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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.4,函数的奇偶性,【复习目标】,1,.,理解和掌握函数奇偶性的概念,.,2,.,掌握奇函数、偶函数的图象特征,.,3,.,掌握判断和证明函数奇偶性的方法,.,4,.,能利用函数的奇偶性解决简单问题,.,【知识回顾】,1,.,函数奇偶性的定义,(1),奇函数,:,如果对于函数,y=f,(,x,),在定义域内的任意一个,x,都有,f,(,-x,),=-f,(,x,),那么这个函数叫奇函数,.,(2),偶函数,:,如果对于函数,y=f,(,x,),在定义域内的任意一个,x,都有,f,(,-x,),=f,(,x,),那么这个函数叫偶函数,.,2,.,图象特征,(1),奇函数的图象关于坐标原点成中心对称图形,;,反之,如一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形,那么函数是奇函数,.,(2),偶函数的图象关于,y,轴成轴对称图形,;,反之,一个函数的图象关于,y,轴成轴对称图形,那么函数是偶函数,.,3,.,判断奇偶性的步骤,(1),写出定义域,.,(,明确奇函数、偶函数定义域关于对称,),(2),求,f,(,-x,),.,(3),对,f,(,-x,),与,f,(,x,),进行比较,.,【,例题精解,】,【解】,(1),函数,f,(,x,),=x,3,-,2,x,的定义域为,R,当,x,R,时,-x,R,f,(,-x,),=,(,-x,),3,-,2(,-x,),=-x,3,+,2,x=-f,(,x,),f,(,x,),=x,3,-,2,x,为奇函数,.,(2),函数,f,(,x,),=-,3,x,6,-x,2,的定义域为,R,f,(,-x,),=-,3(,-x,),6,-,(,-x,),2,=-,3,x,6,-x,2,=f,(,x,),f,(,x,),=-,3,x,6,-x,2,为偶函数,.,(3),f,(,x,),=x,2,+,2,x-,5,的定义域为,R,当,x,R,时,-x,R,f,(,-x,),=,(,-x,),2,+,2(,-x,),-,5,=x,2,-,2,x-,5,可以看出,f,(,-x,),f,(,x,),且,f,(,-x,),-f,(,x,),f,(,x,),=x,2,+,2,x-,5,为非奇非偶函数,.,【点评】判定函数奇偶性的步骤,:,(1),判定函数的定义域,A.,(2),判定,A,是否关于原点对称,.A,是否关于原点对称,是判断一个函数奇偶性的必要条件,若函数定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数,.,只要有一对相反数不同时属于定义域,A,则,A,关于原点不对称,.,如,(4),若,A,关于原点不对称,则函数一定为非奇非偶函数,.,如,(4),(3),观察是否有,f,(,-x,),=-f,(,x,),或,f,(,-x,),=f,(,x,),的成立,.,(4),若,f,(,-x,),=-f,(,x,),则函数为奇函数,;,若,f,(,-x,),=f,(,x,),则函数为偶函数,.,【解】,A,为偶函数,B,为非奇非偶函数,C,为奇函数,D,为非奇非偶函数,.,答案为,C,.,【例,3,】,(1),函数,y=-ax,2,+bx+,5(,a,0),为偶函数充要条件是,.,(2),已知,f,(,x,),=,(,m,2,+m-,6),x,2,+,(,m-,2),x+,(,n+,7),为奇函数,则,m=,n=,.,【例,4,】函数,f(x),是奇函数,且在,x,0,上是增函数且有最大值,6;,函数,g(x),是偶函数,且在,x,0,上是减函数且有最大值,-,5,.,那么当,x,0,时,它们的增减性和最值情况是,(,),A,.,f,(,x,),是减函数最小值为,6,g,(,x,),是增函数最小值为,-,5,B,.,f,(,x,),是增函数最大值为,6,g,(,x,),是增函数最小值为,5,C,.,f,(,x,),是减函数最大值为,-,6,g,(,x,),也是减函数最大值为,5,D,.,f,(,x,),是增函数且最小值为,-,6,g,(,x,),是增函数且最大值为,-,5,【答案】,D,【点评】,(1),若,f,(,x,),为奇函数,则,f,(,x,),在两对称区间上单调性相同,若,f,(,x,),为偶函数,则,f,(,x,),在两对称区间上单调性相反,.,(2),若奇函数在某区间上有最大值,则在对称区间有最小值,且两值相反,;,若偶函数在某区间上有最大值,则在对称区间有最大值,且两值相等,.,【例,5,】已知,f,(,x,),=ax,5,+bx,3,-x+,3,且,f,(2),=,7,求,f,(,-,2),.,【解】令,g,(,x,),=ax,5,+bx,3,-x,则,f,(,x,),=g,(,x,),+,3,f,(2),=g,(2),+,3,f,(2),=,7,f,(2),=g,(2),+,3,g,(2),=f,(2),-,3,=,7,-,3,=,4,g,(,x,),为奇函数,g,(,-,2),=-,4,又,f,(,x,),=g,(,x,),+,3,f,(,-,2),=g,(,-,2),+,3,=-,4,+,3,=-,1,【点评】一般地,当题目已知,f,(,a,),的函数值求,f,(,-a,),的函数值,我们常考虑利用函数的奇偶性解题,;,但这时如果题中给出的是一个非奇非偶函数,就需要我们根据函数表达式去构造一个奇函数或偶函数,如例,5,中,f,(,x,),就是一个非奇非偶函数,这时我们根据函数表达式去构造一个奇函数,g,(,x,),=x,5,+,2,x,3,-x,从而顺利解题,.,【,同步训练,】,【,答案,】,A,【,答案,】,B,【,答案,】,C,【,答案,】,A,4,.,已知函数,f,(,x,),在,-,7,7,上是奇函数,且,f,(2),f,(1),则,(,),A,.f,(,-,1),f,(1),C,.f,(,-,1),f,(,-,2)D,.f,(2),f,(3),f,(,-,2)B,.f,(,-,),f,(,-,2),f,(3),C,.f,(,-,),f,(3),f,(,-,2)D,.f,(,-,),f,(,-,2),f,(3),【,答案,】,C,【,答案,】,D,9,.,已知函数,f,(,x,),、,g,(,x,),都是奇函数,且,F,(,x,),=f,(,x,),+g,(,x,),+,2,在,(0,+,),上有最大值,8,则在,(,-,0),上,F,(,x,),有,(,),A,.,最小值,-,8B,.,最大值,-,8,C,.,最小值,-,6D,.,最小值,-,4,2,或,1,-3,非奇非偶,非奇非偶函数,二、填空题,10,.,已知一次函数,f,(,x,),=x+,(,k,2,-,3,k+,2),是奇函数,则,k,的值是,.,11,.,已知二次函数,f,(,x,),=,(,a-,1),x,2,+,(,a,2,+,2,a-,3),x+,5,为偶函数,则,a,的值为,.,12,.,已知函数,f,(,x,),=x,2,x,-,2,4,则函数的奇偶性,.,13,.,已知,f,(,x,),、,g,(,x,),是定义域相同的两个函数,且,f,(,x,),是奇函数,g,(,x,),是偶函数,则,G,(,x,),=f,(,x,),+g,(,x,),为,.,三、解答题,【证明】,(1),函数的定义域为,R,f,(,-x,),=,4(,-x,),3,-,(,-x,),=-,4,x,3,+x=-f,(,x,),f,(,x,),=,4,x,3,-x,是奇函数,.,15,.,证明下列函数是偶函数,:,(1),f,(,x,),=-x,2,+,1(2),f,(,x,),=,lg,x,2,【证明】,(1),函数的定义域为,R,f,(,-x,),=-,(,-x,),2,+,1,=-x,2,+,1,=f,(,x,),f,(,x,),是偶函数,.,(2),函数的定义域为,A=x|x0,当,xA,时,-xA.,f(-x)=lg(-x)2=lgx2,f(x),是偶函数,.,16,.,已知函数,f,(,x,),=-ax,3,+bx-,1,且,f,(3),=-,6,求,f,(,-,3),.,【解】设,g,(,x,),=-ax,3,+bx,则,f,(,x,),=g,(,x,),-,1,f,(3),=g,(3),-,1,=-,6,g,(3),=-,5,又,g,(,x,),是奇函数,g,(,-,3),=,5,f,(,-,3),=g,(,-,3),-,1,=,4,17,.,已知函数,f,(,x,),=ax,5,-bx+,1,且,f,(3),=-,7,试求,f,(,-,3),.,【解】设,g,(,x,),=ax,5,-bx,则,f,(,x,),=g,(,x,),+,1,f,(3),=g,(3),+,1,=-,7,g,(3),=-,8,又,g,(,x,),是奇函数,g,(,-,3),=,8,f,(,-,3),=g,(,-,3),+,1,=,9,.,
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