资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,第一章 离散时间信号与系统,主要内容：,1.1,离散时间信号-序列,1.2,离散时间系统,1.3,线性差分方程的求解,1.4,时域采样定理,1.5,本章,Matlab,相关程序,1.1,离散时间信号(序列),Discrete-time signals (Sequences),一、离散时间信号的由来,离散时间信号（又称序列）,，是,连续时间,信号以时间,T,等间隔,采样,得到的，,T,称,为采样间隔（单位：秒）,。,32,ms,256 samples,t,x(t),一般，采样间隔是均匀的，用,x(,nT,),表示离散时间信号在,nT,点上的值，,n,为整数,。由于,x(,nT,),顺序存放在存储器中，我们通常直接用,x(n),表示离散时间信号序列,。,0,T,2T,3T,4T,5T,6T,7T,8T,9T,0,T,2T,3T,4T,5T,6T,7T,8T,9T,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,n,x(n),=,nT,|,t=,nT,=x(,nT,),二、离散时间信号的表示方法,1、用枚举的方式,(数列形式)表示：,x(n) = 3，4，2，1，0，5，7，8 ,注：用箭头标出,n=0,在序列中的位置，上面序列的,x(0)=1,2、用公式表示,：,因为,n,只能取整数，所以两种写法是一样的。,3、用图形的方式表示,：,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,n,x(n),-1,1,2,1,1,-1,-2,2,2,2,3,3,10,11,图中横坐标,n,表示离散的时间坐标，仅在,n,为整数时才有意 义，纵坐标代表信号点的值。,4、用单位抽样序列表示.,x(0) = 2,x(1) = 1,x(2) = 2,x(3) = 3,三、序列的基本运算,1、序列的和,：,两序列的和是指,同序号,n,的序列值,逐项对应相加,而构成 的新序列。,x(n),n,0,1,2,3,4,5,6,2,1,2,1,1,y(n),n,0,1,2,3,4,5,6,1,1,1,1,1,z(n),n,0,1,2,3,4,5,6,3,2,3,2,2,z(n) = x(n) + y(n), ,z(0) = x(0) + y(0) = 3,z(1) = x(1) + y(1) = 2,z(2) = x(2) + y(2) = 3,z(3) = x(3) + y(3) = 2,z(4) = x(4) + y(4) = 2, ,仿真实验(,Matlab,),x1=,wavread,(,w1.wav,);,x2=,wavread,(,w2.wav,);,y=x1+x2;,figure(1); plot(x1); grid on;,figure(2); plot(x2); grid on;,figure(3); plot(y); grid on;,wavwrite,(y,w3.wav,);,%,读入声音文件,%,序列求和,%,画图显示结果,%,结果保存为声音文件,实验结果,y(n) = x,1,(n)+ x,2,(n),x,1,(n),x,2,(n),y(n),w1.wav,w2.wav,w3.wav,2、序列的积,：,两序列的积是指,同序号,n,的序列值,逐项对应相乘,而构成 的新序列。,x(n),n,0,1,2,3,4,5,6,2,1,2,1,1,z(n) = x(n) * y(n), ,z(0) = x(0) * y(0) = 2,z(1) = x(1) * y(1) = 2,z(2) = x(2) * y(2) = 2,z(3) = x(3) * y(3) = 2,z(4) = x(4) * y(4) = 1, ,y(n),n,0,1,2,3,4,5,6,1,1,2,1,2,z(n),n,0,1,2,3,4,5,6,2,2,2,2,1,3、序列的移位,：,设有一序列,x(n)，,当,m,为正时：,x(n,-,m),表示序列,x(n),逐项依次,右移,m,位后得到的序列。,x(n+m),表示序列,x(n),逐项依次,左移,m,位后得到的序列。,n,0,1,2,3,4,5,6,n,0,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,y(n) = x(nm),x(n),x(n),x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3,n,x(n),0,1,2,3,4,2,1,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,x(n+1),2,1,3,x(n-1),右移,左移,实例： 序列右移（序列延迟）的应用,延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存起来，参与这个时刻的运算。,回声可以用延迟单元来生成。直接声音和它的延迟了,R,个周期的单个回声可以用下面的式子来表示（, 为,回声的衰减系数）：,为了生成间隔为,R,个周期的多重回声，可将上式改为：,原声：,混响1：,混响2：,=0.3,R=5000,=0.3,R=10000,4、序列的反褶,：,设有序列,x(n)，,则,x(,-,n),是以,n=0,为纵轴,将,x(n),反褶后的序列。,y(n) = x(,-,n),x(n),n,0,1,2,3,4,5,6,2,1,1,3,-1,-2,-3,-4,x(-n),n,0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,2,1,3,x(n),n,0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,2,1,3,2,1,3,2,1,3,x(n),n,0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,2,1,3,2,1,3,2,1,3,n,x(-n),0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,2,1,3,2,1,3,2,1,3,x(-n),n,0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,2,1,3,2,1,3,2,1,3,思考：,x(-n+1),和,x(-n-1),与,x(-n),的移位关系？,x(n),n,0,1,2,3,4,5,6,2,1,1,3,-1,-2,-3,-4,x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3,x(-n),n,0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,2,1,3,x(-n+1),n,0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,2,1,3,x(-n-1),n,0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,2,1,3,x(-n+1),是,x(-n),右移一位后的序列,x(-n-1),是,x(-n),左移一位后的序列,仿真实验(,Matlab,),x =,wavread,(,w2.wav,);,y =,fliplr,(x);,figure(1); plot(x); grid on;,figure(2); plot(y); grid on;,wavwrite,(y,w4.wav,);,x(n),y(n)=x(,-,n+N),w2.wav,w4.wav,%,读入声音文件,%,画图显示结果,%,结果保存为声音文件,%,反褶,5、累加,设序列,x(n)，,则,x(n),的累加序列,y(n),定义为：,它表示,y(n),在某一个,n,0,上的值等于这一个,n,0,上的,x(n,0,),以及,n,0,从前的所有,n,值上的,x(n),值之和。,例如：,6、差分运算,前向差分：,后向差分：,差分运算反映了序列,x(n),的幅值变化规律。,7、序列的时间尺度（比例）变换,设某序列为,x(n),，,则其时间尺度变换序列为,x(,mn,),或,x(n/m),，m,为正整数。,x(,mn,),为抽取序列（,m1）,x(n/m),为插值序列（,m1）,例如：,x(n),与,x(2n),-2,-1 0 1 2 n,1,2,3,4,5,x(n),1,3,5,x(2n),-2,-1 0 1 2 n,注意：,x(n) = x(t)|,t=,nT,采样间隔为,T,x(2n) = x(t)|,t=2nT,采样间隔为2,T，,抽样,x(n/2) = x(t)|,t=,nT,/2,采样间隔为,T/2，,插值,8、卷积和,卷积积分,是求,连续,线性时不变系统,输出响应,的主要方法。,卷积和,是求,离散,线性时不变系统,输出响应,的主要方法。,h(t),x(t),h(n),x(n),卷积和的计算方法与步骤：,(1) 反褶：,画出,x(m),与,h(m)，,以,m=0,的纵轴为对称轴将,h(m),反褶成,h(-m)。,(2) 移位,：,将,h(-m),移位,n，,得到,h(n-m)。,当,n,为正，右移,n,位；当,n,为幅负，左移,n,位。,(3) 相乘,：,将,h(n-m),和,x(m),的相同,m,值的对应点值进行相乘。,(4) 相加,：,将所有对应点的乘积累加起来，得到某一个,n,下的 输出值,y(n)。,四、常用的典型序列,1、单位取样序列,(,n),-,Unit sample sequence,(n),n,0,1,2,3,4,5,6,1,-1,-2,-3,-4,(,n),是一个脉冲幅度为1的,现实序列。,(,t),是脉宽为零，幅度为,的一种数学极限，是,非现实信号。,单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时域离散冲激。,用单位取样序列,(,n),表示任意序列,(n),n,0,1,2,3,4,5,6,1,-1,-2,-3,-4,2,(n-1),n,0,1,2,3,4,5,6,2,-1,-2,-3,-4,可以将任意序列表示成单位抽样序列的,移位加权和,x(n)=,3,(n-2),n,0,1,2,3,4,5,6,3,-1,-2,-3,-4,(n),+2,(n-1),+3,(n-2),n,0,1,2,3,4,5,6,3,-1,-2,-3,-4,1,2,(其中，,x(0)=1, x(1)=2, x(2)=3),2、单位阶跃序列,u(n),-,Unit step sequence,u,(n),n,0,1,2,3,4,5,6,1,-1,-2,-3,-4,7,8,9,10,用,单位阶跃序列,u(n),表示,单位取样序列,(,n),：,用,单位取样序列,(,n),表示,单位阶跃序列,u(n),：,3、矩形序列,R,N,(n),-,Rectangular sequence,R,N,(n),n,0,1,2,3,1,N-1,用,单位阶跃序列,u(n),表示,矩形序列,R,N,(n),：,用,单位取样序列,(,n),表示,矩形序列,R,N,(n),：,4、实指数序列,Real-valued exponential sequence,当|,a|1,时,，,序列发散。,当|,a| 1,时，序列收敛。,当|,a| 1，,且,a0,时，序列是摇动的,5、正弦序列,-,Sinusoidal,sequence,正弦序列的由来,对连续时间正弦信号取样可以得到正弦序列。,取 样,其中， ，,T,是取样间隔(取样周期)。,0,称为数字域频率，,0,称为模拟域频率。,数字域频率和模拟域频率,数字域频率是模拟域频率的,T,倍，以后我们就以,表示数 字域频率，,表示模拟域频率（,也,表示模拟域角频率 ，,2,f,，,f,表示模拟域线频率）。,当序列是周期的时，表示正弦序列的序列值重复变化的 快慢。,例：,0.01,，则序列值每200个重复一次正弦循环,0.1,，则序列值每20个重复一次正弦循环,的量纲为弧/秒，,的量纲为弧。,5、复指数序列,Complex-valued exponential sequence,当,0时，|,x(n)|=1，,arg,|x(n)|=n 。,复指数序列,e,j,n,作为序列分解的基单元， 在序列的傅里叶分析中起着重要的作用。,五、,序列的周期性,1、定义,如果对于所有,n,存在一个最小的正整数,N，,使得：,x(n) = x(n+N),成立，则称,x(n),为周期序列，周期为,N,。,2、正弦序列的周期性,正弦信号：,若,N,0,2k,，,当,k,为整数时(即,N,0,为,2,的整数倍)，则有：,x(n)=x(n+N)，x(n),为周期信号。,观察,N,0,2k,： (,即 ),(1) 当,2,/,0,为整数时：,k=1,，,则,N= 2,/,0,为最小整数，且保证,x(n)=x(n+N)。,(2) 当,2,/,0,为有理数时(有理数可表示成分数)：,若,N、k,互素,，则此时,N,取得最小整数，使,x(n)=x(n+N)。,(3) 当,2,/,0,为无理数时：,任何,k,都不能使,N,为整数，此时,x(n),不是周期性的。,注：此时,k1。,3、讨论,一个正弦序列若由一个连续正弦信号抽样而得，那么抽样时间间隔,T,和连续正弦信号的周期,T,0,之间应该是,什么关系,才能使所得到的,抽样序列仍为周期序列,？,设连续正弦信号为,x(t)：,连续信号,x(t),的角频率为,连续信号,x(t),的周期为,若对,x(t),抽样，设抽样时间间隔为,T,，,有：,若令,0,为数字频率，它满足：,其中,f,s,是抽样频率，,0,是相对频率，是连续信号角频率,0,相对抽样频率,f,s,的频率。,在分析一个序列的周期性时，是通过分析,2,/,0,的值来实现的。,(1) 当,2,/,0,为整数时：,说明:连续正弦信号,x(t),的周期,T,0,是抽样间隔的整数倍，或 者说，是在,一个,连续信号的周期,T,0,内,以,T,为采样间隔 采样了,N,个点,。,(2) 当,2,/,0,为有理数时：,说明: 在,K,个,连续正弦信号,x(t),的周期,T,0,内,以,T,为采样间隔 采样了,N,个点,。,例如：序列,x(n),的周期是14，在3个连续信号周期,T,0,内采样了14个点。,1.2,离散时间系统,离散时间系统,T,(,运算),x(n),输入序列,y(n),输出序列,一、,线性系统,概念,：,满足叠加原理的系统为线性系统。,(1)可加性,设,y,1,(n)=Tx,1,(n)，y,2,(n)=Tx,2,(n),如果,y,1,(n)+y,2,(n)=Tx,1,(n)+Tx,2,(n)=Tx,1,(n)+ x,2,(n),说明系统,T,满足可加性。,(2)比例性(齐次性),设,y,1,(n)=Tx,1,(n),如果,a,1,y,1,(n) = a,1,Tx,1,(n) =Ta,1,x,1,(n),说明系统,T,满足比例性或齐次性。,综合(1)、(2)，得到叠加原理的一般表达式：,说明：,(1),叠加原理的一个直接结果是,零输入产生零输出,。,(2),在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既 满足,可加性,，又满足,比例性,。,例：验证下面的系统是否为线性系统：,y(n)=4x(n)+6,方法一：验证系统是否满足叠加原理。,可加性分析：,若：,x,1,(n)= 3，,则：,y,1,(n)=4,3+6=18,x,2,(n)= 4，,则：,y,2,(n)=4,4+6=22,而：,x,3,(n)= x,1,(n)+x,2,(n)=7 ，,有：,y,3,(n)=4,7+6=3440,得到：,y,1,(n)+ y,2,(n)=18+22=40,得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。,方法二：利用线性系统的,“,零输入产生零输出,”,的特性验证。,因为当,x(n)=0,时，,y(n)=60，,这不满足线性系统的“,零输入产生零输出,”的特性，因此它不是线性系统。,n=0:19;,T=0.05;,x1=sin(2*pi*n*T);,x2=sin(4*pi*n*T);,x3=x1+x2;,subplot(331),stem(n,x1);,title(x1);,subplot(334),stem(n,x2);,title(x2);,subplot(337),stem(n,x3);,title(x3);,y1=-0.5*x1;,y2=-0.5*x2;,y3=-0.5*x3;,subplot(332),stem(n,x1);,title(y1);,subplot(335),stem(n,x2);,title(y2);,subplot(338),stem(n,x3);,title(y3);,f1=,fft,(y1);,f2=,fft,(y2);,f3=,fft,(y3);,subplot(333);,stem(n,abs(f1);,title(Y1);,subplot(336);,stem(n,abs(f2);,title(Y2);,subplot(339);,stem(n,abs(f3);,title(Y3);,n=0:19;,T=0.05;,x1=sin(2*pi*n*T);,x2=sin(4*pi*n*T);,x3=x1+x2;,subplot(331),stem(n,x1);,title(x1);,subplot(334),stem(n,x2);,title(x2);,subplot(337),stem(n,x3);,title(x3);,y1=x1.*x1;,y2=x2.*x2;,y3=x3.*x3;,subplot(332),stem(n,x1);,title(y1);,subplot(335),stem(n,x2);,title(y2);,subplot(338),stem(n,x3);,title(y3);,f1=,fft,(y1);,f2=,fft,(y2);,f3=,fft,(y3);,subplot(333);,stem(n,abs(f1);,title(Y1);,subplot(336);,stem(n,abs(f2);,title(Y2);,subplot(339);,stem(n,abs(f3);,title(Y3);,二、,时不变系统(移不变系统),概念,：,若系统的,响应,与,激励加于系统的时刻,无关,，则该 系统为时不变或移不变系统。,即,：若有,y(n)=Tx(n)，,则,y(n-m)=Tx(n-m),成立。,例：证,y(n)=4x(n)+6,是移不变系统。,证：,y(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=Tx(n-m) ,该系统是移不变系统,说明：乍一看该例，似乎,y(n-m),和,Tx(n-m),很容易就得 到了一样的结果，而实际上它们是通过,不同的途 径,得到的。,y(n-m),是将,y(n)=4x(n)+6,表达式中的所 有出现,n,的地方用,n-m,去替换；而,Tx(n-m),是将所 有,x,函数的,自变量,替换为,自变量-,m,。,例：验证以下两个系统的移不变特性。,(1),因为,y(n-k),与,Tx(n-k),相同，所以该系统是移不变系统。,说明：在该例题中可以清楚地看到，,y(n-k),和,Tx(n-k),是 从两条不同的途径得到了相同的结果。,m,=m-k，m,从,-,n, m,应从,-,-,k,n-k,由于,-,是很大很大的，所以,-,-,k,就相当于,-,(2),因为,y(n-k),与,Tx(n-k),不相同，所以该系统不是移不变系统。,说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统的 证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。,m,=m-k，m,从,0,n, m,应从,-,k,n-k,例：验证系统,y(n)=,nx,(n),的移不变特性。,法一：用概念,Tx(n-k)=,nx,(n-k),y(n-k)=(n-k)x(n-k),因为,y(n-k),与,Tx(n-k),不同，故不是移不变系统。,法二：找反例,设：,x,1,(n)=,(,n)，,则,Tx,1,(n)=n,(,n)=0,x,2,(n)=,(,n-1)，,则,Tx,2,(n),=n,(,n-1)=,(,n-1),可以看出，当输入移位,(,n),(,n-1),时，输出并不是也移位了，而是,0,(,n-1),，故不是移不变系统。,三、,单位抽样(冲激)响应,h(n),概念,：,同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为,LSI,系统。,LSI(Linear Shift Invariant)System,线性移不变离散时间系统,单位抽样(冲激)响应,h(n)：,当输入为,(,n),时，系统的输出用,h(n),表示。,h(n)=T,(,n),卷积,：,当一个系统是,LSI,系统时，它的输出,y(n),可以用输入,x(n),与 单位抽样响应,h(n),的卷积来表示。,y(n)=x(n)*h(n),证明,：在前面我们学过，任一序列,x(n),可以写成：,系统的输出为：,说明,：注意在证明,y(n)=x(n)*h(n),的过程中用到了线性和移不 变的特性，这说明只有,LSI,系统才有上式。,四、,线性移不变系统的性质,1、交换律,y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n),h(n),x(n),y(n),x(n),h(n),y(n),等效于,2、结合律,x(n)*h,1,(n)*h,2,(n) = x(n)*h,1,(n)*h,2,(n)= x(n)*h,2,(n)*h,1,(n) = x(n)*h,1,(n)*h,2,(n),h,1,(n),x(n),y(n),h,2,(n),h,2,(n),x(n),y(n),h,1,(n),h,1,(n)*h,2,(n),x(n),y(n),三者等效,3、分配律,x(n)*h,1,(n)+h,2,(n) = x(n)*h,1,(n)+x(n)*h,2,(n),h,1,(n)+h,2,(n),x(n),y(n),两者等效,h,1,(n),x(n),y(n),h,2,(n),例：,x(n)=u(n)，h,1,(n)=,(,n)-,(,n-4)，h,2,(n)=,a,n,u,(n)，,求：,y(n)=x(n)*h,1,(n)* h,2,(n),解：,结果：,0 n0 1 n=0 y(n)= 1+a n=1 1+a+a,2,n=2 a,n,+a,n-1,+a,n-2,+a,n-3,n3,说明：,五、,因果系统,1、定义 因果系统是指：,某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前 的输入的系统。,即：,n=n,0,时的输出,y(n,0,),只取决于,nn,0,的输入,x(n)|,nn0,的系 统为因果系统，否则为非因果系统。,例：判断下面的系统是否为因果系统。,(1),y(n)=,nx,(n),是,(2),y(n)=x(n+2)+ax(n),不是,(3),y(n)=x(n,3,),不是,(4),y(n)=x(-n),不是,(5),y(n)=x(n)sin(n+2),是,2、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是：,h(n)=0，n0,证：充分条件,若,n0,时，,h(n)=0，,有：,从上式看出，,y(n,0,),只与,m n,0,时刻的,x(m),有关，这满足因果系统的定义,我们将,n0，x(n)=0,的序列称为因果序列,n-m0,h(n)0,m=n, 必要条件(反证法),若已知一系统是因果系统，但当,nn,时的一个,x(m),值有关，而这又与设定的另一个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。,mn,n-m0,mn,n-m0,注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先 确定系统是,LSI,系统，并求出其单位冲激响应,h(n)。,六、,稳定系统,1、定义 稳定系统是指：,有界输入产生有界输出的系统。,即： 如果|,x(n)|,M,，,则有： |,y(n)|,P, 。,2、一个,LSI,系统是稳定系统的充分必要条件是：,单位抽样响应 绝对可和。,证明：充分条件：,若|,h(n)|,q,，,且|,x(n)|,M,则,y(n),为：,即证：若|,h(n)|,q,，,且|,x(n)|,M,，,存在：,|,y(n)|,，,即该,LSI,系统确实为稳定系统。,只有,LSI,系统才有,y(n)=x(n)*h(n), 必要条件：,(反证法),已知一,LSI,稳定系统，设存在：,我们可以找到一个,有界的输入,x(n),：,y(n),在,n=0,时为,，,即得到,无,界的输出,y(n),，,而这不符合稳定系统的假设，所以说明上面的假设不成立，故得证。,3、证明一个系统是否稳定的方法：, 若,LSI,系统的,h(n),已直接给出，或间接求出，则可以用,h(n),是否绝对可和,来证明系统的稳定性。, 若系统是以,y(n)=Tx(n),的形式给出的，则应该直接 利用稳定系统的定义：,有界输入得到有界输出,来证明。, 有时可利用,反证法,，只要找到一个有界的输入,x(n)，,若 能得到无界的输出，则该系统肯定不稳定。,例：验证系统,y(n)=,nx,(n),的稳定性。,反证：当,x(n)=1,时，,y(n)=n，,当,n,，y(n),，,此时，,y(n),无界，故系统不稳定。,例：验证系统,y(n)=a,x(n),的稳定性。,证：设,x(n),有界，|,x(n)|A, -,A |x(n)| A,a,-,A, |y(n)| ,a,A,当,x(n),有界时，,y(n),也有界，故为稳定系统。,例：一个,LSI,系统的,h(n)=,a,n,u,(n),，,讨论其因果性和稳定性。, 因果性：,因为：当,n0,时，,h(n)=0，,所以该系统为因果系统。, 稳定性：,当|,a|1,时系统稳定，当|,a|1,时系统不稳定。,例：一个,LSI,系统的,h(n)=-,a,n,u,(-n-1),，,讨论其因果性和稳定性。, 因果性：,因为：当,n1,时系统稳定，当|,a|1,时系统不稳定。,1.3,常系数线性差分方程,1、形式：,常系数,：是指方程中,a,1,、a,2,、,a,n,和,b,1,、b,2,、,b,m,为常数。,阶数,：,y(n),项中变量序号的最高值与最低值之差。,线性,：,y(n-k),与,x(n-m),项都只有一次幂，且不存在相乘项。,该,“,线性,”,与线性系统的,“,线性,”,含义不同,2、常系数差分方程的求解：, 经典解法：,类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。, 递推(迭代)法：,简单、适于用计算机进行求解。但只能 得到一系列数值解，不易得到封闭式(公 式)解答。, 变换域法：,将差分方程变换到,z,域求解。, 卷积法：,由差分方程求出系统的,h(n)，,再与已知的,x(n),进行卷积，得到,y(n)。,例：用迭代法求解差分方程,求单位抽样响应,h(n),设系统差分方程为：,y(n)-ay(n-1)=x(n),，,求,h(n),。,h(0) = ah(-1)+,(0) = 0+1 = 1,h(1) = ah(0)+,(1) = a+0 = a,h(2) = ah(1)+,(2) = a,2,+0 = a,2,解：,设,x(n)=,(n)，,对因果系统,，有：,y(n)=h(n)=0，,当,n0,。,h(n) = ah(n-1)+0,= a,n,+0 = a,n,.,.,.,迭代,故系统的单位抽样响应为：,h(n)=,a,n,u,(n)。,这个系统显然是因果系统，当|,a|0,。,可写出另一种递推关系：,y(n-1)=a,-1,y(n)-x(n),h(0) = a,-1,h(1)-,(1) = 0,h(-1) = a,-1,h(0)-,(0) = -,a,-1,h(-2) = a,-1,h(-1)+,(-1) = -a,-2,h(n) = a,-,n,u,(-n-1),.,.,.,迭代,该系统的单位抽样响应为：,h(n)=-a,-,n,u,(-n-1)。,这个系统显然不是因果系统，但它的差分方程与前一题相同。,另外,：一个常系数线性差分方程，只有当边界条件选择合适 时，才相当于一个线性移不变系统。,例：设系统差分方程仍为：,y(n)-ay(n-1)=x(n),A、,当边界条件为,y(0)=1,时，为,非线性、移变系统,B、,当边界条件为,y(0)=0,时，为,线性、移变系统,C、,当边界条件为,y(-1)=0,时，为,线性、移不变系统,证：(这里只证明,A,，B,和,C,留给大家课后思考证明。),令：,x,2,(n)=,(n-1),，,y,2,(0)=,1,y,2,(1) = ay,2,(0)+x,2,(1) = a+1,y,2,(2) = ay,2,(1)+x,2,(2) = a,2,+a,y,2,(n) = ay,2,(n-1)+x,2,(n) = a,n,+a,n-1,y,2,(n) =,a,n,u,(n)+ a,n-1,u(n-1),x,1,(n),和,x,2,(n),为移位关系，但,y,1,(n),和,y,2,(n),不是移位关系，故不是移不变系统。,令：,x,1,(n)=,(n),，,y,1,(0)=,1,y,1,(1) = ay,1,(0)+x,1,(1) = a,y,1,(2) = ay,1,(1)+x,1,(2) = a,2,y,1,(n) = ay,1,(n-1)+x,1,(n) = a,n,y,1,(n) =,a,n,u,(n),前面已经证明： 当,x,1,(n)=,(n),时，,y,1,(n) =,a,n,u,(n),当,x,2,(n)=,(n-1),时，,y,2,(n) =,a,n,u,(n)+ a,n-1,u(n-1),令：,x,3,(n)=,(n)+(n-1),，,y,3,(0)=,1,y,3,(1) = ay,3,(0)+x,3,(1) = a+1,y,3,(2) = ay,3,(1)+x,3,(2) = a,2,+a,y,3,(n) = ay,3,(n-1)+x,3,(n) = a,n,+a,n-1,y,3,(n) =,a,n,u,(n)+ a,n-1,u(n-1), 当,x,3,(n)=x,1,(n)+x,2,(n),时，,y,3,(n)y,1,(n)+y,2,(n),，,所以，该系统也不是线性系统。,差分方程表示法的一个优点是,： 可以直接得到,系统的结构,，这里的结构是指将输入变换成输出的,运算结构,。,例：差分方程：,y(n)=b,0,x(n)-a,1,y(n-1),该差分方程所表示的结构为：,z,-1,x(n),b,0,-a,1,y(n),从图中可以看出需要多少个,加法器,、,乘法器,和,延迟单元,。,1.4,连续时间信号的抽样,抽样,：,利用周期性抽样脉冲序列,p(t)，,从连续信号,x,a,(t),中 抽取一系列的离散值，得到抽样信号，用 表示。,A/D,：,再经幅度量化编码后得到数字信号。,抽样器,：,相当于一个电子开关，开关每隔,T,(,采样间隔)秒闭合 一次，使时间离散。,理想抽样：,闭合时间无限短。,实际抽样：,闭合时间为,秒，但：,s,/2,-2,s,-,s,0,s,2,s,1/T,0,h,1/T,由于各周期延拓分量产生的频谱互相交叠，使抽样信号的频谱产生混叠现象。,采样定理： 若要从抽样后的信号中不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于信号最高频率的两倍以上。,折叠频率： 我们将抽样频率之半(,s,/2,)称为折叠频率。它如同一面镜子，当信号最高频率超过它时，就会被折叠回来，造成频谱混叠。,为避免混叠，一般在抽样器前加一个保护性的前置低通滤波器，将高于,s,/2,的频率分量滤除。,工程上，通常取,s,(35),h,三、抽样的恢复,如果满足采样定理，信号的最高频率小于折叠频率，则抽样后信号的频谱不会产生混叠，故可以恢复原信号。,-2,s,-,s,0,s,2,s,1/T,0,-,s,/2,0,s,/2,T,将 通过一个理想低通滤波器得到 ：,实际上，理想的低通滤波器是不能实现的，但我们可以在一定精度范围内用一个可实现的滤波器来逼近它。,讨论：如何由抽样信号 来恢复原来的模拟信号 ？,理想低通滤波器的冲激响应为：,思路：因为抽样后的频谱是乘以理想低通滤波器的频谱后得到 原信号的频谱的，所以对应到时域，应该是抽样信号与 理想低通滤波器对应时域信号,h(t),的卷积。这个卷积的 结果计为,y,a,(t)，,然后，我们将它与,x,a,(t),进行对比。,内插函数,说明：,(1) 内插函数只有在抽样点,mT,上为1。,(2),x,a,(t),等于,x,a,(,mT,),乘上对应的内插函数的总和。,(3) 在每一个抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这 说明在抽样点上信号值不变,y,a,(,mT,)=,x,a,(,mT,)，,而抽样点之间的 信号,y,a,(t)，(,其中,t,mT,),由各加权抽样函数波形的延伸叠加 而成。(,m,从-,),信号的抽样值,x,a,(,mT,),经内插函数得到连续信号,y,a,(t)。,四、实际抽样,抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲。,若,、,T,一定，则,C,k,的幅度|,C,k,|按 变化。,实际抽样信号频谱：,万一：,C,k,=0？,包络的第一个零点出现在：,抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，,周期为,s,。,若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠,失真。,抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降。,实际抽样信号频谱：,1.5,本章,Matlab,相关程序,%,单位脉冲序列,%,Generation of a Unit Sample Sequence,% Generate a vector from -10 to 20,n = -10:20;,% Generate the unit sample sequence,u = zeros(1,10) 1 zeros(1,20);,% Plot the unit sample sequence,stem(n,u); grid on;,xlabel,(Time index n);,ylabel,(Amplitude);,title(Unit Sample Sequence);,axis(-10 20 0 1.2);,function x,n =,impseq,(,np,ns,nf,),% 单个脉冲序列生成,函数,% 产生,x(n) = delta(n-,np,);,%,np,=,脉冲,信号施加的位置,，,% ns=,序列的起点位置,，,nf,=,序列的终点位置,%,检查输入参数正确性,if (,np,nf,) | (ns ,nf,),error(,参数必须满足,ns =,np,=,nf,),end,n = ns:,nf,; %,生成位置向量,x = (n-,np,) = 0; %,生成单个脉冲序列,%,阶跃,序列生成,函数,function x,n =,stepseq,(,np,ns,nf,),%,产生,x(n) = u(n-,np,); ns = n,np,nf,),error(,参数必须满足,ns =,np,= 0; %,生成阶跃序列,x = zeros(1,(,np,-ns), ones(1,(,nf,-,np,+1);,%,生成阶跃序列的另一种语句,%,复指数序列,c = -(1/12)+(pi/6)*i;,K = 2;,n = 0:40;,x = K*exp(c*n);,subplot(2,1,1);,stem(,n,real(x),); grid on;,xlabel,(Time index n);,ylabel,(Amplitude);,title(Real part);,subplot(2,1,2);,stem(,n,imag,(x),); grid on;,xlabel,(Time index n);,ylabel,(Amplitude);,title(Imaginary part);,%,实指数序列,n = 0:35; a = 1.2; K = 0.2;,x = K*a.n;,stem(n,x);,xlabel,(Time index n);,ylabel,(Amplitude);,%,正弦序列,n = 0:40; f = 0.1; phase = 0; A = 1.5;,x = A*,cos,(2*pi*f*n - phase);,clf,;,% Clear old graph,stem(n,x);,axis(0 40 -2 2); grid on;,title(Sinusoidal Sequence);,xlabel,(Time index n);,ylabel,(Amplitude);,function y,n =,seqadd,(x1,n1,x2,n2),% 序列相加,函数,%,实现,y(n) = x1(n)+x2(n),% y =,在包含,n1,和,n2,的,n,点上求序列和,%,x1 =,在位置向量,n1,上的第一序列,%,x2 =,在位置向量,n2,上的第二序列(,n2,可与,n1,不同),% y(n),的长度,n = min(min(n1),min(n2) : max(max(n1),max(n2);,y1 = zeros(1,length(n); y2 = y1;,%,初始化,%,具有,y,的长度的,x1,y1(find(n=min(n1) ,%,具有,y,的长度的,x2,y2(find(n=min(n2) ,%,序列相加,y = y1+y2;,function y,n =,seqmult,(x1,n1,x2,n2),% 序列相,乘函数,%,实现,y(n) = x1(n)+x2(n),% y =,在包含,n1,和,n2,的,n,点上求序列和,%,x1 =,在位置向量,n1,上的第一序列,%,x2 =,在位置向量,n2,上的第二序列(,n2,可与,n1,不同),% y(n),的长度,n = min(min(n1),min(n2) : max(max(n1),max(n2);,y1 = zeros(1,length(n); y2 = y1;,%,初始化,%,具有,y,的长度的,x1,y1(find(n=min(n1) ,%,具有,y,的长度的,x2,y2(find(n=min(n2) ,%,序列相加,y = y1 .,*,y2;,function y,ny, =,seqshift,(x,nx,n0),%,实现,y(n) = x(n-n0),% n0,为平移样本数,ny,=,nx,+ n0; %,位置向量移位,y = x; %,序列的值不变,nx,= 0:5; x = 0.5.,nx,; n0 = 3;,y,ny, =,seqshift,(x,nx,n0);,subplot(2,1,1); stem(,nx,x); axis(0 10 0 1.2);,xlabel,(,nx,);,ylabel,(x);,subplot(2,1,2); stem(,ny,y); axis(0 10 0 1.2);,xlabel,(,ny,);,ylabel,(y);,function y,ny, =,seqfold,(x,nx,),% 序列翻转（对,n=0,折叠）子程序,%,实现,y(n) = x(-n),%,将序列数值左右翻转,y =,fliplr,(x);,%,将序列位置对零位置左右翻转，故同时改变正负号,ny,= -,fliplr,(,nx,);,序列,能量：,Ex = sum( x .* conj(x) );,Ex = sum(abs(x) . 2);,例：画出信号,x1(n) = 1.5*(n+1) - (n-3),的波形。,n1=-5:5;,x1=1.5*,impseq,(-1,-5,5),-,impseq,(3,-5,5);,stem(n1,x1);,grid on;,x,label,(n);,ylabel,(x1(n);,axis(-5,5,-2,3);,例：画出信号的波形。,x2(n) = nu(n)-u(n-8) - 10e,-0.3(n-10),u(n-10)-u(n-16),n2=0:20;,x21 = n2.*(,stepseq,(0,0,20) -,stepseq,(8,0,20);,x22 = 10*exp(-0.3*(n2-10).*(,stepseq,(10,0,20) -,stepseq,(16,0,20);,x2 = x21-x22;,stem(n2,x2); grid on;,xlabel,(n);,ylabel,(x2(n);,%,线性卷积,x,= 1 2 3 4;,h,= 1 2 3;,y =,conv,(h,x);,n = 0:5;,%画图,stem(n,y);,xlabel,(Time index n);,ylabel,(Amplitude);,title(Output Obtained by Convolution); grid,on,;,function y,ny, =,conv,_m (x,nx,h,nh,),%,序列,y,为序列,x,和序列,h,的卷积,%,ny,nx,nh,分别为,y,x,和,h,的位置向量,ny0 =,nx,(1)+,nh,(1); %,卷积后位置初值的计算,nyf,=,nx,(end) +,nh,(end); %,卷积后位置终值的计算,y =,conv,(x,h); %,卷积序列数值的计算,ny,= ny0 :,nyf
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