均值不等式课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,均值不等式,引例如果,a,b,R,那么,a,2,+,b,2,2,ab,当且仅当,a,=,b,时,等号成立,.,证明,:(1),作差法,a,2,+,b,2,2,ab,=(,a,b,),2,当,a,b,时,(,a,b,),2,0;,当,a,=,b,时,(,a,b,),2,=0,所以,(,a,b,),2,0,即,a,2,+,b,2,2,ab,A,B,C,D,E,F,G,H,a,b,(2),数形结合,在正方形,ABCD,中有,4,个全等的直角三角形,.,设直角三角形的两条直角边的长为,a,、,b,，那么正方形的边长为,.,这样，,4,个直角三角形的面积和小于正方形,ABCD,的面积,故得,a,2,+,b,2,2,ab,.,当直角三角形变为等腰直角三角形,即,a,=,b,时,正方形,EFGH,缩为一个点,这时有,a,2,+,b,2,=2,ab,定理 如果,a,b,是正数,那么,其中 称为正数,a,b,的算术平均数,称为正数,a,b,的几何平均数,所以基本不等式也称为均值不等式,(3),数形结合,如图,AB,是圆的直径,点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD.,易证,RtACDRtDCB,则,A,B,C,D,E,a,b,而这个圆的半径为,显然会大于或等于,CD,即,其中当且仅当点,C,与圆心重合,即,a,=,b,时,等号成立,.,例 已知,x,y,都是正数,求证,:,(1),如果积,xy,是定值,P,那么当,x,=,y,时,和,x+y,有最小值,(2),如果和,x+y,是定值,S,那么当,x,=,y,时,积,xy,有最大值,C,A.,最大值为,2,，最小值为,2,B.,最大值为,2,，但无最小值,C.,最小值为,2,，但无最大值,D.,最大值为,2,，最小值为,0,A,4,ab9,5,题,1 (1),用篱笆围一个面积为,100m,2,的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,.,最短的篱笆是多少,?,(2),一段长为,36m,的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,.,最大面积是多少,?,解,:(1),设矩形菜园的长为,x,m,宽为,y,m,则,xy,=100,篱笆的长为,2(,x+y,)m.,(2),设矩形菜园的长为,x,m,宽为,y,m,则,2(,x+y,)=36,x+y,=18,矩形菜园的面积为,xy,m,2,.,题,2,某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池,其容积为,4800m3,深为,3m.,如果池底每平方米的造价为,150,元,池壁每平方米的造价为,120,元,怎样设计水池能使总造价最低,?,最低总造价是多少元,?,D,B,A.(0,1 B.(0,4,C.4,+)D.(-,0 4,+),B,C,