回归正交试验设计

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,回归正交试验设计,正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案,回归正交设计（orthogonal regression design）：,可以在因素的试验范围内选择适当的试验点,用较少的试验建立回归方程,能解决试验优化问题,不适合非数量性因素,8.1 一次回归正交试验设计及结果分析,建立试验指标（,y,）与,m,个试验因素,x,1,，,x,2,，,x,m,之间的一次回归方程,例：m3时，,一次回归方程：,y,a,b,1,x,1,b,2,x,2,b,3,x,3,b,12,x,1,x,2,b,13,x,1,x,3,b,23,x,2,x,3,其中,x,1，,x,2，,x,3,表示3个因素；,x,1,x,2，,x,1,x,3，,x,2,x,3,表示交互作用,若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：,y,a,b,1,x,1,b,2,x,2,b,3,x,3,8.1.1 一次回归正交设计的基本方法,（1）确定因素的变化范围,以因素,x,j,为例,：,设,x,j,的变化范围为,x,j,1,，,x,j,2,x,j,1,为,x,j,的下水平,x,j,2,为,x,j,的上水平,x,j,0,为,x,j,的零水平：,x,j,0,(,x,j,1,x,j,2,)/2,因素,x,j,的变化间距,j,：,j,上水平 零水平,x,j,2,x,j,0,j,=(,x,j,2,x,j,1,)/2,（2）因素水平的编码,z,j,：因素,x,j,的编码，称为规范变量,x,j,：自然变量,上水平,x,j,2,的编码：,z,j,2,1,下水平,x,j,1,的编码：,z,j,1,1,零水平,x,j,0,的编码：,z,j,0,0,编码（,coding,）：将因素,x,j,的各水平进行线性变换：,编码目的：,使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量,z,j,的取值范围都是,1,，,1,编码能将试验结果,y,与因素,x,j,（,j,1,，,2,，,，,m,）之间的回归问题，转换成试验结果,y,与编码值,z,j,之间的回归问题,（3）一次回归正交设计表,将二水平的正交表中“2”用“1”代换，例：,回归正交设计表的特点：,任一列编码的和为,0,任两列编码的乘积之和等于,0,（4）试验方案的确定,可参考正交设计的表头设计方法,交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积,零水平试验（中心试验,）,表头设计：,8.1.2 一次回归方程的建立,总试验次数为,n,：,nm,c,m,0,m,c,：二水平试验次数,m,0,：零水平试验次数,一次回归方程系数的计算：,常数项：,a,一次项系数：,b,j,交互项系数：,b,jk,j,1，2，,m,j,k,k,1，2，,m,1,说明：,求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小,回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负,8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析,8.1.3.1 无零水平试验时,平方和：,总平方和：,一次项偏回归平方和：,交互项偏回归平方和：,回归平方和：,残差平方和：,自由度,df,T,n1,各种偏回归平方和的自由度1,回归平方和的自由度：,残差自由度：,不考虑交互作用时,:,df,R,=m,，,df,e,=n-m-1,。,均方,F检验：,回归方程显著性检验,偏回归系数显著性检验：,判断因素或交互作用对试验的影响程度,可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项,经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验,例8-1：,（1）因素水平编码,（2）正交表的选择和试验方案的确定,（3）回归方程的建立,m,0,0,，,n,m,c,8,计算表,计算各回归系数,写出,y,与规范变量,z,j,的回归方程,根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次,根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向,（,4,）方差分析,（,5,）回归方程的回代：得到试验指标,y,与自然变量,x,j,的回归方程,8.1.3.2 有零水平试验时,目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验（要求,m,0,2）,失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况,失拟性检验步骤：,设,m,0,次零水平试验结果为,y,01,，,y,02,，,y,0m0,重复试验误差：,平方和：,重复试验误差的自由度：,回归方程失拟部分：,失拟平方和：,失拟平方和自由度：,对于给定的显著性水平,（一般取0.1）,当F,Lf,F,（,df,Lf,，,df,e1,）时，就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和,SS,Lf,是由随机误差造成的，所建立的回归方程是拟合得很好,例8-2,失拟检验：,8.2 二次回归正交组合设计,回归方程的建立：,根据最小二乘法原理得到正规方程组,求解正规方程组，得回归系数,要求：试验次数回归方程的项数,回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案,8.2.1 二次回归正交组合设计表,（1）二元二次回归正交组合设计试验方案,二元二次回归方程：,试验方案,正交组合设计的三类试验点及次数：,二水平试验：,全实施：,m,c,2,m,1/2实施：,m,c,2,m,1,1/4实施：,m,c,2,m,2,星号试验：,与原点（中心点）的距离都为,m,2,m,零水平试验：,各因素水平编码都为零时的试验,试验次数,m,0,二元二次回归正交组合设计,（2）三元二次回归正交组合设计试验方案,三元二次回归方程：,试验方案,三元二次回归正交组合设计,（3）星号臂长度与二次项的中心化,星号臂长度,星号臂长度,与因素数,m,，零水平试验次数,m,0,及二水平试验数,m,c,有关,的确定,公式计算,参考表,8-18,m,0,因素数m,2,3,4（1/2实施）,4,5（1/2实施）,5,1,1.000,1.215,1.353,1.414,1.547,1.596,2,1.078,1.287,1.414,1.483,1.607,1.662,3,1.147,1.353,1.471,1.547,1.664,1.724,4,1.210,1.414,1.525,1.607,1.719,1.784,5,1.267,1.471,1.575,1.664,1.771,1.841,6,1.320,1.525,1.623,1.719,1.820,1.896,7,1.369,1.575,1.668,1.771,1.868,1.949,8,1.414,1.623,1.711,1.820,1.914,2.000,9,1.457,1.668,1.752,1.868,1.958,2.049,10,1.498,1.711,1.792,1.914,2.000,2.097,二次回归正交组合设计值表,二次项的中心化,对二次项的每个编码进行中心化处理：,(二次项编码)(二次项编码算术平均值),试验号,z,1,z,2,z,1,z,2,z,1,2,z,2,2,z,1,z,2,1,1,1,1,1,1,1/3,1/3,2,1,1,1,1,1,1/3,1/3,3,1,1,1,1,1,1/3,1/3,4,1,1,1,1,1,1/3,1/3,5,1,0,0,1,0,1/3,2/3,6,1,0,0,1,0,1/3,2/3,7,0,1,0,0,1,2/3,1/3,8,0,1,0,0,1,2/3,1/3,9,0,0,0,0,0,2/3,2/3,二元二次回归正交组合设计编码表,8.2.2 二次回归正交组合设计的应用,（1）基本步骤,因素水平编码,试验因素的水平被编为,，1，0，1，,变化间距：,j,上水平零水平零水平下水平,规范变量,z,j,自然变量x,j,x,1,x,2,x,m,上星号臂,x,1,x,2,x,m,上水平1,x,12,x,10,1,x,22,x,20,2,x,m2,x,m0,m,零水平0,x,10,x,20,x,m0,下水平1,x,11,x,10,1,x,21,x,20,2,x,m1,x,m0,m,下星号臂,x,1,x,2,x,m,变化间距,j,1,2,m,因素水平的编码表,确定合适的二次回归正交组合设计,参考表8-22,因素数,m,选用正交表,表头设计,m,c,m,2,L,4,（2,3,）,1，2列,2,2,4,4,3,L,8,（2,7,）,1，2，4列,2,3,8,6,4（1/2实施）,L,8,（2,7,）,1，2，4，7列,2,41,8,8,4,L,16,（2,15,）,1，2，4，8列,2,4,16,8,5（1/2实施）,L,16,（2,15,）,1，2，4，8，15列,2,41,16,10,5,L,32,（2,31,）,1，2，4，8，16列,2,5,32,10,正交表的选用,试验方案的实施,回归方程的建立,常数项：,a,一次项偏回归系数,b,j,：,交互项偏回归系数,b,kj,：,二次项偏回归系数,b,jj,：,回归方程显著性检验,总平方和：,交互项偏回归平方和：,二次项偏回归平方和：,一次项偏回归平方和：,平方和：,回归平方和：,残差平方和：,自由度：,df,T,n,1,各种偏回归平方和的自由度：,1,回归平方和的自由度：,残差平方自由度：,回归系数的检验：,失拟性检验,回归方程的回代,最优试验方案的确定:,回归方程的“规划求解”,根据极值的必要条件：,（2）例8-3,8.3 二次回归正交旋转组合设计,（1）基本概念,回归旋转正交设计：,规范变量空间（编码空间）内，与试验中心点（零水平点）距离相等的球面上,各点回归方程预测值的方差相等,（,2,）,三类试验点,二水平试验,m,c,零水平试验,m,0,，参考表,8-28,确定,m,=2m,，,m,为因素数,（3）回归正交旋转组合设计编码表,二次项中心化：按公式（8-34）,（4）数据处理,与回归正交组合设计相同,8.4,Excel在回归正交设计的应用,8.4.1 利用Excel建立回归正交设计编码表,8.4.2 Excel在回归正交设计数据处理中的应用,回归分析,最优试验方案的确定,