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,考纲要求,-,*,-,知识梳理,-,*,-,双击自测,-,*,-,核心考点,-,*,-,学科素养,-,*,-,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,8.5,垂直关系,考纲要求,:1,.,以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理,.,2,.,能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题,.,2,1,.,直线与平面垂直,(1),直线和平面垂直的定义,如果一条直线和一个平面内的,任何,一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直,.,3,(2),判定定理与性质定理,4,2,.,直线与平面的夹角,平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角,角的范围是,_,.,3,.,二面角的有关概念,(1),二面角,:,从一条直线出发的,两个半平面,所组成的图形叫作二面角,.,(2),二面角的平面角,:,以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作与棱,垂直,的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,.,5,4,.,平面与平面垂直,(1),平面与平面垂直的定义,:,两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,.,6,(2),判定定理与性质定理,7,1,2,3,4,5,1,.,下列结论正确的打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),已知直线,a,b,c,;,若,a,b,b,c,则,a,c.,(,),(2),直线,l,与平面,内的无数条直线都垂直,则,l,.,(,),(3),设,m,n,是两条不同的直线,是一个平面,若,m,n,m,则,n,.,(,),(4),若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面,.,(,),(5),若平面,内的一条直线垂直于平面,内的无数条直线,则,.,(,),8,1,2,3,4,5,2,.,如图,O,为正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的底面,ABCD,的中心,则下列直线中与,B,1,O,垂直的是,(,),A.,A,1,D,B.,AA,1,C.,A,1,D,1,D.,A,1,C,1,答案,解析,解析,关闭,由题易知,A,1,C,1,平面,BB,1,D,1,D,又,OB,1,平面,DD,1,B,1,B,A,1,C,1,B,1,O.,答案,解析,关闭,D,9,1,2,3,4,5,3,.,(,教材习题改编,P,69,练习,),将图,1,中的等腰直角三角形,ABC,沿斜边,BC,的中线折起得到空间四面体,A-BCD,(,如图,2),则在空间四面体,A-BCD,中,AD,与,BC,的位置关系是,(,),A.,相交且垂直,B.,相交但不垂直,C.,异面且垂直,D.,异面但不垂直,答案,解析,解析,关闭,在题图,1,中的等腰直角三角形,ABC,中,斜边上的中线,AD,就是斜边上的高,则,AD,BC,翻折后如题图,2,AD,与,BC,变成异面直线,而原线段,BC,变成两条线段,BD,CD,这两条线段与,AD,垂直,即,AD,BD,AD,CD,故,AD,平面,BCD,所以,AD,BC.,答案,解析,关闭,C,10,1,2,3,4,5,4,.P,为,ABC,所在平面外一点,O,为,P,在平面,ABC,内的射影,.,(1),若,P,到,ABC,三边距离相等,且,O,在,ABC,的内部,则,O,是,ABC,的,心,;,(2),若,PA,BC,PB,AC,则,O,是,ABC,的,心,;,(3),若,PA,PB,PC,与底面所成的角相等,则,O,是,ABC,的,心,.,答案,解析,解析,关闭,(1),P,到,ABC,三边距离相等,且,O,在,ABC,的内部,可知,O,到,ABC,三边距离相等,即,O,是,ABC,的内心,;(2),由,PO,平面,ABC,且,BC,平面,ABC,得,PO,BC,又,PA,BC,PO,与,PA,是平面,POA,内两条相交直线,所以,BC,平面,POA,从而,BC,AO.,同理,AC,BO,所以,O,是,ABC,的垂心,;(3),由,PA,PB,PC,与底面所成的角相等,易得,Rt,POA,Rt,POB,Rt,POC,从而,OA=OB=OC,所以,O,是,ABC,的外心,.,答案,解析,关闭,(1),内,(2),垂,(3),外,11,1,2,3,4,5,5,.,如图,PA,O,所在平面,AB,是,O,的直径,C,是,O,上一点,AE,PC,AF,PB,给出下列结论,:,AE,BC,;,EF,PB,;,AF,BC,;,AE,平面,PBC,其中真命题的序号是,.,答案,解析,解析,关闭,因为,AE,平面,PAC,BC,AC,BC,PA,所以,AE,BC,故,正确,;,因为,AE,PC,AE,BC,PB,平面,PBC,所以,AE,PB,又,AF,PB,EF,平面,AEF,所以,EF,PB,故,正确,;,因为,AF,PB,若,AF,BC,则,AF,平面,PBC,则,AF,AE,与已知矛盾,故,错误,;,由,可知,正确,.,答案,解析,关闭,12,1,2,3,4,5,自测点评,1,.,在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异面、相交等,.,2,.,使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为,“,如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面,”,.,3,.,判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况,.,13,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,考点,1,直线与平面垂直的判定与性质,例,1,如图,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,BAC=,90,AB=AC=,2,A,1,A=,4,A,1,在底面,ABC,的射影为,BC,的中点,D,是,B,1,C,1,的中点,.,证明,:,A,1,D,平面,A,1,BC.,14,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,证明,:,(1),设,E,为,BC,的中点,由题意得,A,1,E,平面,ABC,所以,A,1,E,AE.,因为,AB=AC,所以,AE,BC.,故,AE,平面,A,1,BC.,由,D,E,分别为,B,1,C,1,BC,的中点,得,DE,B,1,B,且,DE=B,1,B,从而,DE,A,1,A,且,DE=A,1,A,所以,AA,1,DE,为平行四边形,.,于是,A,1,D,AE.,又因为,AE,平面,A,1,BC,所以,A,1,D,平面,A,1,BC.,15,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,思考,:,证明线面垂直的常用方法有哪些,?,解题心得,:,1,.,证明线面垂直的方法,:,一是线面垂直的判定定理,;,二是利用面面垂直的性质定理,;,三是平行线法,(,若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,),.,2,.,解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化,;,另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形,(,或给出线段长度,经计算满足勾股定理,),、直角梯形等等,.,16,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,对点训练,1,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,为棱,C,1,D,1,的中点,F,为棱,BC,的中点,.,(1),求证,:,直线,AE,直线,DA,1,;,(2),在线段,AA,1,上求一点,G,使得直线,AE,平面,DFG.,17,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,(1),证明,:,连接,AD,1,BC,1,.,由正方体的性质可知,DA,1,AD,1,DA,1,AB,又,AB,AD,1,=A,DA,1,平面,ABC,1,D,1,.,AE,平面,ABC,1,D,1,DA,1,AE.,(2),解,:,所求,G,点即为,A,1,点,证明如下,:,由,(1),可知,AE,DA,1,取,CD,的中点,H,连接,AH,EH,由,DF,AH,DF,EH,AH,EH=H,可得,DF,平面,AHE.,AE,平面,AHE,DF,AE.,又,DF,A,1,D=D,AE,平面,DFA,1,即,AE,平面,DFG.,18,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,考点,2,平面与平面垂直的判定与性质,例,2,如图,直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,的底面是边长为,2,的正三角形,E,F,分别是,BC,CC,1,的中点,.,证明,:,平面,AEF,平面,B,1,BCC,1,;,证明,:,因为三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,是直三棱柱,所以,AE,BB,1,.,又,E,是正三角形,ABC,的边,BC,的中点,所以,AE,BC.,因此,AE,平面,B,1,BCC,1,.,而,AE,平面,AEF,所以,平面,AEF,平面,B,1,BCC,1,.,19,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,思考,:,证明面面垂直的常用方法有哪些,?,解题心得,:,1,.,两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形,.,2,.,由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直,.,3,.,平面和平面垂直的判定定理的两个条件,:,l,l,缺一不可,.,20,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,对点训练,2,如图,四边形,ABCD,为菱形,G,为,AC,与,BD,的交点,BE,平面,ABCD.,(1),证明,:,平面,AEC,平面,BED,;,(2),若,ABC=,120,AE,EC,三棱锥,E-ACD,的体积为,求该三棱锥的侧面积,.,21,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,(1),证明,:,因为四边形,ABCD,为菱形,所以,AC,BD.,因为,BE,平面,ABCD,所以,AC,BE.,故,AC,平面,BED.,又,AC,平面,AEC,所以平面,AEC,平面,BED.,(2),解,:,设,AB=x,在菱形,ABCD,中,由,ABC=,120,可得,因为,AE,EC,22,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,23,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,考点,3,平行与垂直的综合问题,(,多维探究,),类型一,探索性问题中的平行与垂直关系,例,3,在如图所示的多面体中,四边形,ABB,1,A,1,和,ACC,1,A,1,都为矩形,.,(1),若,AC,BC,证明,:,直线,BC,平面,ACC,1,A,1,.,(2),设,D,E,分别是线段,BC,CC,1,的中点,在线段,AB,上是否存在一点,M,使直线,DE,平面,A,1,MC,?,请证明你的结论,.,24,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,解,:,(1),因为四边形,ABB,1,A,1,和,ACC,1,A,1,都是矩形,所以,AA,1,AB,AA,1,AC.,因为,AB,AC,为平面,ABC,内两条相交直线,所以,AA,1,平面,ABC.,因为直线,BC,平面,ABC,所以,AA,1,BC.,又由已知,AC,BC,AA,1,AC,为平面,ACC,1,A,1,内两条相交直线,所以,BC,平面,ACC,1,A,1,.,25,考点,1,考点,2,考点,3,知识方法,易错易混,(2),取线段,AB,的中点,M,连接,A,1,M,MC,A,1,C,AC,1,设,O,为,A,1,C,AC,1,的交点,.,由已知,O,为,AC,1,的中点,.,连接,MD,OE,则,MD,OE,分别为,ABC,ACC,1,的中位线,.,所以,MD,AC,OE,AC,因此,MD,OE.,连接,OM,从而四边形,MDEO,为平行四边形,则,DE,MO.,因为直线,DE,平面,A,1,MC,MO,平面,A,1,MC,所以直线,DE,平面,A,1,MC.,即线段,AB,上存在一点,M,(,线段,AB,的中点,),使直线,DE,平面,A,1,MC.,26,考点,1,考点,2,考点,3
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