二阶常系数齐次线性微分方程的课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/10/1,1,二阶常系数齐次线性微分方程的通解,2022/10/101二阶常系数齐次线性微分方程的通解,2024/10/1,2,一、定义,n,阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,2022/10/102一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形,2024/10/1,3,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-,特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,2022/10/103二、二阶常系数齐次线性方程解法-,2024/10/1,4,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2022/10/104 有两个不相等的实根两个线性无关的特,2024/10/1,5,反之：,2022/10/105反之：,2024/10/1,6,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,2022/10/106 有两个相等的实根一特解为得齐次方程,2024/10/1,7,反之：,2022/10/107反之：,2024/10/1,8,有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,2022/10/108 有一对共轭复根重新组合得齐次方程的,2024/10/1,9,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,1,2022/10/109定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根,2024/10/1,10,例,1,求方程,y,-,2,y,-,3,y,=0,的通解,.,解,该方程的特征方程为,r,2,-,2,r,3=0,它有两个不等的实根,r,1,=,-,1,，,r,2,=,3,其对应的两个线性无关的特解为,y,1,=e,-,x,与,y,2,=e,3,x,所以方程的通解为,2022/10/1010例 1求方程 y-2y-,2024/10/1,11,例,2,求方程,y,-,4,y,+,4,y,=0,的满足初始条件,y,(0)=1,，,y,(0)=4,的特解,.,解,该方程的特征方程为,r,2,-,4,r,+,4=0,，,求得,将,y,(0)=1,，,y,(0)=4,代入上两式，得,C,1,=1,，,C,2,=2,，,y,=,(1,+,2,x,)e,2,x,.,其对应的两个线性无关的特解为,y,1,=e,2,x,与,y,2,=,x,e,2,x,，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根,r,=2.,2022/10/1011例 2求方程 y-4y,2024/10/1,12,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,2,2022/10/1012解特征方程为解得故所求通解为例2,2024/10/1,13,例,3,求方程,2,y,+,2,y,+,3,y,=0,的通,解,.,解,该方程的特征方程为,2,r,2,+,2,r,+,3=0,，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,2022/10/1013例 3求方程 2y+2y,2024/10/1,14,例,4,求方程,y,+,4,y,=0,的通解,.,解,该方程的特征方程为,r,2,+,4=0,，它有共轭复根,r,1,2,=,2i.,即,a,=0,，,b,=2.,对应的两个线性无关的解,y,1,=cos 2,x,.,y,2,=sin 2,x,.,所以方程的通解为,2022/10/1014例 4求方程 y+4y=,2024/10/1,15,2022/10/1015,2024/10/1,16,三、,n,阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,2022/10/1016三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方,2024/10/1,17,注意,n,次代数方程有,n,个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,2022/10/1017注意n次代数方程有n个根,而特征方,2024/10/1,18,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例,4,2022/10/1018特征根为故所求通解为解特征方程为例4,2024/10/1,19,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,:,（,1,）写出相应的特征方程,;,（,2,）求出特征根,;,（,3,）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,.,(,见下表,),2022/10/1019二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步,2024/10/1,20,2022/10/1020,2024/10/1,21,思考题,求微分方程 的通解,.,2022/10/1021思考题求微分方程,谢谢观看！,2020,谢谢观看！,