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立体几何中的探索性问题,3,ppt精选,考点一向量法证明平行与垂直,设直线,l,的方向向量为,a,=(,a,1,b,1,c,1,),平面,、,的法向量分别为,=(,a,2,b,2,c,2,),v,=(,a,3,b,3,c,3,).,(1)线面平行,l,a,a,=0,a,1,a,2,+,b,1,b,2,+,c,1,c,2,=0.,(2)线面垂直,l,a,a,=,k,a,1,=,ka,2,b,1,=,kb,2,c,1,=,kc,2,(,k,0).,(3)面面平行,v,=,v,a,2,=,a,3,b,2,=,b,3,c,2,=,c,3,(,0).,(4)面面垂直,v,v,=0,a,2,a,3,+,b,2,b,3,+,c,2,c,3,=0.,典型例题,如图所示,在底面是矩形的四棱锥,P,-,ABCD,中,PA,底面,ABCD,E,F,分别是,PC,PD,的中点,PA,=,AB,=1,BC,=2.,(1)求证:,EF,平面,PAB,;,(2)求证:平面,PAD,平面,PDC,.,证明,以,A,为坐标原点,AB,AD,AP,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴,建立空间,直角坐标系如图所示,则,A,(0,0,0),B,(1,0,0),C,(1,2,0),D,(0,2,0),P,(0,0,1),所以,E,F,=,=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).,(1)因为,=-,所以,即,EF,AB,.,又,AB,平面,PAB,EF,平面,PAB,所以,EF,平面,PAB,.,(2)因为,=(0,0,1)(1,0,0)=0,=(0,2,0)(1,0,0)=0,所以,即,AP,DC,AD,DC,.,又因为,AP,AD,=,A,AP,平面,PAD,AD,平面,PAD,所以,DC,平面,PAD,.因为,DC,平面,PDC,所以平面,PAD,平面,PDC,.,方法归纳,向量法证明平行与垂直的四个步骤,(1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知的垂直关系;,(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所,涉及的点、直线、平面;,(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量,再研究平行、垂直关,系;,(4)根据运算结果解释相关问题.,跟踪集训,在直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,ABC,=90,BC,=2,CC,1,=4,点,E,在线段,BB,1,上,且,EB,1,=1,D,F,G,分别为,CC,1,C,1,B,1,C,1,A,1,的中点.求证:,(1),B,1,D,平面,ABD,;,(2)平面,EGF,平面,ABD,.,则,B,(0,0,0),D,(0,2,2),B,1,(0,0,4),C,1,(0,2,4),设,BA,=,a,(,a,0),则,A,(,a,0,0),所以,=(,a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2),所以,=0,=0+4-4=0,即,B,1,D,BA,B,1,D,BD,.,又,BA,BD,=,B,BA,BD,平面,ABD,因此,B,1,D,平面,ABD,.,证明,(1),以,B,为坐标原点,BA,BC,BB,1,所在的直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴建立,空间直角坐标系,如图所示,(2)由(1),知,E,(0,0,3),G,F,(0,1,4),则,=,=(0,1,1),所以,=0+2-2=0,=0+2-2=0,即,B,1,D,EG,B,1,D,EF,.,又,EG,EF,=,E,EG,EF,平面,EGF,因此,B,1,D,平面,EGF,.,结合(1)可知平面,EGF,平面,ABD,.,考点二利用空间向量求空间角(高频考点),命题点,1.利用空间向量求线线角、线面角、二面角.,2.由空间角的大小求参数值或线段长.,1.向量法求异面直线所成的角,若异面直线,a,b,的方向向量分别为,a,b,所成的角为,则cos,=|cos|=,.,2.向量法求线面所成的角,求出平面的法向量,n,直线的方向向量,a,设线面所成的角为,则sin,=|cos,|=,.,3.向量法求二面角,求出二面角,-,l,-,的两个半平面,与,的法向量,n,1,n,2,若二面角,-,l,-,所成的,角,为锐角,则cos,=|cos|=,;,若二面角,-,l,-,所成的角,为钝角,则cos,=-|cos|=-,.,典型例题,(2017课标全国,19,12分)如图,四棱锥,P,-,ABCD,中,侧面,PAD,为等边三角,形且垂直于底面,ABCD,AB,=,BC,=,AD,BAD,=,ABC,=90,E,是,PD,的中点.,(1)证明:直线,CE,平面,PAB,;,(2)点,M,在棱,PC,上,且直线,BM,与底面,ABCD,所成角为45,求二面角,M,-,AB,-,D,的余弦值.,解析,(1)取,PA,的中点,F,连接,EF,BF,.,因为,E,是,PD,的中点,所以,EF,AD,EF,=,AD,.,由,BAD,=,ABC,=90,得,BC,AD,又,BC,=,AD,所以,EF,BC,四边形,BCEF,是平行四边形,CE,BF,又,BF,平面,PAB,CE,平面,PAB,故,CE,平面,PAB,.,(2)由已知得,BA,AD,以,A,为坐标原点,的方向为,x,轴正方向,|为单,位长,建立如图所示的空间直角坐标系,A,-,xyz,则,A,(0,0,0),B,(1,0,0),C,(1,1,0),P,(0,1,),=(1,0,-,),=(1,0,0).,设,M,(,x,y,z,)(0,x,1),则,=(,x,-1,y,z,),=(,x,y,-1,z,-,).,因为,BM,与底面,ABCD,所成的角为45,而,n,=(0,0,1)是底面,ABCD,的法向量,所以|cos|=sin 45,=,即(,x,-1),2,+,y,2,-,z,2,=0.,又,M,在棱,PC,上,设,=,则,x,=,y,=1,z,=,-,.,由解得,(舍去)或,所以,M,从而,=,.,设,m,=(,x,0,y,0,z,0,)是平面,ABM,的法向量,则,即,所以可取,m,=(0,-,2).,于是cos=,=,.易知所求二面角为锐角.,因此二面角,M,-,AB,-,D,的余弦值为,.,方法归纳,利用空间向量求空间角的一般步骤,(1)建立恰当的空间直角坐标系;,(2)求出相关点的坐标,写出相关向量的坐标;,(3)结合公式进行论证、计算;,(4)转化为几何结论.,跟踪集训,1.(2017江苏,22,10分)如图,在平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AA,1,平面,ABCD,且,AB,=,AD,=2,AA,1,=,BAD,=120,.,(1)求异面直线,A,1,B,与,AC,1,所成角的余弦值;,(2)求二面角,B,-,A,1,D,-,A,的正弦值.,解析,在平面,ABCD,内,过点,A,作,AE,AD,交,BC,于点,E,.,因为,AA,1,平面,ABCD,所以,AA,1,AE,AA,1,AD,.,如图,以,为正交基底建立空间直角坐标系,A,-,xyz,.,因为,AB,=,AD,=2,AA,1,=,BAD,=120,则,A,(0,0,0),B,(,-1,0),D,(0,2,0),E,(,0,0),A,1,(0,0,),C,1,(,1,).,(1),=(,-1,-,),=(,1,),则cos=,=,=-,因此异面直线,A,1,B,与,AC,1,所成角的余弦值为,.,(2)平面,A,1,DA,的一个法向量为,=(,0,0).,设,m,=(,x,y,z,)为平面,BA,1,D,的法向量,又,=(,-1,-,),=(-,3,0),则,即,不妨取,x,=3,则,y,=,z,=2,所以,m,=(3,2)为平面,BA,1,D,的一个法向量,从而cos=,=,=,.,设二面角,B,-,A,1,D,-,A,的大小为,则|cos,|=,.,因为,0,所以sin,=,=,.,因此二面角,B,-,A,1,D,-,A,的正弦值为,.,2.(2017天津,17,13分)如图,在三棱锥,P,-,ABC,中,PA,底面,ABC,BAC,=90,.点,D,E,N,分别为棱,PA,PC,BC,的中点,M,是线段,AD,的中点,PA,=,AC,=4,AB,=2.,(1)求证:,MN,平面,BDE,;,(2)求二面角,C,-,EM,-,N,的正弦值;,(3)已知点,H,在棱,PA,上,且直线,NH,与直线,BE,所成角的余弦值为,求线,段,AH,的长.,解析,如图,以,A,为原点,分别以,方向为,x,轴、,y,轴、,z,轴正方向,建立空间直角坐标系.依题意可得,A,(0,0,0),B,(2,0,0),C,(0,4,0),P,(0,0,4),D,(0,0,2),E,(0,2,2),M,(0,0,1),N,(1,2,0).,(1)证明:,=(0,2,0),=(2,0,-2).设,n,=(,x,y,z,)为平面,BDE,的法向量,则,即,不妨设z=1,可得,n,=(1,0,1).又,=(1,2,-1),可得,n,=0,即,n,.,因为,MN,平面,BDE,所以,MN,平面,BDE,.,(2)易知,n,1,=(1,0,0)为平面,CEM,的一个法向量.,设,n,2,=(,x,y,z,)为平面,EMN,的法向量,则,因为,=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以,不妨设,y,=1,可得,n,2,=(-4,1,-2).,因此有cos=,=-,于是sin=,.,所以,二面角,C,-,EM,-,N,的正弦值为,.,(3)依题意,设,AH,=,h,(0,h,4),则,H,(0,0,h,),进而可得,=(-1,-2,h,),=(-2,2,2).由已知,得|cos|=,=,=,整理得10,h,2,-,21,h,+8=0,解得,h,=,或,h,=,.,所以,线段,AH,的长为,或,.,考点三立体几何中的探索性问题,典型例题,(2017宝鸡质量检测(一)如图,四棱锥,P,-,ABCD,的底面,ABCD,为矩形,PA,底面,ABCD,点,E,是,PD,的中点,点,F,是,PC,的中点.,(1)证明:,PB,平面,AEC,;,(2)若底面,ABCD,为正方形,探究在什么条件下,二面角,C,-,AF,-,D,的大小为6,0,?,解析,易知,AD,AB,AP,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,A,-,xyz,设,AB,=2,a,AD,=2,b,AP,=2,c,则,A,(0,0,0),B,(2,a,0,0),C,(2,a,2,b,0),D,(0,2,b,0),P,(0,0,2,c,).,连接,BD,设,AC,BD,=,O,连接,OE,则,O,(,a,b,0),又,E,是,PD,的中点,所以,E,(0,b,c,).,(1)因为,=(2,a,0,-2,c,),=(,a,0,-,c,),所以,=2,所以,即,PB
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