3.3.两条直线的交点与距离公式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3.1 两条直线的交点坐标,3.3.,直线的交点与距离公式,问题：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？,对于两直线,l,1,:A,1,x+B,1,y+C,1,=0,l,2,:A,2,x+B,2,y+C,2,=0.,(1)l,1,l,2,A,1,B,2,-A,2,B,1,=0,且,A,1,C,2,-A,2,C,1,0(,或,B,1,C,2,-B,2,C,1,0).(2)l,1,l,2,A,1,A,2,+B,1,B,2,=0.(3)l,1,与,l,2,重合,A,1,B,2,-A,2,B,1,=0,且,A,1,C,2,-A,2,C,1,=0(,或,B,1,C,2,-B,2,C,1,=0).,平行,重合,相交,无解,无穷多解,唯一解,解方程组,直线,2,1,2,1,2,1,2,1,l,l,l,l,l,l,l,l,知识梳理,方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？,例1：求下列两条直线的交点：l,1,：3x+4y2=0；,l,2：,2x+y+2=0.,例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的,直线方程，l,1,：x2y+2=0，l,2,：2xy2=0.,解：解方程组,3x+4y2=0,2x+y+2=0,l,1,与l,2,的交点是M（-2，2）,解：解方程组,x2y+2=0,2xy2=0,l,1,与l,2,的交点是（2，2）,设经过原点的直线方程为,y=k x,把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为,y=x,x=2,y=2,得,x=2,y=2,得,题型三 综合问题,例,3:,求证,:,不论,m,取什么实数,直线,(m-1)x+(2m-1)y=m-5,总过某一定点,.,分析,:,由题意知,不论,m,取什么值,直线总是通过定点,也就是说与,m,的取值无关,因此可将方程变形为,m,的方程,令,m,的系数为,0,解方程组得出定点坐标,.,证明,:,方法,1:,把原方程变形得,(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于,m,的任意实数都成立,x+2y-1=0,x+y-5=0.,x=9,y=-4.,即直线过定点,(9,-4).,例3：求直线3x+2y1=0和2x3y5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y1+（2x3y5）=0（为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x3y5=0）。,证明：联立方程,3x+2y1=0,2x3y5=0,o,x,y,(1,-1),M,解得：,x=1,y=-1,代入：3x+2y1+（2x3y5）=0,得 0+0=0,M点在直线上,结论：,A,1,x+B,1,y+C,1,+（A,2,x+B,2,y+C,2,）=0是过直线,A,1,x+B,1,y+C,1,=0和A,2,x+B,2,y+C,2,=0的交点的直线系方程。,M（1，-1）,即,例4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：,（1）l,1,:x-y=0,l,2,:3x+3y-10=0;,（2）l,1,:3x-y+4=0,l,2,:6x-2y=0;,（3）l,1,:3x+4y-5=0,l,2,:6x+8y-10=0;,例5：求经过两条直线x+2y1=0和2xy7=0的交点，,且垂直于直线x+3y5=0的直线方程。,解法一：,解方程组,x+2y1=0，,2xy7=0,得,x=3,y=1,这两条直线的交点坐标为（3，-1）,又直线x+3y5=0的斜率是1/3,所求直线的斜率是3,所求直线方程为y+1=3（x3）即 3xy10=0,解法二：,所求直线在直线系2x-y-7+（x+2y-1）=0中,经整理，可得（2+）x+（21）y7=0,=3,2+,21,解得 =1/7,因此，所求直线方程为3xy10=0,3.3.2 两点间的距离,思考：,已知平面上两点P,1,（x,1,y,1,)，P,2,（x,2,y,2,),如何求P,1,P,2,的距离 P,1,P,2,？,x,P,1,P,2,O,y,Q,M,1,N,1,M,2,N,2,在直角P,1,QP,2,中，,特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为,例1、已知点A（-1，2），B（2，），在x轴上求一点P，使 ，并求 的值。,例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。,C(a+b,c),D(b,c),B(a,0),A(0,0),y,x,建立坐标系，用坐标表示有关的量。,把代数运算结果“翻译”成几何关系。,进行有关的代数运算。,x,y,O,点 到直线 的距离：,点到直线的距离,公式;,3.3.,3,点到直线的距离,当A=0或B=0时,直线方程为,y=y,1,或,x=x,1,的形式.,Q,Q,x,y,o,x=x,1,P(x,0,y,0,),y,o,y=y,1,(x,0,y,0,),x,P,(x,0,y,1,),(x,1,y,0,),例2 已知点 ，求 的面积,解：如图，设 边上的高为 ，则,y,1,2,3,4,x,O,-1,1,2,3,边上的高 就是点 到 的距离,边所在直线的方程为：,即：,点 到 的距离,因此，,解：,例2 已知点 ，求 的面积,y,1,2,3,4,x,O,-1,1,2,3,y,x,o,l,2,l,1,两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的,公垂线段,的长.,3.3.4,两条平行直线间的距离：,例7、求证：两条平行线l,1,:Ax+By+C,1,=0与,l,2,:Ax+By+C,2,=0的距离是,Q,P,例2：求平行线2,x,-7y+8=0与2,x,-7y-6=0的距离。,O,y,x,l,2,:2,x,-7y-6=0,l,1,:2,x,-7y+8=0,P,(3,0),两平行线间的距离处处相等,在,l,2,上任取一点，例如P(3,0),P到,l,1,的距离等于,l,1,与,l,2,的距离,直线到直线的距离转化为点到直线的距离,2.两条平行线Ax+By+C,1,=0与,Ax+By+C,2,=0的距离是,1.平面内一点P(x,0,y,0,)到直线Ax+By+C=0,的距离公式是,当A=0或B=0时,公式仍然成立.,小结,注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理,为对应相等的形式。,