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*,第二章数 列,2.1,数列的概念与简单表示法,(,一,),1,1.,理解数列及其有关概念,.,2.,理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项,.,3.,对于比较简单的数列，会根据其前,n,项写出它的通项公式,.,学习目标,2,栏目索引,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,当堂检测,自查自纠,3,知识梳理,自主学习,知识点一数列的概念,1.,数列与数列的项,按照一定顺序排列的一列数称为,，数列中的每一个数叫做这个数列的,.,数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第,1,项,(,通常也叫做,项,),，排在第二位的数称为这个数列的第,2,项，,，排在第,n,位的数称为这个数列的第,项,.,2.,数列的表示方式,数列的一般形式可以写成,a,1,，,a,2,，,，,a,n,，,，简记为,.,3.,数列中的项的性质：,(1),确定性；,(2),可重复性；,(3),有序性,.,答案,数列,项,首,n,a,n,4,思考,1,数列的项和它的项数是否相同？,答案,答案,数列的项与它的项数是不同的概念,.,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于,f,(,n,),，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于,f,(,n,),中的,n,.,思考,2,数列,1,2,3,4,5,，数列,5,3,2,4,1,与,1,2,3,4,5,有什么区别？,答案,数列,1,2,3,4,5,和数列,5,3,2,4,1,为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合,1,2,3,4,5,与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性,.,5,知识点二数列的分类,(1),根据数列的项数可以将数列分为两类：,有穷数列,项数,的数列,.,无穷数列,项数,的数列,.,(2),根据,数列的每一项随序号变化的情况分类：,递增数列,从第,2,项起，每一项都,它的前一项的数列；,递减数列,从第,2,项起，每一项都,它的前一项的数列；,常数列,各项,的数列；,摆动数列,从第,2,项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列,.,(3),根据其他原则，还可将数列分为有,(,无,),数列、周期数列等,答案,有限,无限,大于,小于,相等,6,思考,判断正误,(1),数列,1,2,3,4,，,，,2,n,是无穷数列,(,),解析,数列是有穷数列，共有,2,n,个数,.,(2),由所有的自然数构成的数列均为递增数列,(,),解析,“,由自然数构成的数列,”,是否递增，取决于这些自然数排列的顺序，未必全是递增的，如,2,1,3,4,5,并不是递增数列,.,解析答案,7,答案,(1),可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列；,(2),可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列，还可以知道这个数列是递增,(,减,),数列、摆动数列，还是常数列；,(3),可以判断一个数是不是数列中的项,.,知识点三数列的通项公式,如果数列,a,n,的,与,之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的,公式,.,思考,1,数列的通项公式有什么作用？,答案,第,n,项,序号,n,通项,8,思考,2,数列,a,n,的通项公式,a,n,58,16,n,n,2,，则,(,),A.,a,n,是递增数列,B.,a,n,是递减数列,C.,a,n,先增后减，有最大值,D.,a,n,先减后增，有最小值,解析答案,C,解析,易于看出,a,n,是关于,n,的二次函数，对称轴为,n,8,，故,a,n,先增后减，有最大值,.,返回,9,题型探究,重点突破,题型一数列的概念与分类,例,1,(1),下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是,(,),解析答案,解析,A,是递减数列，,B,是摆动数列，,D,是有穷数列，故选,C.,C,10,解析,结合函数的单调性，要证,a,n,递增，则应有,解析答案,反思与感悟,解得,2,a,3,，选,D.,D,11,(1),有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项,.,若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列,.,(2),数列的单调性：若满足,a,n,a,n,1,，则是递减数列；若满足,a,n,a,n,1,，则是常数列；若,a,n,与,a,n,1,的大小不确定时，则是摆动数列,.,反思与感悟,12,跟踪训练,1,已知下列数列：,(1)2 000,2 004,2 008,2 012,；,(6)3,3,3,3,3,3.,其中有穷数列是,_,，无穷数列是,_,，递增数列是,_,，递减数列是,_,，常数列是,_,，摆动数列是,_.(,将正确答案的序号填在横线上,),(1)(6),(2)(3)(4)(5),(1)(2),(3),(6),(4)(5),解析答案,13,题型二观察法写数列的一个通项公式,例,2,根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式,.,解析答案,解,分子均为偶数，分母分别为,1,3,3,5,5,7,7,9,，,是两个相邻奇数的乘积,.,14,解析答案,15,解析答案,反思与感悟,(3),1,2,，,3,4,，,；,解,该数列的前,4,项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故,a,n,(,1),n,n,.,(4)2,22,222,2 222,，,.,16,(1),用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：,先统一项的结构，如都化成分数、根式等,.,分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式,.,对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以,(,1),k,或,(,1),k+1,处理符号,.,对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决,.,反思与感悟,17,(2),熟记一些基本数列的通项公式，如：,数列,1,1,，,1,1 ,的通项公式是,a,n,(,1),n,.,数列,1,2,3,4,，,的通项公式是,a,n,n,.,数列,1,3,5,7,，,的通项公式是,a,n,2,n,1.,数列,2,4,6,8,，,的通项公式是,a,n,2,n,.,数列,1,2,4,8,，,的通项公式是,a,n,2,n,1,.,数列,1,4,9,16,，,的通项公式是,a,n,n,2,.,18,解析答案,跟踪训练,2,已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式,.,(1)1,3,7,15,31,，,；,(2)4,44,444,4 444,，,；,解,观察发现各项分别加上,1,后，数列变为,2,4,8,16,32,，,，新数列的通项为,2,n,，故原数列的通项公式为,a,n,2,n,1.,19,解析答案,解,所给数列有这样几个特点：,符号正、负相间；,整数部分构成奇数列；,分母为从,2,开始的自然数的平方；,分子依次大,1.,综合这些特点写出表达式，再化简即可,.,由所给的几项可得数列的通项公式为：,20,(5)1,2,1,2,1,2,，,.,解析答案,21,解析答案,22,解析答案,n,(,n,2),120,，,n,2,2,n,120,0,，,n,10,或,n,12(,舍,),，,反思与感悟,23,(1),利用数列的通项公式求某项的方法,数列的通项公式给出了第,n,项,a,n,与它的位置序号,n,之间的关系，只要用序号代替公式中的,n,，就可以求出数列的相应项,.,(2),判断某数值是否为该数列的项的方法,先假定它是数列中的第,n,项，然后列出关于,n,的方程,.,若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项,.,反思与感悟,24,解析答案,跟踪训练,3,已知数列,a,n,的通项公式为,a,n,n,2,n,110.,(1)20,是不是,a,n,中的一项？,解,令,a,n,n,2,n,110,20,，,即,n,2,n,90,0,，,(,n,9)(,n,10),0,，,n,10,或,9(,舍,).,20,是数列,a,n,中的一项，且为数列,a,n,中的第,10,项,.,25,解析答案,(2),当,n,取何值时，,a,n,0?,返回,解,令,a,n,n,2,n,110,0,，,即,n,2,n,110,0,，,(,n,11)(,n,10),0,，,n,11,或,n,10(,舍,),，,当,n,11,时，,a,n,0.,26,当堂检测,1,2,3,4,5,1.,下列数列的关系是,(,),(1)1,4,9,16,25;,(2)25,16,9,4,1;,(3)9,4,1,16,25 .,A.,都是同一个数列,B.,都不相同,C.(1) , (2),是同一数列,D.(2) , (3),是同一数列,解析,三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同,.,B,解析答案,6,27,解析,(1) , (2),是无穷数列，,(3) , (4),是有穷数列,.,D,解析答案,1,2,3,4,5,6,28,3.,数列,a,n,满足,a,n,1,a,n,1,，则数列,a,n,是,(,),A.,递增数列,B.,递减数列,C.,常数列,D.,摆动数列,A,解析,a,n,1,a,n,10,，,a,n,为递增数列,.,解析答案,1,2,3,4,5,6,29,解析答案,D,1,2,3,4,5,6,30,解析答案,A.,第,28,项,B.,第,24,项,C.,第,23,项,D.,第,22,项,C,1,2,3,4,5,6,31,解析答案,6.,已知数列,a,n,的前,4,项分别为,2,0,2,0,，,，则下列各式不可以作为数列,a,n,的通项公式的一项是,(,),B,1,2,3,4,5,6,32,课堂小结,1.,与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：,(1),确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的,.,(2),可重复性：数列中的数可以重复,.,(3),有序性：一个数列不仅与构成数列的,“,数,”,有关，而且与这些,“,数,”,的排列次序也有关,.,33,返回,34,本课结束,35,
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