测量误差的基本知识解析课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,长沙理工大学 彭文澜,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 测量误差的基本知识,5.1,测量误差概述,5.2,衡量精度的标准,5.3,误差传播定律及其应用,5.4,等精度观测值的算术平均值及精度评定,第五章 测量误差的基本知识5.1 测量误差概述,01 十月 2024,2,5.1,测量误差概述,5.1.1,测量误差的概念与来源,误差,：对于某一个客观存在的量，观测值与观测值之间，或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可避免的差异叫做误差。,测量误差,X,真值,L,观测值,=L-X,11 十月 202225.1 测量误差概述5.1.1 测量误,观测误差产生的三个原因,仪器误差,：,仪器设计、制作，或经检验校正还存在残余误差,观测者,：人的感觉器官鉴别能力的限制,外界条件的影响,：测量时外界自然条件如温度、湿度、风力等的变化。,以上三方面统称为,观测条件,观测成果的精确度称为“,精度,”,等精度观测,不等精度观测,01 十月 2024,3,观测误差产生的三个原因仪器误差：仪器设计、制作，或经检验校正,01 十月 2024,4,5.1.2,测量误差的分类,系统误差,：,在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差,出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化,，这种误差称为系统误差。,系统误差,具有累积性,。可以在观测前采取有效的预防措施、观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。,11 十月 202245.1.2 测量误差的分类,01 十月 2024,5,系统误差的消除,：,（,1,）采用,观测方法消除,：,如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除,i,角误差和地球曲率的影响。,通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。,（,2,）,加改正数,：,如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和高差改正。光电测距仪的加常数和乘常数的改正。,（,3,）,检校仪器,：,将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。,11 十月 20225系统误差的消除：,01 十月 2024,6,偶然误差：,在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果单个误差,出现的符号和数值大小均没有一定规律性,，这种误差称为偶然误差。,虽然单个的偶然误差没有规律,但大量的偶然误差具有统计规律。,学习误差理论知识的目的：,根据一组带有偶然误差的观测值,求出未知量的最可靠值,评定观测成果的精度,11 十月 20226偶然误差：虽然单个的偶然误差没有规律学,任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差（错误）。,当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究。,01 十月 2024,7,粗差：,也称错误，在严格意义上，粗差,并不属于误差,的范围。,即，本章关注的内容是偶然误差,任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差（错误）,01 十月 2024,8,5.1.3,测量误差的特性,从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。,例如某一测区在相同观测条件下观测了,358,个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值,180(,表,5-1),11 十月 202285.1.3 测量误差的特性,测量误差的基本知识解析课件,用,图示法,可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表,5-1,的数据，以误差大小为横坐标，以频率,k/n,与区间,d,的比值为纵坐标，如图,5-1,所示。这种图称为,频率直方图,。,用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，,可以设想，当误差个数,n,，同时又无限缩小误差区间,d,，图,5-1,中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图,5-2,所示。该曲线称为,误差分布曲线,。,其函数式为：,即正态分布曲线上任一点的纵坐标,y,均为横坐标,的函数。,标准差,大小反映观测精度的高低，定义为：,上式可知，,的大小决定于一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。,可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间d，图5,偶然误差的统计特性,有限性：,在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的概率为,0,；,单峰性：,绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；,对称性：,绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等；,抵偿性：,当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值,趋近于零。,偶然误差的统计特性有限性：,01 十月 2024,13,5.2,评定精度的标准,所谓精度，是指,误差分布的集中与离散程度,。如误差分布集中（曲线,a,），则观测精度高；若误差分布离散（曲线,b,），则观测精度就低。,11 十月 2022135.2 评定精度的标准,5.2.1,中误差,01 十月 2024,14,中误差的定义：,在相同观测条件下，对同一未知量进行,n,次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根，称为中误差。用,m,表示。,设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观测，观测值为：,l,1,，,l,2,，,，,l,n,，其真误差为：,1,，,2,，,，,n,则中误差为：,5.2.1 中误差11 十月 202214中误差的定义：在相,01 十月 2024,15,用真误差计算中误差：,必须知道真值,11 十月 202215用真误差计算中误差：必须知道真值,两组观测值中误差：,01 十月 2024,16,第一组观测值精度高于第二组,中误差能突出反映大误差的影响,两组观测值中误差：11 十月 202216第一组观测值精度高,中误差和真误差都是绝对误差，,误差的大小与观测量的大小无关。,在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。,分别丈量两段不同距离，一段为,100m,，一段为,200m,，中误差都是,0.02m,。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？,必须引入,相对误差,的概念，目的是为了更客观地反映实际测量精度。,01 十月 2024,17,中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。,5.2.2,相对误差,01 十月 2024,18,相对误差,(,K,),的定义：,中误差的绝对值与观测值之比，用分子为,1,的分数形式表示。分母越大，相对误差越小，精度越高。,5.2.2 相对误差11 十月 202218相对误差(K)的,5.2.3,允许误差,01 十月 2024,19,根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值,不会超过一定的限值,，该限值称为极限误差，简称限差。也说是测量的 允许误差。由误差理论及分布曲线可知，在一组等精度观测中，,表示真误差落在,(-,，,+),内的概率等于,0.683,。同理可得：,(5-11),(5-12),(5-13),5.2.3 允许误差11 十月 202219根据偶然误差的第,5.2.3,允许误差,01 十月 2024,20,上列三式结果的概率含义是，,大于两倍中误差,的偶然误差个数约占总数的,5%,，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的,0.3%,。,测量上通常取二倍或三倍中误差作为允许误差：,允,=22m(5-7),或,允,=33m(5-8),前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。,5.2.3 允许误差11 十月 202220,01 十月 2024,21,5.3,误差传播定律及其应用,直接观测的量，经过多次观测后，可通过,真误差,计算出观测值中误差，作为衡量观测值精度的标准。,实际中，某些未知量不可能或不便进行直接观测，需要由一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，,未知量是观测值的函数,。,例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离,D,，可以用光电测距仪测量斜距,S,，并用经纬仪测量竖直角,，以函数关系,D=Scos,来推算。,阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律称为,误差传播定律,。,5.3.1,观测值的函数,11 十月 2022215.3 误差传播定律及其应用直接观测,5.3.2,误差传播定律,01 十月 2024,22,1,）和差函数的中误差,设有函数,Z,=,x,y,，,x,、,y,是两个相互独立的观测值，均作,n,次观测，中误差分别为,m,x,和,m,y,，真误差关系式为,两边,平方、求和、除以,n,得：,5.3.2 误差传播定律11 十月 2022221）和差函数,由于,x,、,y,是,相互独立的,，,偶然误差,x,、,y,出现正负符号的机会相等，且正负符号互不相关,01 十月 2024,23,由于x、y是相互独立的，11 十月 202223,推广到,n,个独立观测值代数和差：,当,n,个独立观测值是等精度观测时：,01 十月 2024,24,推广到n个独立观测值代数和差：11 十月 202224,01 十月 2024,25,2,）倍数函数的中误差,设有函数,Z,=,Kx,，,x,为直接观测值，中误差为,m,x,，,K,为常数，,Z,为观测值,x,的函数。如果对,x,作,n,次等精度观测，真误差分别为,x1,、,x2,、,.,xn,，对应的函数真误差为,Z1,、,Z2,、,.,Zn,，观测值与函数间的真误差存在如下关系,11 十月 2022252）倍数函数的中误差,将上述关系式平方、求和、除以,n,得：,01 十月 2024,26,将上述关系式平方、求和、除以n得：11 十月 202226,01 十月 2024,27,3,）线性函数的中误差,设有函数,根据倍数函数与和差函数的中误差公式：,11 十月 2022273）线性函数的中误差根据倍数函数与和,01 十月 2024,28,4,）一般函数的中误差,设有非线性函数,Z,=,f,(,x,1,x,2,x,n,),，式中,x,1,x,2,x,n,为独立观测值，相应的中误差为,m,1,、,m,2,.,m,n,。,由于非线性函数的真误差关系式难于表达，考虑到真误差是个小量，真误差关系式可用全微分近似表达：,11 十月 2022284）一般函数的中误差由于非线性函数的,01 十月 2024,29,其中误差分别为,m1,、,m2,、,、,mn,，则函数,z,的中误差按上述推导，可得误差传播定律的一般形式：,一般方法如下,1,列出函数式（要根据题意）,2,对可直接观测的未知量求偏微分，即写出真误差的关系式,3,写出中误差的关系式,11 十月 202229其中误差分别为m1、m2、mn，,01 十月 2024,30,举例,设有函数关系,h=Dtg,已知,D=120.250.05m,=124730(0.05,及,30,为中误差,),求中误差,mh,列出函数式,h=Dtg,写出微分式,写出中误差形式,11 十月 202230举例,5.4 等精度观测值的平差,算术平均值,算术平均值的中误差,观测值的中误差,由观测值的真误差计算中误差,改正数的概念,由观测值的改正数计算中误差,实例,5.4 等精度观测值的平差算术平均值,用改正数计算中误差,多数情况下，客观真实值不知道，不能求得真误差。通常利用,接近于真值的最可靠值（最或是值）,计算改正数，求中误差。,最或是值：,n,个观测值的算术平均值。,改正数：,最或是值与观测值之差,v,。,01 十月 2024,32,用改正数计算中误差 11 十月 202232,在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的,最或是值,。,即,x=(l1+l2+ln)/n=l/n,1,求 最 或 是 值,2,