第三节幂级数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 幂级数,一、函数项级数的一般概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,一、函数项级数的一般概念,1.,定义,:,设,是定义在,上的函数列,则,称为定义在区间,上的,(,函数项,),无穷级数,.,2,.,收敛点与收敛域,如果,数项级数,收敛,则称,为函数项级数,的,收敛点,（发散点）,.,函数项级数,的所有收敛点的全体,称为,收敛域,.,所有发散点的全体称为,发散域,.,注意,函数项级数在某点,x,的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,.,(,发散,),，,（函数项级数的部分和）,余项,当,x,在收敛域上时，,3.,和函数,(,定义域是收敛域,),在收敛域上,函数项级数的和是,的函数,称,为函数项级数的,和函数,.,二、幂级数及其收敛性,1.,定义,形如,的级数称为,幂级数,.,其中,为幂级数系数,.,例如,2.,收敛性,这种情况具有普遍性吗？,（公比为,x,的几何级数）,幂级数在,x,=0,处必收敛,.,收敛域,发散域,发散域,例,定理,1(Abel,定理,),如果级数,在,绝对收敛,;,在满足不等式,的一切,处,发散,.,如果级数,在,处,发散,则它,几何说明,收敛,发散,发散,处,收敛,的一切,则它在满足不等式,处,证明,由,(1),结论，,收敛,而有一点,适合,使级数收敛,则级数当,时应收敛,这与所设矛盾,.,几何说明,收敛域,发散域,发散域,总存在一个正数,R,，使幂级数在,收敛，在,内发散,.,推论,当,时,幂级数可能收敛，,确定的正数,存在,它具有下列性质,:,也不是在整个数轴上都收敛,如果,不是仅在,一点收敛,也可能发散,.,当,时,幂级数绝对收敛,;,当,时,幂级数发散,;,则必有一个完全,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,称为幂级数的,收敛区间,.,问题,如何求幂级数的收敛半径,?,定义,收敛域：,或,或,或,如果幂级数,的所有系数,定理,2,设,(,或,则,(1),当,时,(2),当,时,(3),当,时,收敛半径,规定,证明,（,1,）由比值审敛法,(2),和,(3),为规定,.,求下列幂级数的收敛区间和收敛域,:,例,1,解,该级数收敛,.,该级数发散,.,故收敛域是,因此收敛区间是,（收敛域,收敛区间收敛端点,）,级数只在,处收敛,收敛区间,发散,；,收敛,故收敛域为,(0,1.,解,缺少偶次幂的项,不可直接用公式,例,2,的收敛区间,.,级数收敛，,级数发散,故收敛区间,求幂级数,由比值法，,三、幂级数的运算,1.,代数运算性质,(1),加减法,(其中,(2),乘法,(其中,柯西乘积,(3),除法,(,相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多,),系数,c,n,按乘法的定义求,.,2.,和函数的分析运算性质,:,幂级数,的和函数,在收敛域上,连续,.,(2),幂级数,的和函数,在收敛域上,可积,并可逐项积分,.,（,3,）幂级数,的和函数,在收敛,内可导,并可逐项求导任意次,.,区间,先求收敛域,.,由,得收敛半径,解,求级数,的和函数,.,例,3,收敛域为,两边积分得,设,解,收敛区间,(-1,1),例,4,的和,.,求,常用已知和函数的幂级数,小 结,2.,幂级数的收敛性：,收敛半径,R,的求法,3.,幂级数的运算：,分析运算性质,1.,函数项级数的概念,4.,求幂级数的和函数,思 考 题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定,.,例,它们的收敛半径都是,1,但它们的收敛域各是,作 业,习题,11-3 p.215,1.(1);(3);(7);(8);2.(1);(3).,练 习 题,练习题答案,解,例,4,求幂级数,的和函数,.,