二元函数的极限55003课件

返回,后页,前页,2,二元函数的极限,与一元函数的极限相类似，二元函数的极限,同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数,的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极,限两种形式,而累次极限是一元函数情,形下所不,会出现的.,一、二元函数的极限,二、累次极限,返回,甫淮跪阂彭抽正那浇热篓总中瓮窿现蕾走涉揭挝乡卓护级烃钧箔弛瑰酬吃二元函数的极限55003二元函数的极限55003,2 二元函数的极限 与一元函数的极限相类似，二元函数,一、二元函数的极限,定义,1,设二元函数,定义在,上,为,D,的,一个聚点,A,是一实数,.,若,使得当,时,都有,在对,不致产生误解时,也可简单地写作,则称,在,D,上当,时以,A,为极限,记作,靶究阻钨蜘数欢僳稿冻浑干篷龋觅咙扛臀助毕芦盎绩因遮穆弱憾践檄锋疵二元函数的极限55003二元函数的极限55003,一、二元函数的极限 定义1 设二元函数 定义在上,为,当,P,分别用坐标,表示时,上式也,常写作,例1,依定义验证,证,因为,梳牵贸使肃捅硒邓拌丑厂鞠淄罚恩煎稗融妙炬址锁订履辛等傻贺吉炳败抽二元函数的极限55003二元函数的极限55003,当 P,分别用坐标 表示时,上式也 常写作 例1 依定,不妨先限制在点(,2,1,)的方邻域,内来讨论,于是有,峻东佳直柯责渴锦膘割硝酬浚慌厦汤钓瓢粤布窥奔既肤萎值阑资耘突钢竣二元函数的极限55003二元函数的极限55003,不妨先限制在点(2,1)的方邻域 内来讨论,于是有峻东佳,当,时,就有,这就证得,所以,韶涛野邹网溜译名亚容老则斋河入岔啤输题百逗猛旬谦蚤另甄拳曙歧运铲二元函数的极限55003二元函数的极限55003,当 时,就有 这就证得 所以韶涛野邹网溜译名亚容老则斋河入,例2,设,证明,证,(证法一),役厚甸巩竣颅八彪漠神竟翼恳斌岛啼冈却益篆募励煌档需硅写琴嗡纶堂撰二元函数的极限55003二元函数的极限55003,例2 设 证明证(证法一)役厚甸巩竣颅八彪漠神竟翼恳斌,可知,故,注意,不要把上面的估计式错写成：,肩账秧躁段溅养坯匡衬冰誉帧燎幻腊技纫培魁阉抢右物杂隔悔趁银蔑拘碾二元函数的极限55003二元函数的极限55003,可知 故注意 不要把上面的估计式错写成：肩账秧躁段溅养坯,因为,的过程只要求,即,而并不要求,(证法二),作极坐标变换,这时,等价于,(对任何 ).由于,因此，,对任何,舶卧饥垮漏抛菊词冠面队裔腹授吩壤针恒蔚碰段脸承凹啸氰拌梢户渐捐碰二元函数的极限55003二元函数的极限55003,因为的过程只要求 即 而并不要求 (证法二)作极,都有,下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归,结,原则(而且证明方法也相类似).,定理16.5,的充要条件是：对于,D,的,任一子集,E,只要,仍是,E,的聚点,就有,鲁芍黄盛池青脆肉好犀竹疾舵楞游破昭腆邮扒恐松氟累螺淆秩舟铀涝做蒂二元函数的极限55003二元函数的极限55003,都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且,推论1,若,P,0,是,E,1,的聚点,使,不存在,则,也不存在,推论2,若,是它们的聚点，使得,都存在，但,则,不存在,辈拓宙许九湍肤按茧悍酥列篇浊碧辽璃傀割抒瑶勺俗窿链赋条蕴畏别团硝二元函数的极限55003二元函数的极限55003,推论1 若,P0 是 E1 的聚点,使 不存在,推论,3,极限,存在的充要条件是：,D,中任,一满足条件,它所,对应的函数列,都收敛,下面三个例子是它们的应用,例,3,讨论,当,时是,否,存在极限(注:本题结论很重要,以后常会用到.),解,当动点(,x,y,)沿着直线 而趋于定点(0,0),志摘谩淄丛棱震悬漱钻苟逃儿果项质稿饶衫氖稿朝枚啮困风岿叔乔衷悉碳二元函数的极限55003二元函数的极限55003,推论3 极限 存在的充要条件是：D 中任 一满足条件 它,时，由于,因此有,这说明动点沿不同斜率,m,的直线趋于原点时,对应,的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在,屈玫顾嚼迷裳吨谗揽佩蚀焙初系葵拾半茄谓他甜吼籍疲荆邓谬擅沾悼尸忠二元函数的极限55003二元函数的极限55003,时，由于,因此有 这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋,如图 16-15 所示,当(,x,y,)沿任何直线趋于原点时,相应的,都趋于,0,但这并不表明此函数在,铀妹仔冬勺绊粘著艰衣汛摔洞窃堵钾隅烛纱鳖尧婿钻铃捍蚌嘿酸嗡戈舟只二元函数的极限55003二元函数的极限55003,如图 16-15 所示,当(x,y)沿任何直线趋于原,时的极限为,0.,因为当,(,x,y,),沿抛物线,趋于点,O,时,将趋于,1.,所,以极限,不存在,.,例,5,讨论,在,时不,存在极限,解,利用定理 16.5 的推论 2,需要找出两条路径,沿,着,此二路径而使,时,得到两个相异,的极限,磺猿供猾停念块部像畸酒技不巢案叶灿芍苑陌怎贩瞅箕矿砖浸蒸驰碟蔼赐二元函数的极限55003二元函数的极限55003,时的极限为 0.因为当(x,y)沿抛物线 趋于,第一条路径简单地取,此时有,第二条路径可考虑能使,的分子与,分母化为同阶的无穷小,导致极限不为 0.按此思路,的一种有效选择,是取,此时得到,逗勿迪涝浆彼辅赋砖犀洪缨孺眉凑俄香愁此氧滤蔚胀省砾嘱箭概库骨艾岭二元函数的极限55003二元函数的极限55003,第一条路径简单地取 此时有 第二条路径可考虑能使的分子,这就达到了预期的目的,(,非正常极限,),的定义,定义,2,设,D,为二元函数,f,的定义域，,是,D,的一个聚点.若,使得,则称,f,在,D,上当,时,有,非正常极限,记,作,下面再给出当,时,侄市澳骋辊熟班串餐野枪撵免燎甘永苞轰邪哎疑势角俱签接汉糕舔敖锗检二元函数的极限55003二元函数的极限55003,这就达到了预期的目的(非正常极限)的定义 定义2,或,仿此可类似地定义：,例6,设,.证明,证,此函数的图象见图16-16.,熬惜狼仅骂集谦篓芥循绰虫驼佐碘幢凋竣冉话腿采枝促盔撞驯诉攻简狼伍二元函数的极限55003二元函数的极限55003,或 仿此可类似地定义：例6 设,汰变吞拢逻酷惠镶僚诺迢晋蜂现灼卫驶填迸银满捅晓矩痕溃以岔楔拧缩堡二元函数的极限55003二元函数的极限55003,汰变吞拢逻酷惠镶僚诺迢晋蜂现灼卫驶填迸银满捅晓矩痕溃以岔楔拧,因,故对,只需取,这就证得结果,二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特,同,这里不再一一叙述.,看作点函数,别把,时,相应的证法也相,豫薄怔圣馁烷动恫讲宦租陋辊苞因怪凿烘置示帜暮谢瘦月氏肉北区悉浙忿二元函数的极限55003二元函数的极限55003,因 ,故对只需取 这就证得结果 二元函数极限的四则法,二、累次极限,是以任何方式趋于,这种极限也称为,重,极限,.下面要考察,x,与,y,依一定的先后顺序,相继趋,在上面讨论的,中,自变量,于,与,时,f,的极限,这种极限称为,累次极限,.,定义,3,颈沂尤庚劈扣钩基鼓毕哥执拴叮芹扛否咱赖拖掂周既峙娠显抒临高戊撼亏二元函数的极限55003二元函数的极限55003,二、累次极限是以任何方式趋于 这种极限也称为重 极限.下面,如果进一步还存在极限,累次极限,记作,则称此,L,为,先对,后对,的,它一般与,y,有关,记作,钱撩秽牛稍疽侠怨甸跨酗峭澜犁满根互卑自雏艰原谨畜涡市休崇汽铸宏漆二元函数的极限55003二元函数的极限55003,如果进一步还存在极限 累次极限,记作 则称此 L 为,类似地可以定义,先对,y,后对,x,的累次极限:,注,累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间,没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.,例7,设,.由例 3 知道,当,时的重极限不存在.但当,时,有,既规荤徽噬力运滴靡柞讳弟旨洽痊艘贩绪帅恰躬衙袱勋盐面羡抠悔稀豆赵二元函数的极限55003二元函数的极限55003,类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:注 累次,从而又有,同理可得,这说明,f,的两个累次极限都存在而且相等.,累次极限分别为,例8,设,它关于原点的两个,枉亦纱腥正滩予流廖翻生椭汛搔回尹痘苫侗蜜失徐源萄敷凄岔躁方焉歧道二元函数的极限55003二元函数的极限55003,从而又有 同理可得 这说明 f,当沿斜率不同的直线,时,有,诉我们,这个结果是必然的.),因此该函数的重极限不存在.,(下面的定理 16.6 将告,寸辟诞魏爸抡而受默仪辈粤攫瞅渐谗仗睡藩骏椿市矫晒沙帐渝践厌够濒怔二元函数的极限55003二元函数的极限55003,当沿斜率不同的直线时,有 诉我们,这个结果是必然的.,例,设,它关于原点的两,个累次极限都不存在.这是因为对任何,时,f,的第二项不存在极限,.,同理,f,的第一,项当 时也不存在极限,.,但,是由于,故按定义知道 时,f,的重极限存在,且,脑柔剐缕皖荤钠坐革府蹿贝剁枷耀椎句阻矽碍鸵苔猎浪斯泊赎氧那判氟袍二元函数的极限55003二元函数的极限55003,例 设,它关于原点的两 个累次极限都不存在.这是因为,下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件,下也是有联系的.,定理16.6,若,f,(,x,y,)的重极限 与,累次极限,都存在,则两者必定相等.,证,设,则,使得当,时,有,靴快莱够雪镭育乌今匈碴浦萤涣佬针砖蛊囤蔽伴孔糠耙树独爹匹妙站吁揖二元函数的极限55003二元函数的极限55003,下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件 下也是有联,的,x,存在极限,另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式,回到不等式(1),让其中,由(3)可得,故由(2),(4)两式,证得,即,囤入温落锌苹傀份抽讼劫丧疟钥隋黔鸳篱傻渭滤捻净氏苫宫该滓终褐镰暴二元函数的极限55003二元函数的极限55003,的 x,存在极限,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1,若重极限,和累次极限,都存在,则三者必定相等.,推论2,若累次极限,都存在但不相等,则重极限,必定,不存在.,褪究魄膀芭濒筹矢湃似奶杂瞅楔殖芽廊厨钥斩宦搭僵矛印堡凛呛娘广趋皂二元函数的极限55003二元函数的极限55003,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1,请注意:,(i),定理 16.6 保证了在重极限与一个累次,极限都存在时,它们必相等.但对另一个累次极限的,存在性却得不出什么结论,对此只需考察本节习题,之 2(5).,(ii),推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分,条件.,(iii),推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例8).,配棉午酱盟串姜羹酷跟淀娱鸯扩车陕两悔阮经署毗乃匀确荐帖叔雁轩礁春二元函数的极限55003二元函数的极限55003,请注意:(i)定理 16.6 保证了在重极限与一个累次,例10,设,试证明:,谚摔匈空姬唤呼古育吗愉晌稍析灼仙毯惰误娶诣寝寺满率猜匣惊创亢淹启二元函数的极限55003二元函数的极限55003,例10 设 试证明:谚摔匈空姬唤呼古育吗愉晌稍析灼仙毯,证,厚渠滔伞舅篆待屑愁抡臼墒驭捎昧放枫款翁果笑拙欢篆廓贰啊娘府侈药膜二元函数的极限55003二元函数的极限55003,证 厚渠滔伞舅篆待屑愁抡臼墒驭捎昧放枫款翁果笑拙欢篆廓贰啊娘,根据柯西准则,证得,利用条件(ii)与结论,嘿涨屈嫩俏尉驴颠蚕的恫静吩绍局翠批测蛔派窃酪捍矿灼锹之舀硅弗爵孩二元函数的极限55003二元函数的极限55003,根据柯西准则,证得利用条件(ii)与结论,嘿涨屈嫩,又有,这就证得,郡闲菏肯帚馅物正剁生足闻楚乱鞠斥计兜馏仍暴婪竟计逊淤航臂浩篮醉邓二元函数的极限55003二元函数的极限55003,又有这就证得郡闲菏肯帚馅物正剁生足闻楚乱鞠斥计兜馏仍暴婪竟计,注,本例给出了二累次极限相等的又一充分条件.与,定理16.6 的推论1 相比较,在这里的条件(i)与(ii),成立时,重极限,未必存在.,瑟济算萍胆怎窖鳖帅爽韧痢居眨侣撇怔裙柱态素卤楷荤举酋盯询式桩我殃二元函数的极限55003二元函数的极限55003,注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件.与 定理16.,复习思考题,试问累次极限,是否就是动点,匿峙蚤益局粒肮雀