相似辅助线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,相似三角形中的辅助线,淮北市开渠中学 王 毅,相似三角形中的辅助线,在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：,例题：,如,图，,D,是,ABC,的,BC,边上的点，,BD,：,DC=2,：,1,，,求：,BE,：,EF,的值,.,D,A,B,C,E,F,E,是,AD,的中点,连结,BE,并延长交,AC,于,F,一、作平行线,D,A,B,C,E,F,n,2,k,k,解法,1,：,过点,D,作,CA,的平行线交,BF,于点,P,，,P,?,y,y,n,y,D,A,B,C,E,F,n,解法,1,：,过点,D,作,CA,的平行线交,BF,于点,P,，,P,n,2,k,k,y,y,4,y,?,y,BE：EF,=5：1.,则,PE=EF,BP,=2,PF=4EF,，,所以,BE=5EF,D,A,B,C,E,F,n,n,2,k,解法,2,：,过点,D,作,BF,的平行线交,AC,于点,Q,，,y,k,Q,?,y,2,y,D,A,B,C,E,F,n,n,解法,2,：,过点,D,作,BF,的平行线交,AC,于点,Q,，,Q,2,k,k,?,y,2,y,5,y,y,BE：EF,=5：1.,D,A,B,C,E,F,2,k,解法,3,：,过点,E,作,BC,的平行线交,AC,于点,S,，,S,n,n,k,?,k,D,A,B,C,E,F,解法,3,：,过点,E,作,BC,的平行线交,AC,于点,S,，,S,n,n,?,y,5,y,y,2,k,k,D,A,B,C,E,F,n,n,2,k,解法,4,：,过点,E,作,AC,的平行线交,BC,于点,T,，,T,?,k,?,k,D,A,B,C,E,F,n,n,2,k,解法,4,：,过点,E,作,AC,的平行线交,BC,于点,T,，,T,y,?,y,5,y,BD,=2,DC,，,BE,：,EF,=5：1.,练习：,如,图，,D,是,ABC,的,BC,边上的点，,BD,：,DC=2,：,1,，,求,AF,：,CF,的值,.,D,A,B,C,E,F,E,是,AD,的中点,连结,BE,并延长交,AC,于,F,D,A,B,C,E,F,解法,1,：,过点,D,作,CA,的平行线交,BF,于点,P,，,P,n,n,2x,2x,2k,k,3x,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法,2,：,过点,D,作,BF,的平行线交,AC,于点,Q,，,Q,n,n,2x,2x,2k,k,x,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法,3,：,过点,E,作,BC,的平行线交,AC,于点,S,，,S,n,n,h,2h,4h,y,5y,4y,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法,4,：,过点,E,作,AC,的平行线交,BC,于点,T,，,T,n,n,h,h,4h,5y,6y,4y,AF：CF=2：3.,作平行线,例,1.,如图，的,AB,边和,AC,边上各取一点,D,和,E,，且使,AD,AE,，,DE,延长线与,BC,延长线相交于,F,，求证：,证明：,过点,C,作,CG/FD,交,AB,于,G,小结：,本题关键在于,AD,AE,这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。,例,2.,如图，,ABC,中，,ABAE),求证：,AEF ECF,E,C,D,B,A,F,2,、已知，在,ABC,中，若,AB=BC,B=90,AD,为,BC,边的,中线，过,B,作直线,BPAD,于,P,交,AC,于,E,，,求证：,AE=2EC ;AEB= CED.,D,A,B,C,E,二、作垂线,3.,如图从,ABCD,顶点,C,向,AB,和,AD,的延长线引垂线,CE,和,CF,，垂足分别为,E,、,F,，求证：,证明：过,B,作,BM,AC,于,M,，过,D,作,DN,AC,于,N,（,1,）,（,2,）,又,AN=CM,又,（,1,）,+,（,2,）,2,、中，,AC=BC,，,P,是,AB,上一点，,Q,是,PC,上一点（不是中点），,MN,过,Q,且,MNCP,，交,AC,、,BC,于,M,、,N,，求证：,2,、证明：,过,P,作,PE,AC,于,E,，,PF,CB,于,F,，,则,CEPF,为矩形,PF,EC,EC=PF,（,1,）,在,和,中：,CP,MN,于,Q,又,即,由（,1,）（,2,）得,（,2,）,三、作延长线,例,5.,如图，在梯形,ABCD,中，,ADBC,，若,BCD,的平分线,CHAB,于点,H,，,BH=3AH,，且四边形,AHCD,的面积为,21,，求,HBC,的面积。,分析：,因为问题涉及四边形,AHCD,，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。,解：,延长,BA,、,CD,交于点,P,CHAB,，,CD,平分,BCD,CB=CP,，且,BH=PH,BH=3AH,PA,：,AB=1,：,2,PA,：,PB=1,：,3,ADBC,PADPBC,例,6.,如图，,RtABC,中，,CD,为斜边,AB,上的高，,E,为,CD,的中点，,AE,的延长线交,BC,于,F,，,FGAB,于,G,，求证：,FG=CFBF,解析：,欲证式即 由“三点定形”，,BFG,与,CFG,会相似吗？显然不可能。（因为,BFG,为,Rt,），但由,E,为,CD,的中点，可设法构造一个与,BFG,相似的三角形来求解。,不妨延长,GF,与,AC,的延长线交于,H,则,又,ED=EC FG=FH,又易证,RtCFHRtGFB,FGFH=CFBF,FG=FH FG2=CFBF,四、作中线,例,7,如图，中，,ABAC,，,AEBC,于,E,，,D,在,AC,边上，若,BD=DC=EC=1,，求,AC,。,解：,取,BC,的中点,M,，连,AM,AB,AC,AM=CM,1=,C,又,BD=DC,又,DC=1 MC=,BC,（,1,）,又,又,EC=1,由（,1,）（,2,）得，,（,2,）,小结：,利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取,BC,中点,M,，构造,与,相似是解题关键,3,、,理由？（用三种解法）,方法一：,如图（,1,），设,BC,中点为,E,，连接,AE,。,方法二：,如图（,2,），在,DA,上截取,DE=DC,在,BED,与,BCD,中，,方法三：,如图（,3,），过,B,作,BEBC,于,B,，交,CA,的延长线于,E,。,回头一看，我想说,我有哪些收获呢？,与大家共分享！,再见,