资源描述
,章末复习提升,章末复习提升,知识网络,系统盘点，提炼主干,章末复习提升,要点归纳,整合要点，诠释疑点,章末复习提升,题型研修,突破重点，提升能力,第三章,导数及其,应用,1,知识网络,系统盘点，提炼主干,2,要点归纳,整合要点，诠释疑点,3,题型研修,突破重点，提升能力,章末复习提升,2.,曲线的切线方程,利用导数求曲线过点,P,的切线方程时应注意：,(1),判断,P,点是否在曲线上；,(2),如果曲线,y,f,(,x,),在,P,(,x,0,，,f,(,x,0,),处的切线平行于,y,轴,(,此时导数不存在,),，可得方程为,x,x,0,；,P,点坐标适合切线方程，,P,点处的切线斜率为,f,(,x,0,).,3.,利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便,.,因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键,.,4.,判断函数的单调性,(1),在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；,(2),注意在某一区间内,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0),是函数,f,(,x,),在该区间上为增,(,或减,),函数的充分不必要条件,.,5.,利用导数研究函数的极值要注意,(1),极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的,.,(2),连续函数,f,(,x,),在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小,.,(3),可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点,.,因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号,.,6.,求函数的最大值与最小值,(1),函数的最大值与最小值：在闭区间,a,，,b,上连续的函数,f,(,x,),，在,a,，,b,上必有最大值与最小值；但在开区间,(,a,，,b,),内连续的函数,f,(,x,),不一定有最大值与最小值，例如：,f,(,x,),x,3,，,x,(,1,1).,(2),求函数最值的步骤,一般地，求函数,y,f,(,x,),在,a,，,b,上最大值与最小值的步骤如下：,求函数,y,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内的极值及端点处的函数值,f,(,a,),，,f,(,b,),；,将函数,y,f,(,x,),的各极值与端点处的函数值,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,.,7.,应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型,(,函数关系,),，如果函数在区间内只有一个极值点,x,0,，则,f,(,x,0,),是函数的最值,.,题型一应用导数解决与切线相关的问题,根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题,.,例,1,已知函数,f,(,x,),x,a,ln,x,(,a,R,).,(1),当,a,2,时，求曲线,y,f,(,x,),在点,A,(1,，,f,(1),处的切线方程；,f,(1),1,，,f,(1),1,y,f,(,x,),在点,A,(1,，,f,(1),处的切线方程为,y,1,(,x,1),即,x,y,2,0.,(2),求函数,f,(,x,),的极值,.,当,a,0,时，,f,(,x,)0,，函数,f,(,x,),为,(0,，,),上的增函数，函数,f,(,x,),无极值；,当,a,0,时，由,f,(,x,),0,，解得,x,a;,x,(0,，,a,),时，,f,(,x,)0,f,(,x,),在,x,a,处取得极小值，且极小值为,f,(,a,),a,a,ln,a,，无极大值,.,综上，当,a,0,时，函数,f,(,x,),无极值；当,a,0,时，函数,f,(,x,),在,x,a,处取得极小值,a,a,ln,a,，无极大值,.,跟踪演练,1,点,P,(2,0),是函数,f,(,x,),x,3,ax,与,g,(,x,),bx,2,c,的图象的一个公共点，且两条曲线在点,P,处有相同的切线，求,a,，,b,，,c,的值,.,解,因为点,P,(2,0),是函数,f,(,x,),x,3,ax,与,g,(,x,),bx,2,c,的图象的一个公共点，所以,2,3,2,a,0,4,b,c,0,由,得,a,4.,所以,f,(,x,),x,3,4,x,.,又因为两条曲线在点,P,处有相同的切线，,所以,f,(2),g,(2),，,而由,f,(,x,),3,x,2,4,得到,f,(2),8,，,由,g,(,x,),2,bx,得到,g,(2),4,b,，,所以,8,4,b,，即,b,2,，代入,得到,c,8.,综上所述，,a,4,，,b,2,，,c,8.,题型二应用导数求函数的单调区间,在区间,(,a,，,b,),内，如果,f,(,x,)0,，那么函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内单调递增；在区间,(,a,，,b,),内，如果,f,(,x,)0,，那么函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内单调递减,.,例,2,已知函数,f,(,x,),x,a,(2,ln,x,),，,a,0.,讨论,f,(,x,),的单调性,.,解,由题知，,f,(,x,),的定义域是,(0,，,),，,设,g,(,x,),x,2,ax,2,，二次方程,g,(,x,),0,的判别式,a,2,8.,当,x,变化时，,f,(,x,),、,f,(,x,),的变化情况如下表：,x,(0,，,x,1,),x,1,(,x,1,，,x,2,),x,2,(,x,2,，,),f,(,x,),0,0,f,(,x,),极大值,极小值,跟踪演练,2,求下列函数的单调区间：,(1),f,(,x,),(,x,3)e,x,，,x,(0,，,),；,解,f,(,x,),(,x,3),e,x,(,x,3)(e,x,),(,x,2)e,x,，,令,f,(,x,),0,，解得,x,2,，又,x,(0,，,),，,所以函数的单调增区间,(2,，,),，,函数的单调减区间,(0,2),，,当,a,x,2,，,当,a,0,时，,f,(,x,),3,x,2,0,，,函数,f,(,x,),的单调区间为,(,，,),，即,f,(,x,),在,R,上是递增的,.,a,0,时，函数,f,(,x,),的单调递增区间为,(,，,).,题型三利用导数求函数的极值和最值,1.,利用导数求函数极值的一般步骤,(1),确定函数,f,(,x,),的定义域；,(2),解方程,f,(,x,),0,的根；,(3),检验,f,(,x,),0,的根的两侧,f,(,x,),的符号,.,若左正右负，则,f,(,x,),在此根处取得极大值；,若左负右正，则,f,(,x,),在此根处取得极小值；,否则，此根不是,f,(,x,),的极值点,.,2.,求函数,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上的最大值、最小值的方法与步骤,(1),求,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内的极值；,(2),将,(1),求得的极值与,f,(,a,),、,f,(,b,),相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值,.,特别地，,当,f,(,x,),在,a,，,b,上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；,当,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内只有一个极值点时，若在这一点处,f,(,x,),有极大,(,或极小,),值，则可以断定,f,(,x,),在该点处取得最大,(,最小,),值，,这里,(,a,，,b,),也可以是,(,，,).,因为,f,(,x,),的定义域是,(0,，,),，,所以当,x,(0,2),时，,f,(,x,),0,；,当,x,(2,，,),，,f,(,x,),0,，,所以当,a,4,时，,x,2,是一个极小值点，则,a,4.,(2),求,f,(,x,),的单调区间；,所以当,a,0,时，,f,(,x,),的单调递增区间为,(0,，,).,所以,g,(,x,),在,x,(1,，,),上为增函数，,跟踪演练,3,已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,b,的图象上一点,P,(1,0),，且在点,P,处的切线与直线,3,x,y,0,平行,.,(1),求函数,f,(,x,),的解析式；,解,因为,f,(,x,),3,x,2,2,ax,，曲线在,P,(1,0),处的切线斜率为：,f,(1),3,2,a,，,即,3,2,a,3,，,a,3.,又函数过,(1,0),点，即,2,b,0,，,b,2.,所以,a,3,，,b,2,，,f,(,x,),x,3,3,x,2,2.,(2),求函数,f,(,x,),在区间,0,，,t,(0,t,3),上的最大值和最小值；,解,由,f,(,x,),x,3,3,x,2,2,得，,f,(,x,),3,x,2,6,x,.,由,f,(,x,),0,得，,x,0,或,x,2.,当,0,t,2,时，在区间,(0,，,t,),上,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,0,，,t,上是减函数，所以,f,(,x,),max,f,(0),2,，,f,(,x,),min,f,(,t,),t,3,3,t,2,2.,当,2,t,3,时，当,x,变化时，,f,(,x,),、,f,(,x,),的变化情况如下表：,x,0,(0,2),2,(2,，,t,),t,f,(,x,),0,f,(,x,),2,2,t,3,3,t,2,2,f,(,x,),min,f,(2),2,，,f,(,x,),max,为,f,(0),与,f,(,t,),中较大的一个,.,又,f,(,t,),f,(0),t,3,3,t,2,t,2,(,t,3)0.,所以,f,(,x,),max,f,(0),2.,综上可知，在区间,0,，,t,(0,t,3),上,f,(,x,),max,2,，,(3),在,(1),的结论下，关于,x,的方程,f,(,x,),c,在区间,1,3,上恰有两个相异的实根，求实数,c,的取值范围,.,解,令,g,(,x,),f,(,x,),c,x,3,3,x,2,2,c,，,g,(,x,),3,x,2,6,x,3,x,(,x,2).,在,x,1,2),上，,g,(,x,)0.,g,(,x,),0,在,1,3,上恰有两个相异的实根，,解得,2,c,0.,即,c,的取值范围为,(,2,0.,题型四导数与函数、不等式的综合应用,利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点,.,考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现,.,考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强,.,当,x,变化时，,f,(,x,),、,f,(,x,),的变化情况如下表：,x,(,，,a,),a,(,a,3,a,),3,a,(3,a,，,),f,(,x,),0,0,f,(,x,),极小值,极大值,f,(,x,),在,(,，,a,),和,(3,a,，,),上是减函数，在,(,a,3,a,),上是增函数,.,当,x,a,时，,f,(,x,),取得极小值，,当,x,3,a,时，,f,(,x,),取得极大值，,f,(,x,),极大值,f,(3,a,),b,.,(2),若当,x,a,1,，,a,2,时，恒有,|,f,(,x,)|,a,，试确定,a,的取值范围；,解,f,(,x,),x,2,4,ax,3,a,2,，其对称轴为,x,2,a,.,因为,0,a,1,，所以,2,a,a,1.,所以,f,(,x,),在区间,a,1,，,a,2,上是减函数,.,当,x,a,1,时，,f,(,x,),取得最大值，,f,(,a,1),2,a,1,；,当,x,a,2,时，,f,(,x,),取得最小值，,f,(,a,2),4,a,4.,又因为,0,a,1,，,f,(,x,),0,在,1,3,上恒有两个相异实根，,即,f,(,x,),在,(1,2),，,(2,3),上各有一个实根，,则,f,(,x,),x,2,4.,因为,x,2,1,，所以,f,(,x,),0,，,即函数,f,(,x,),在区间,2,1,上单调递减,.,课堂小结,1.,函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性,(,或极值,),，求参数范围；二是已知函数最值,(,或恒成立,),等性质，求参数范围,.,这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围,.,2.,在解决问题的过程中要处理好等号的问题：,(1),注意定义域；,(2),函数在某区间上递增,(,或递减,),的充要条件是：,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0),，且,f,(,x,),不恒为零；,(3),与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可,.,
展开阅读全文