、矩形两条对角线所夹的锐角为,60,较短的边长为,3.6cm,则对角线的长为,_,cm.,7.2,A,D,C,B,A,D,C,B,第,1,题,第,2,题,O,试一试，你能行,A,D,C,B,E,1,、如图，矩形,ABCD,中，,AE,平分,BAD,交,BC,于点,E,，,ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。,解：,四边形,ABCD,是矩形,C,B=BAD=90,AB=DC,注,:,解决矩形的有关问题时,常根据性质转化为直角三角形的有关问题进行解答,.,DE=5,EC=3,DC,2,=DE,2,-EC,2,=5,2,-3,2,即：,DC=4,AE,平分,BAD,BAE=45,AB=BE,4,BC=7,矩形,ABCD,的周长为,22cm,比一比,看谁做得快!,矩形的定义和性质,学海 无涯,1.,矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）,A.,对角线相等,B.,对边相等,C.,对角相等,D.,对角线互相平分,2.,下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）,A.,对角线相等,B.,四个角相等,C.,是轴对称图形,D.,对角线互相垂直,A,D,O,A,B,C,D,OB=OD = OA=OC,推论：直角三角形斜边上的中线等于,斜边的一半。,= AC= BD,在 中，,ABC=90,0,，,BO,是斜边,AC,上的中线,OB = AC,A,B,C,D,思 路 分 析,3.,在,RtABC,中，,C=90,，,AB=2AC.,求,A,、 ,B,的度数,.,作,斜边,AB,边的中线,则,AD=CD= AB,AC=AD=CD= AB,又AB=2AC,ACD,是等边三角形,A=60,B=30 ,练习,五星红旗 电视机面 香港区旗 手表,你,能再,举出一些生活中的矩形的例子吗,？,窗框,书桌面 课本封面 地砖,生活中的矩形：,一、填空,1.,矩形的四个角都是,，对角线,且,。,2.,直角三角形两直角边长分别为,6,cm、8cm,则斜边上的中线长为,。,3.如图,在矩形,ABCD,中对角线,AC、BD,相交于点,O,若,AB=6cm,BOC= 120 ,则,ACB=,AC=,。,4.,若矩形的两条对角线的一个夹角是60,且一条对角线与一条短边,的和是12,cm ，,则此矩形的对角线的长是,。,5.如右图,矩形,ABCD,沿,AE,折叠,使点,D,落在,BC,边上,的,F,处,如果,BAF=60 ,则,DAE=,。,二、如图,在矩形,ABCD,中,两条对角线,AC、BD,相交于,O, ACD=30 ,AB=4.,判断,AODR,形状;,求对角线,AC 、BD,的长,我是这节课的,探索者、收获者、成功者，,证明给你看,大显身手,直角,相等,互相平分,5,cm,30,12,cm,8,cm,B,D,C,A,O,E,D,B,C,A,F,15,O,A,C,D,B,三、请将一张直角三角形纸片沿中位线剪开或复制这个直角三角形，进行拼图，记录下你拼出的图形的名称。,矩形的性质证明,第十九章 四边形,例,2:,如图所示,已知四边形,ABCD,是矩形,.,求证,:,(1),OAB=OBA,(2) ,ODA=OAD,O,D,C,B,A,小明是“新时代”学校八（,2,）班一个爱动脑、爱动手、爱钻研的学生，今天下午学了平行四边行的有关知识后，放学回家自己动手用,四段木条做,一个活动木框具体的步骤如下：先截出对符合规格的木条如图所示，使,AB=CD,，,EF=GH,摆放成如图所示的四边形，则这时木框的形状是,形，根据的数学道理是：,。,小明将其直立在地面上轻轻推动点,D,，,在推动的过程中他突然想起工人师傅在做铝合金窗框时，会用一个直角尺靠紧窗框的一个角如图 所示，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时如图所示，说明窗框合格，这时窗框是,形，根据的数学道理是：,。 因此,形是特殊的,形。,B,D,A,C,E,F,G,H,情境引入,平行四边,两组对,边分别相等的四边形是平行四边形,矩,有,一个角是直角的平行四边形是矩形,矩,平行四边,D,D,D,1.,有一个角是直角的平行四边形叫矩形，也就是长方形。,2.,矩形与平行四边形的关系：矩形是特殊的平行四边形。即：矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。,4.,矩形,ABCD,中,AB=2BC,AE=AB,求,EBC,的度数,A,B,C,D,E,细心观察,矩形的定义和性质,细心观察平行四边形内角的变化,1,、平行四边形变成矩形时，图形的内角,有何特征？,5.,设矩形,ABCD,和矩形,AEFC,的面积分别为,S,1,、,S,2,，,则二者的大小关系是：,S,1,_S,2,细心观察平行四边形对角线的关系,矩形的定义和性质,6.,已知如图，,O,是矩形,ABCD,对角线的交点，,AE,平分,BAD,，,AOD=120,0,，求,EAO,的度数和,OEA,的度数 。,2,、如图，矩形,AEFG,和矩形,ADCB,的大小、形状完全相同，把它们拼成如图所示的,L,型图案，已知,FAE=30,分别求,1,、,2,的度数。,解,:,依题意可知,:,FAE=DCA=30 ,AF=AC,1=45 ,2=ACF-ACD=15 ,DAC=60 ,FAC=90 ,A,B,G,F,E,D,C,H,1,2,矩形的定义和性质,挑战你的思维,如图，,ABC,为直角三角形，,C=90,现将补成矩形，使,ABC,的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个，矩形,ACBD,和矩形,AEFB,1,）矩形,ACBD,和矩形,AEFB,的,面积有何数量关系？,2,）如果,ABC,是钝角三角形，,按短文中的要求把它补成矩形那么,符合要求的矩形可以画出几个？,试试看。,3),如果,ABC,是锐角三角形呢,?,阅读下面短文,A,C,B,F,E,D,矩形的定义和性质,小结：,1.,矩形的定义,2.,矩形的性质,（,1,）矩形的对边平行且相等,（,2,）矩形的四个角都是直角,（,3,）矩形的对角线互相平分 且相等,（,4,）矩形是轴对称图形,3.,直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半,有一个角是,直角,的,平行四边形,是矩形,矩形的定义：,平行四边形,矩形,有一个角,是直角,矩形是特殊的平行四边形,矩形的定义及性质,一个角是直角,定义：有一个角是直角的平行四边形叫做,矩形,矩形,平行四边形,性质定理,1,矩形的四个角都是直角,性质定理,2,矩形的对角线相等,矩形性质,角,边,对角线,对称性,推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,例,1,练习,小结,四个角都,是直角,对边平行,且相等,互相平分,且相等,是轴对称,图形,作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质外，猜想还有哪些特殊性质呢？,猜想,1,：,矩形的四个角都是直角,猜想,2,：,矩形的对角线相等,矩形是轴对称图形,.,A,B,C,D,