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,考点清单,方法技巧,栏目索引,专题八立体几何,8.1空间几何体的三视图、表面积和体积,高考数学 浙江专用,考点一简单几何体的结构特征、三视图和直观图,考点,清单,考向基础,1.多面体的结构特征,名称,棱柱,棱锥,棱台,结构,特征,有两个面平行且全等,其余各个面都是四边形;每相邻两个四边形的公共边都互相平行,有一个面(底面)是多边,形,其余各面是有一个,公共顶点的三角形,有两个面平行且相似,其余各面都是梯形,侧棱,平行且相等,相交于一点但不一定,相等,延长线交于一点,侧面形状,平行四边形,三角形,梯形,【知识拓展】,特殊的棱柱和棱锥,(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱,柱.,(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做,正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.,(3)特殊的四棱柱:,(4)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的部分是棱台.,名称,圆柱,圆锥,圆台,球,母线,平行、相等且垂,直于底面,相交于一点,延长线交于一点,轴截面,全等的矩形,全等的等腰三角,形,全等的等腰梯形,大圆,侧面,展开图,矩形,扇形,扇环,2.旋转体的结构特征,注意,(1)球的截面是圆面;,(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;,(3)球心到截面的距离,d,与球的半径,R,及截面的半径,r,的关系为,r,=,.,3.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的步骤,(1)在已知图形中取互相垂直的,x,轴和,y,轴,两轴相交于,O,点.画直观图时,把它,们画成对应的,x,轴与,y,轴,两轴相交于,O,点,且使,x,O,y,=45,(或135,),它们,确定的平面表示水平面;,(2)已知图形中平行于,x,轴或,y,轴的线段,在直观图中分别画成平行于,x,轴或,y,轴的线段;,(3)已知图形中平行于,x,轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于,y,轴的,线段,长度变为原来的一半.,4.几何体的三视图指正视图、侧视图、俯视图.又称为主视图、左视图、,俯视图.,“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物,体的前面向后正投影,所得的投影图称为“正视图”;自左向右正投影,所,得的投影图称为“侧视图”;自上向下正投影,所得的投影图称为“俯视图”.,5.三视图的画法要求,(1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.,(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左,方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.,(3)由三视图想象几何体特征时要根据“,长对正、宽相等、高平齐,”的基,本原则.,6.平行投影的投影线,互相平行,;中心投影的投影线交于一点.,考点二空间几何体的表面积和体积,考向基础,1.旋转体的表面积,2.多面体的表面积,多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积.,注意(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与,所有底面面积之和.,(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.,圆柱(底面半径,为,r,母线长为,l,),圆锥(底面半径,为,r,母线长为,l,),圆台(上、下底面,半径分别为,r,、,r,母线长为,l,),球(半径为,R,),侧面积,S,侧,=2,rl,S,侧,=,rl,S,侧,=(,r,l,+,rl,),表面积,S,表,=2,r,(,r,+,l,),S,表,=,r,(,r,+,l,),S,表,=(,r,2,+,r,2,+,r,l,+,rl,),S,表,=,4,R,2,柱体,V,柱体,=,Sh,V,圆柱,=,r,2,h,锥体,V,锥体,=,Sh,V,圆锥,=,r,2,h,台体,V,台体,=,(,S,+,+,S,),h,V,圆台,=,(,r,2,+,rr,+,r,2,),h,球,V,球,=,R,3,(,R,为球半径),3.柱体、锥体、台体、球的体积,注意,(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已,知体积公式的几何体进行解决.,(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体和数据还原的准确性.,根据三视图确定直观图的方法,方法,1,方法技巧,(1)三视图为三个三角形,对应三棱锥;,(2)三视图为两个三角形,一个四边形,对应四棱锥;,(3)三视图为两个三角形,一个带圆心的圆,对应圆锥;,(4)三视图为一个三角形,两个四边形,对应三棱柱;,(5)三视图为两个四边形,一个圆,对应圆柱.,例1,(2019浙江高考信息优化卷(四),11)某四棱锥的三视图如图所示,在此,四棱锥的四个侧面中,直角三角形的个数为,体积是,.,解题导引,解析,由三视图还原直观图如图所示.,由图易知,PAB,PAD,PBC,为直角三角形,故四个侧面中,共有3个直角三角形,其体积,V,=,S,梯形,ABCD,AP,=,(1+2),2,2=2.,答案,3;2,方法2,空间几何体的表面积和体积的求解方法,1.空间几何体表面积的求法,(1)表面积是各个面的面积之和.求多面体的表面积时,只需将它们沿着棱,剪开后展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋,转体的表面积时,可从旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表,面积,但要理清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.,(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、,台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出,几何体的表面积.,2.空间几何体体积的求法,(1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接,利用公式求解.,(2)求组合体的体积.若所给的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则,常用转换法、分割法、补形法等进行求解,特别地,三棱锥的体积常用等体,积法求解.,(3)求以三视图为背景的几何体的表面积或体积,应先根据三视图得到几何,体的直观图,然后根据条件求解.,(4)利用“等体积法”可求点到平面的距离.,例2,(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),3)如图所示,半径为2,圆心角,为,的扇形是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的体积是,(),A.,B.,C.,D.,解题导引,解析,圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长,所以圆锥的底面半径为,高,为,所以圆锥的体积,V,=,=,.故选B.,答案,B,
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