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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ppt精选,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ppt精选,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第五节,直线、平面垂直的判定及其性质,1,ppt精选,2,ppt精选,【知识梳理】,1.直线与平面垂直,(1)定义:直线,l,与平面内的_一条直线都垂直,就说直线,l,与平面互相垂直.,任意,3,ppt精选,(2)判定定理与性质定理:,文字语言,图形语言,符号语言,判定,定理,一条直线与一个平面,内的_,都垂直,则该直线与此平面垂直,l,性质,定理,垂直于同一个平面的,两条直线_,ab,两条相交直线,平行,4,ppt精选,2.直线和平面所成的角,(1)定义:平面的一条斜线和_所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.,(2)范围: .,它在平面上的射影,5,ppt精选,3.平面与平面垂直,(1)二面角的有关概念:,二面角:从一条直线出发的_所组成的图形叫做,二面角.,二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作_的两条射线,这两条射线所,构成的角叫做二面角的平面角.,二面角的范围:_.,两个半平面,垂直于棱,6,ppt精选,(2)平面和平面垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角,是_,就说这两个平面互相垂直.,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:,文字语言,图形语言,符号语言,判定定理,一个平面过另一个平面的,_,则这两个平面垂直,性质定理,两个平面垂直,则一个平,面内垂直于_的直线,与另一个平面垂直,l,直二面角,垂线,交线,7,ppt精选,【考点自测】,1.(思考)给出下列命题:,直线,l,不可能和两个相交平面都垂直;,当时,直线,l,过内一点且与交线垂直,则,l,;,异面直线所成的角与二面角的取值范围均为,二面角是指两个相交平面构成的图形;,若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.,其中正确的是(),A.B.C.D.,8,ppt精选,【解析】,选D.正确.否则两个平面应平行.,错误.当该点是交线上的点时,l,与不一定垂直.,错误.异面直线所成角的范围是 而二面角的范围是0,.,错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.,错误.若平面平面,则平面内的直线,l,与可平行,可相交,也可在平面内.,9,ppt精选,2.下列条件中,能判定直线,l,平面的是(),A.,l,与平面内的两条直线垂直,B.,l,与平面内无数条直线垂直,C.,l,与平面内的某一条直线垂直,D.,l,与平面内任意一条直线垂直,【解析】,选D.由直线与平面垂直的定义,可知D正确.,10,ppt精选,3.已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六,边形,PA平面ABC.则下列结论不正确的是,(),A.CD平面PAF,B.DF平面PAF,C.CF平面PAB,D.CF平面PAD,11,ppt精选,【解析】,选D.A中,因为CDAF,AF平面PAF,CD平面PAF,所以CD平面PAF成立;,B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DFAF.,又因为PA平面ABCDEF,所以PADF,又因为PAAF=A,所以DF平面PAF成立;,C中,因为CFAB,AB平面PAB,CF平面PAB,所以CF平面PAB;,而D中CF与AD不垂直,故选D.,12,ppt精选,4.直线a平面,b,则a与b的位置关系是,.,【解析】,由b可得b平行于内的一条直线,设为b.因为a,所以ab,从而ab,但a与b可能相交,也可能异面.,答案:,垂直(相交垂直或异面垂直),13,ppt精选,5.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,DAB=,.,【解析】,如图,取AC的中点O,连接DO,BO,BD,则DOAC,BOAC,故DOB为二面角的平面,角,从而DOB=90.设正方形边长为1,则,DO=BO= ,所以DB=1,故ADB为等边三角形,所以DAB=60.,答案:,60,14,ppt精选,考点1,有关垂直关系的判断,【典例1】,(1)(2013新课标全国卷)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线,l,满足,l,m,l,n,l,l,则(),A.且,l,B.且,l,C.与相交,且交线垂直于,l,D.与相交,且交线平行于,l,15,ppt精选,(2)(2013广东高考)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是(),A.若,m,n,则mn,B.若,m,n,则mn,C.若mn,m,n,则,D.若m,mn,n,则,16,ppt精选,【解题视点】,(1)作出与直线m,n平行的直线,证明平面,相交,然后可证交线与直线,l,平行.,(2)利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断.,17,ppt精选,【规范解答】,(1)选D.因为m,n为异面直线,m平面,n平面.所以,相交(否则m,n为平行直线).,设=,l,则,l,m,l,n,过空间一点P作mm,nn.,则m,n可确定平面.,由题意知:,l,l,.,所以,l,l,.,18,ppt精选,(2)选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项D,m,mn,则n;又因为n,则内存在与n平行的直线,l,因为n,则,l,由于,l,l,所以.,19,ppt精选,【规律方法】,空间垂直关系的判断方法,(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断.,(2)寻找反例,只要存在反例,那么结论就不正确.,(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.,20,ppt精选,【变式训练】,(2014衡水模拟)设,l,是直线,是两个不同的平面(),A.若,l,l,则 B.若,l,l,则,C.若,l,则,l, D.若,l,则,l,【解析】,选B.对于A,若,l,l,则,可能相交;对于B,若,l,则平面内必存在一直线m与,l,平行,则m,又m,故.选项C,l,可能平行于或,l,在平面内;选项D,l,还可能平行于或在平面内.,21,ppt精选,【加固训练】,1.如果直线,l,m与平面,满足:=,l,l,m且m,那么必有(),A.且,l,m,B.且,C.且m D.m且,l,m,【解析】,选A.m且m,则;m且,l,则,l,m.,22,ppt精选,2.(2013杭州模拟)设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是(),A.ac,bc B.,a,b,C.a,b D.a,b,【解析】,选C.对于选项C,在平面内存在cb,因为a,所以ac,故ab;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出ab.,23,ppt精选,考点2,线面垂直的判定和性质,【考情】,线面垂直的判定和性质的应用是高考立体几何的命题热点.试题以解答题形式出现,主要考查利用判定定理及性质定理证明线线垂直、线面垂直等问题,常与线面平行、线线平行问题、体积问题交汇出现,试题难度不大,易得分.,高频考点通关,24,ppt精选,【典例2】,(1)已知ABCD为矩形,PA平面ABCD,下列判断中正确的是(),A.ABPC B.AC平面PBD,C.BC平面PAB D.平面PBC平面PDC,25,ppt精选,(2)(2013重庆高考)如图,四棱锥P-ABCD,中,PA底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2,ACB=ACD=,求证:BD平面PAC;,若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.,26,ppt精选,【解题视点】,(1)画出图形,结合图形判断选项的正误.,(2)由BC=CD及ACB=ACD证明BDAC,再由PA底面ABCD,得PABD.直接利用线面垂直的判定定理证明;,利用V,P-BCD,= S,BCD,PA,V,F-BCD,= S,BCD, PA,V,P-BDF,=,V,P-BCD,-V,F-BCD,可求解三棱锥的体积.,27,ppt精选,【规范解答】,(1)选C.由题意画出几何体,的图形,如图,显然ABPC不正确;AC不垂,直PO,所以AC平面PBD不正确;BCAB,PA平面ABCD,PABC,PAAB=A,所以BC平面PAB,正确.,28,ppt精选,(2)因BC=CD,即BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC.,因为PA底面ABCD,所以PABD.,从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.,29,ppt精选,三棱锥P-BCD的底面BCD的面积,由PA底面ABCD，得,由PF=7FC,得三棱锥F -BCD的高为 故,所以,30,ppt精选,【通关锦囊】,重点题型,破解策略,证明线面,垂直,利用线面垂直的判定定理;利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”;利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”;利用面面垂直的性质定理,31,ppt精选,重点题型,破解策略,证明线线,垂直,线线垂直的证明,可以有许多途径,可利用某一平面上平面几何的关系、线面垂直的性质及面面垂直的性质等,具体方法有:,计算两直线所成的角为90(包括平面角与异面直线所成的角);,线面垂直的性质(若a,b,则ab);,a,b,=0,a,b,求体积,问题,先确定几何体的底面积,利用线面垂直确定几何体的高,32,ppt精选,【特别提醒】,在证明线面垂直时,一定要严格按照定理要求,不要忽视“平面中的两条相交直线”这个条件.,33,ppt精选,【关注题型】,探索性问题,解决探索性问题一般有两种思路:一是由特殊情形正面探索,但准确率不高;二是逆推,可由结论出发,执果索因,步步逆推.具体题目采用哪一种方法,应视题目中给出条件而定,34,ppt精选,【通关题组】,1.(2014台州模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,点M在边CD上,点F在边AB上,且DFAM,垂足为E,若将ADM沿AM折起,使点D位于D位置,连接DB,DC得四棱锥D-ABCM.,35,ppt精选,(1)求证:AMDF.,(2)若DEF= ,直线DF与平面ABCM所成角的大小为 ,求直线AD与平面ABCM所成角的正弦值.,36,ppt精选,【解析】,(1)因为AMDE,AMEF,又因为DE,EF是平面DEF内两条相交直线,所以AM平面DEF,所以AMDF.,(2)由(1)知AM平面DEF,所以平面DEF平面ABCM,且DEF= ,所以过D作平面ABCM的垂线,垂足H必在EF上,所以DFE是DF与平面ABCM所成角.,因为DEF= ,且DFE= ,所以DEF是等边三角形,37,ppt精选,因为DE=EF即DE=EF,所以DAF是等腰直角三角形,设AD=2,所以AF=2,且EF= ,所以四棱锥D-ABCM的高DH= .,设直线AD与平面ABCM所成角为,则sin=,所以直线AD与平面ABCM所成角的正弦值为,38,ppt精选,2.(2013广东高考)如图，在边长为1的等边ABC中，D,E分,别是AB,AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，,将ABF沿AF折起，得到如图所示的三棱锥A-BCF，其中,(1)证明：DE平面BCF.,(2)证明：CF平面ABF.,(3)当 时，求三棱锥F-DEG的体积V,F-DEG,39,ppt精选,【解析】,(1)在等边ABC中，AD=AE，所以 在折叠后,的三棱锥A-BCF中也成立，所以DEBC.因为DE,平面BCF，,BC平面BCF，所以DE平面BCF.,(2)在等边ABC中，F是BC的中点，,所以AFFC，,因为在三棱锥A-BCF中，,所以BC,2,=BF,2,+CF,2,CFBF.,因为BFAF=F，所以CF平面ABF.,40,ppt精选,(3)由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG.,41,ppt精选,【加固训练】,1.(2014韶关模拟)已知ABC的三边长分别为AB=5,BC=4,AC=3,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点.,给出下列四个命题:,若PA平面ABC,则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形;,若PM平面ABC,且M是AB边的中点,则有PA=PB=PC;,若PC=5,PC平面ABC,则PCM面积的最小值为 ;,42,ppt精选,若PC=5,P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心,则点P,到平面ABC的距离为 .,其中正确命题的序号是,.(把你认为正确命题的序号,都填上),43,ppt精选,【解析】,由题知ACBC,对于,若PA平面ABC,则PABC,又知PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC,因此该三棱锥,P-ABC的四个面均为直角三角形,正确;对于,由已知得M为,ABC的外心,所以MA=MB=MC.因为PM平面ABC,则PMMA,PMMB,PMMC,由三角形全等可知PA=PB=PC,故正确;对于,要使PCM的面积最小,只需CM最短,在RtABC中,(CM),min,44,ppt精选,= ,所以(S,PCM,),min,= 5=6,故错误;对于,设P点在,平面ABC内的射影为O,且O为ABC的内心,由平面几何知识得内,切圆半径为r=1,且OC= ,在RtPOC中,PO=,所以点P到平面ABC的距离为 ,故正确.,答案:,45,ppt精选,2.(2014郑州模拟)在直三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中，ABAA,1,，CAB,(1)证明：CB,1,BA,1,.,(2)已知AB2， 求三棱锥C,1,-ABA,1,的体积,46,ppt精选,【解析】,(1)如图所示，连接AB,1,.,因为三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,是直三棱柱，,CAB,所以AC平面ABB,1,A,1,，,故ACBA,1,.,又因为ABAA,1,，,所以四边形ABB,1,A,1,是正方形，所以BA,1,AB,1,.,又CAAB,1,A，,所以BA,1,平面CAB,1,，故CB,1,BA,1,.,47,ppt精选,(2)因为ABAA,1,2，BC,所以ACA,1,C,1,1.,由(1)知，A,1,C,1,平面ABA,1,，,所以,48,ppt精选,3.如图(1),在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A,1,DE的位置,使,A,1,FCD,如图(2).,49,ppt精选,(1)求证:DE平面A,1,CB.,(2)求证:A,1,FBE.,(3)线段A,1,B上是否存在点Q,使A,1,C平面DEQ?说明理由.,【解析】,(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DEBC.,又因为DE平面A,1,CB,BC平面A,1,CB,所以DE平面A,1,CB.,50,ppt精选,(2)由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.,所以DEA,1,D,DECD,A,1,DCD=D,所以DE平面A,1,DC.,而A,1,F平面A,1,DC,所以DEA,1,F.,又因为A,1,FCD,且DECD=D,所以A,1,F平面BCDE,所以A,1,FBE.,51,ppt精选,(3)线段A,1,B上存在点Q,使A,1,C平面DEQ.,理由如下:如图,分别取A,1,C,A,1,B的中点P,Q,则PQBC.,又因为DEBC,所以DEPQ.,所以平面DEQ即为平面DEP.,由(2)知,DE平面A,1,DC,所以DEA,1,C.,52,ppt精选,又因为P是等腰三角形DA,1,C底边A,1,C的中点,所以A,1,CDP.又DEDP=D,所以A,1,C平面DEP.从而A,1,C平面DEQ.,故线段A,1,B上存在点Q,使得A,1,C平面DEQ.,53,ppt精选,考点3,面面垂直的判定和性质,【典例3】,(2013山东高考)如图,四棱锥,P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.,(1)求证:CE平面PAD.,(2)求证:平面EFG平面EMN.,54,ppt精选,【解题视点】,(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行,也可利用面面平行来证明线面平行.,(2)本题考查了面面垂直的判定,在平面EMN中找一条直线MN,确定MN平面EFG即可.,55,ppt精选,【规范解答】,(1)方法一:取PA的中点H,连接EH,DH.,因为E为PB的中点,所以,EHAB,EH= AB.,又,ABCD,CD= AB,所以EHCD,EH=CD.,因此四边形DCEH是平行四边形.,所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,因此CE平面PAD .,56,ppt精选,方法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF= AB.又CD = AB,所以AF=CD.,又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形.,因此CFAD.,又CF平面PAD,AD平面PAD,所以CF平面PAD.,因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又EF平面PAD,AP平面PAD,所以EF平面PAD.因为CFEF=F,故平面CEF平面PAD.,又CE平面CEF,所以CE平面PAD.,57,ppt精选,(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA .,所以ABEF .,同理可证ABFG.,又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG,58,ppt精选,又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD .又ABCD,所以MNAB,因此MN平面EFG,又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.,59,ppt精选,【易错警示】,关注面面垂直的条件,本例中(2)证明平面EFG平面EMN,要关注平面与平面垂直判定定理的两个条件,即MN平面EFG,又MN平面EMN,避免步骤不全导致失误.,60,ppt精选,【互动探究】,若本例条件不变,证明:平面EMN平面PAC.,【证明】,因为E,F为PB,AB的中点,则EFPA,又因为G为BC的中点,则GFAC,而GFEF=F,PACA=A,所以平面EFG平面PAC.,因为平面EFG平面EMN.,所以平面EMN平面PAC.,61,ppt精选,【规律方法】,面面垂直的证明方法,(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.,(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.,62,ppt精选,提醒:,两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.,63,ppt精选,【变式训练】,在如图所示的几何体中,四边形,ABCD是正方形,MA平面ABCD,PDMA,E,G,F,分别为MB,PB,PC的中点,且AD=PD=2MA.,(1)求证:平面EFG平面PDC.,(2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.,64,ppt精选,【解析】,(1)由已知MA平面ABCD,PDMA,得PD平面ABCD.,又BC平面ABCD,所以PDBC.,因为四边形ABCD为正方形,所以BCDC.,又PDDC=D,因此BC平面PDC.,在PBC中,因为G,F分别为PB,PC的中点,所以GFBC,因此GF平面PDC.,又GF平面EFG,所以平面EFG平面PDC.,65,ppt精选,(2)因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，,则PDAD2，,所以,由于DA平面MAB，且PDMA，,所以DA即为点P到平面MAB的距离，,所以V,P-MAB,V,P-ABCD,14.,66,ppt精选,【加固训练】,1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD,平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别,是AP,AD的中点.,求证:(1)直线EF平面PCD.,(2)平面BEF平面PAD.,67,ppt精选,【证明】,(1)在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EFPD.,又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.,68,ppt精选,(2)连接BD.因为AB=AD,BAD=60,所以ABD为正三角形.,因为F是AD的中点,所以BFAD.,因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.,又因为BF平面BEF.,所以平面BEF平面PAD.,69,ppt精选,2.如图,在ABC中,ABC=45,BAC=90,AD是BC上的高,沿AD把ABD折起,使BDC=90.,(1)证明:平面ADB平面BDC.,(2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.,70,ppt精选,【解析】,(1)因为折起前AD是BC边上的高,所以当ABD折起后,ADDC,ADDB,又DBDC=D,所以AD平面BDC,又因为AD平面ADB.,所以平面ADB平面BDC.,71,ppt精选,(2)由(1)知，DADB,DBDC,DCDA,因为DB=DA=DC=1，,所以AB=BC=CA= ABC=60，,72,ppt精选,3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD,为菱形,BAD=60,Q为AD的中点.,(1)若PA=PD,求证:平面PQB平面PAD.,(2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的,值,使PA平面MQB.,73,ppt精选,【解析】,(1)如图,连接BD,因为四边形ABCD为菱形,BAD=60,所以ABD为正三角形.,又因为Q为AD的中点,所以ADBQ.,因为PA =PD,Q为AD的中点,所以ADPQ.,又BQPQ=Q,所以AD平面PQB.,又AD平面PAD,所以平面PQB平面PAD.,74,ppt精选,(2)当 时，PA平面MQB.,连接AC交BQ于点N，连接MN.,由AQBC可得，ANQCNB，所以,因为PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN，,所以PAMN.,所以 即 所以,75,ppt精选,考点4,线面角与二面角的求法,【典例4】,(2014宁波模拟)如图所示,三棱,柱ABC-A,1,B,1,C,1,的底面是边长为2的正三角形且,侧棱垂直于底面,侧棱长是 ,D是AC的中点.,(1)求证:B,1,C平面A,1,BD.,(2)求二面角A,1,-BD-A的大小.,(3)求直线AB,1,与平面A,1,BD所成的角的正弦值.,76,ppt精选,【解题视点】,(1)三棱柱的侧面是矩形,对角线A,1,B,AB,1,的交点与点D的连线平行于B,1,C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形,D为AC的中点,由侧面与底面垂直,可以得到BD平面ACC,1,A,1,BD A,1,D,A,1,DA就是二面角的平面角.(3)根据(2)得平面A,1,BD平面A,1,AD,只要过点A作A,1,D的垂线即可得到点A在平面A,1,BD内的射影,即得到了线面角.,77,ppt精选,【规范解答】,(1)设AB,1,与A,1,B相交于点P,连接PD,则P为AB,1,的中点,因为D为AC的中点,所以PDB,1,C.,又因为PD平面A,1,BD,B,1,C平面A,1,BD,所以B,1,C平面A,1,BD.,78,ppt精选,(2)由题知,平面ACC,1,A,1,平面ABC,平面ACC,1,A,1,平面ABC=AC,又因为BDAC,则BD平面ACC,1,A,1,所以BDA,1,D,所以A,1,DA就是二面角A,1,-BD-A的平面角.,因为,则,即二面角A,1,-BD-A的大小是,79,ppt精选,(3)作AMA,1,D于M.由(2)，易知BD平面ACC,1,A,1,，,因为AM平面ACC,1,A,1,，所以BDAM.,因为A,1,DBD=D，所以AM平面A,1,BD.,连接MP，易知APM就是直线AB,1,与平面A,1,BD所成的角.,因为AA,1,= ，AD=1，所以在RtAA,1,D中，A,1,DA= ，,所以AM=1sin 60=,所以sinAPM= 所以直线AB,1,与平面A,1,BD所成,的角的正弦值为 .,80,ppt精选,【规律方法】,1.求空间角的三个步骤,(1)找:根据图形找出相关的线面角或二面角.,(2)证:证明找出的角即为所求的角.,(3)算:根据题目中的数据,通过解三角形求出所求角.,2.空间角的求法,(1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,作出垂线,确定垂足.,81,ppt精选,(2)二面角的求法:,直接法:根据概念直接作,如二面角的棱是两,个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点;,垂线法:如图,过二面角的一个半平面内一点,A作另一个半平面的垂线,再从垂足B向二面角,的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于,这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,ACB就是二面角的平面角或其补角.,82,ppt精选,【变式训练】,(2014海口模拟)如图,在,四棱锥P-ABCD中,ADBC,ABAD,ABPA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB平面ABCD,(1)求证:平面PED平面PAC.,(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角,A-PC-D的平面角的余弦值.,83,ppt精选,【解析】,(1)如图所示,取AD的中点F,连接BF,则FD BE,所以四边形FBED是平行四边形,所以,FBED.,因为RtBAF和RtCBA中,所以RtBAFRtCBA,易知BFAC,所以EDAC.,84,ppt精选,又因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,ABPA,所以PA平面ABCD,ED平面ABCD,所以PAED,因为PAAC=A,所以ED平面PAC,因为ED平面PED,所以平面PED平面PAC.,85,ppt精选,(2)设ED交AC于G，连接PG，,则EPG是直线PE与平面PAC所成的角.设BE=1，,由AGDCGE，知,因为AB=AD=2,所以,因为sinEPG=,所以PE=3,AE= ,PA=,作GHPC于H，连接HD，由PCDE,PC平面HDG，,所以PCHD，所以GHD是二面角A-PC-D的平面角.,86,ppt精选,因为PCAGCH,所以,则,得cosGHD= ,即二面角A-PC-D的平面角的余弦值为,87,ppt精选,【加固训练】,1.正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,BB,1,与平面ACD,1,所成角的余弦值为,(),88,ppt精选,【解析】,选D.BB,1,与平面ACD,1,所成的角等于DD,1,与平面ACD,1,所,成的角,在三棱锥D-ACD,1,中,由三条侧棱两两垂直得点D在底,面ACD,1,内的射影为等边三角形ACD,1,的中心H,连接D,1,H,DH,则,DD,1,H为DD,1,与平面ACD,1,所成的角,设正方体棱长为a,则,cosDD,1,H=,89,ppt精选,2.在三棱锥P-ABC中,PC,AC,BC两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E,F,G分别是AB,AC,AP的,中点.,(1)证明:平面GFE平面PCB.,(2)求二面角B-AP-C的正切值.,90,ppt精选,【解析】,(1)因为G,E,F分别为AP,AB,AC的中点,所以GFPC,EFBC,又GF平面PBC,EF平面PBC,PC平面PBC,BC平面PBC,所以GF平面PBC,EF平面PBC,又GFEF=F,所以平面GFE平面PCB.,91,ppt精选,(2)过C作CHAP交AP于点H,连接BH,因为PC,AC,BC两两垂直,所以BC平面APC,所以BCAP,又CHBC=C,所以AP平面BHC,所以APBH,所以CHB就是二面角B-AP-C的平面角.,在RtPAC中,CH=,在RtBHC中,tanCHB=,故二面角B-AP-C的正切值为 .,92,ppt精选,3.(2014哈尔滨模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD,ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC，CD的中点，DE=EC.,(1)求证：平面ABE平面BEF.,(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成,锐二面角 求a的取值范围.,93,ppt精选,【解析】,(1)因为ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点，,所以四边形ABFD为矩形，ABBF.,因为DE=EC，所以DCEF,又ABCD,所以ABEF.,因为BFEF=F,所以AB平面BEF，AB平面ABE，,所以平面ABE平面BEF.,94,ppt精选,(2)连AC交BF于点K,连接AF,四边,形ABCF为平行四边形,所以K为AC,的中点,连EK,则EKPA,EK平,面ABCD,BDEK,作KHBD于H点,所以BD平面EKH,连EH,则BDEH,EHK即为.,在,RtEHK,中，,解得,95,ppt精选,【规范解答9】,垂直关系的证明与求解,【典例】,(14分)(2013浙江高考改编),如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD= ,PA= ,ABC=120,G为线段PC上的点.,(1)证明:BD平面PAC.,(2)若G为PC的中点,求DG的长.,(3)若G满足PC平面BGD,求 的值.,96,ppt精选,【审题】,分析信息,形成思路,信息提取,思路分析,(1),AB=BC,AD=CD,PA平面ABCD,设AC,BD的交点为O,由线段相等可知BD是线段AC的中垂线,先证明BDAC,再利用PA平面ABCD证明PABD,(2),G是PC的中点,PA= ,ABC=120,连接OG,利用解三角形求出相关线段长度,(3),PC平面BGD,利用线面垂直的性质,确定垂直关系,再利用相似三角形求解,97,ppt精选,【解题】,规范步骤,水到渠成,(1)设点O为AC，BD的交点，,由AB=BC,AD=CD，得BD是线段AC的中垂线.,所以O为AC的中点，BDAC.,2分,又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，,所以PABD.,又,ACPA=A,，,所以BD平面PAC.,4分,98,ppt精选,(2)连接OG，由(1)可知,OD平面PAC,，因为OG平面PAC,所以ODOG,由题意得,在ABC中，AC=,6分,所以,在RtOCD中，,在,RtOGD,中，,9,分,99,ppt精选,(3),因为,PC,平面,BGD,，,OG,平面,BGD,，,所以,PCOG,，,在,RtPAC,中，得,因为,GOCAPC,，所以,12,分,所以,从而,所以,14分,100,ppt精选,【点题】,失分警示,规避误区,失分点,防范措施,处忽略两条相交直线导致步骤不全而失分,利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,要注意证明的规范性,一定要写清一条直线垂直于平面内的两条相交直线,处不能利用垂直关系,确定OD平面APC,得出OGD为直角三角形导致失分,利用垂直关系求解线段长度及比值时,一般要利用垂直关系或三角形相似求解,求解时一定要注意线段的对应关系,以免出错,处不能利用垂直关系确定相似三角形及比例关系,求出CG的长度导致失分,101,ppt精选,【变题】,变式训练,能力迁移,如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且DF= AB,PH为PAD中AD边上的高.,(1)证明:PH平面ABCD.,(2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.,(3)证明:EF平面PAB.,102,ppt精选,【解析】,(1)AB平面PAD，PH平面PADPHAB，,又PHAD,AD，AB平面ABCD，,ADAB=APH平面ABCD.,(2)E是PB的中点点E到平面BCF的距离,所以三棱锥E-BCF的体积,103,ppt精选,(3)取PA的中点为G，连接DG,EG.,PD=ADDGPA，,又AB平面PAD，AB平面PAB平面PAD平面PAB，,又平面PAD平面PAB=PA，,DG平面PADDG平面PAB，,点E,G是棱PB,PA的中点EG AB，,又DF ABEG DFDGEF，,得：EF平面PAB.,104,ppt精选,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，,如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！,
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