数值代数 第二章第一节

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章 线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析,求解,第一章讨论如何解线性方程组。,计算量，直接法的诱惑力,如果线性方程组没有特殊的结构，应该选用何种数值方法？,推荐选用这种方法的原因是什么？,实际计算中，数据有误差，计算环境也是有限精度的，此时这些数值方法求处的数值解精度如何？,2.1,向量和矩阵范数,/* Norms of Vectors and Matrices */,为了误差的度量,向量范数,/* vector norms */,定义,R,n,空间的,向量范数,| |,对任意 满足下列条件：,（,正定性,/* positive definite */,),对,任意,(,齐次性,/* homogeneous */,),（,三角不等式,/* triangle inequality */,),范数是一个,n,元连续函数（,证明一下,）,p,n,i,p,i,p,x,x,/,1,1,|,|,|,|,=,=,v,函数,是一种范数吗？,常用向量范数：,=,=,n,i,i,x,x,1,1,|,|,|,|,v,=,=,n,i,i,x,x,1,2,2,|,|,|,|,v,p,n,i,p,i,p,x,x,/,1,1,|,|,|,|,=,=,v,|,|,max,|,|,1,i,n,i,x,x,=,v,证明一个量是,n,维向量空间的一个范数需要利用一些著名的不等式,Cauchy-Schwartz,不等式,Holder,不等式,范数的一个应用,-,讨论向量序列的收敛性,何谓向量序列？,如何定义向量序列收敛比较合理？,2-,范数重要性质：正交变换长度不变，向量间夹角不变,1 Norms of Vectors and Matrices Vector Norms,定义,向量序列,收敛,于向量 是指对每一个,1,i,n,都有 。,可以理解为,定理,R,n,上一切范数都等价。,可以理解为对任何向量范数都成立。,范数等价定义,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,矩阵范数,/* matrix norms */,定义,R,m,n,空间的,矩阵范数,| |,对任意 满足：,（,正定性,/* positive definite */,),对,任意,(,齐次性,/* homogeneous */,),（,三角不等式,/* triangle inequality */,),(4),*,|,AB,|, |,A,| |,B,|,（,相容,/* consistent */,当,m,=,n,时,),In general, if we have,|,AB,|, |,A,|, |,B,|, then,the 3 norms are said to be,consistent,.,Oh havent I had enough,of new concepts? What do I need,the consistency for?,When you have to analyze,the error bound of,AB, imagine you doing it,without a consistent matrix norm,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,常用矩阵范数：,Frobenius,范数,向量,| |,2,的直接推广,如何证明上述定义的非负函数是一个范数？ （验证方法）,问题：矩阵的,F,范数是哪个矩阵的迹？和特征值的关系,矩阵范数的性质,任意两个矩阵范数都是等价的（表达式）,何谓矩阵序列的敛散性？,矩阵序列收敛的充要条件,矩阵范数与向量范数相容性,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,F-,范数相容性：,Frobenius,范数,向量,| |,2,的直接推广,对方阵 以及 有,利用,Cauchy,不等式,可证。,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,算子,范数,/* operator norm */,定理,2.1.3,设,| |,是一种向量范数。若定义,则,上的一个矩阵范数。,矩阵范数,称为从属向量范数,| |,的矩阵范数,也称为由向量范数,| |,诱导出的算子范数,举例说明算子矩阵范数的优点,研究方程组,与方程组,解之间的关系。,那个上界更紧一些？,不等式越紧越好，那些情况下不等式是无法在改进的,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,算子,范数,/* operator norm */,由向量范数,| |,p,导出关于矩阵,A,R,n,n,的,p,范数,:,则,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,特别有：,（,行和范数,）,（,列和范数,）,（,谱范数,/*,spectral norm,*/,）,矩阵,A,T,A,的最大,特征根,/* eigenvalue */,定理,2.1.5,设,则,（,3,）,2,范数的正交不变性,算子范数的最优性,矩阵的,F-,范数与向量的,2-,范数的关系。,（,P72,习题,4,）,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,注：,Frobenius,范数,不是,算子范数。,我们只关心有相容性的范数，,算子范数,总是相容的。,若,不然，则必存在某个向量范数,| |,v,使得 对任意,A,成立。,Counterexample ?,问题：矩阵的列和范数和其转置矩阵的行和范数的关系。,问题：矩阵的列和范数、行和范数和谱范数的等价关系是什么？,谱半径,/* spectral radius */,定义,矩阵,A,的,谱半径,记为,(,A,),=,，,其中,i,为,A,的特征根。,Re,Im,(,A,),定理,若,A,对称，则有,证明：,A,对称,若,是,A,的一个特征根，则,2,必是,A,2,的特征根。,又：对称矩阵的特征根为实数，即,2,(,A,),为非负实数，,故得证。,对某个,A,的特征根,成立,所以,2-,范数亦称为,谱范数,。,定理,若矩阵,B,对某个算子范数满足,|,B,| 1,，则必有,可逆；,证明：,若不然，则 有非零解，即存在非零向量 使得,一种特殊的矩阵幂级数,收敛的必要条件？,收敛的充分必要条件？,和函数为什么？,幂级数部分和满足,