(II)第4章 运动刚体上动点的运动分析

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,章 运动刚体上动点的运动分析,1.,掌握运动刚体上动点的速度和加速度分析方法；,2.,了解点的复合运动基本概念,。,学习要求：,三种运动：,1.,绝对运动：,动点相对于定系的运动。,2.,相对运动：,动点相对于动系的运动。,3.,牵连运动：,动系相对于定系的运动。,4-1,点的复合运动的基本概念,一点的复合运动,点的运动,刚体的运动,1.,动点：,所研究的点（运动着的点）。,2.,定系（静系）：,固结于地面上的坐标系。,3.,动系：,固结于相对于地面运动物体上的坐标系。,因此，动点的,绝对运动,可以看成动点的,相对运动,和动点相对于动系的,牵连运动,的,复合运动,。,平面运动刚体上各点的运动分析,二、运动方程和轨迹,运动方程直接描述了动点的位置随时间的变化规律，运动方程之间的关系实际上就是,动点的矢径在不同坐标系中投影的变换关系,。,将上式分别投影到两个坐标系，并设两个坐标系的单位矢量之间的关系为：,则,动点,的,绝对运动,和,相对运动,的,运动方程之间关系,为：,平面运动刚体上各点的运动分析,对于平面问题，其展开式为：,如图所示，从运动方程中消去时间,t,，就可分别得到,动点,的,绝对运动轨迹和相对运动轨迹,。,绝对速度,V,a,与,绝对加速度,a,a,：,动点相对于定系运动的速度与加速度,相对速度,V,r,与,相对加速度,a,r,：,动点相对于动系运动的速度和加速度,牵连速度,V,e,与,牵连加速度,a,e,：,动点运动的某瞬时，动系上某点与动点相重合（,牵连点,），,该点相对于定系运动的速度和加速度,三、速度和加速度,注意：,V,e,、,a,e,是动系上某点的速度、加速度。,平面运动刚体上各点的运动分析,四动点、动系的选择原则,（,1,）动点相对动系要有运动（即动点、动系不能在同一物体上）；,（,2,）动点的相对运动轨迹要明显；,（,3,）动系的运动要简单（已知或可求）。,动点必须是始终与动系接触的那一点，如杆的端点，销钉、滑块、套筒等机构的连接点，特殊情况为圆心。,动点：,AB,杆上,A,点,定系：,固结在地面上,动系：,固结于凸轮,上,绝对运动：,直线,牵连运动：,直线平动,相对运动：,曲线（圆弧）,平面运动刚体上各点的运动分析,动点：,A,（,在,AB,杆上,）绝对运动：直线,动系：偏心轮 牵连运动：定轴转动,静系：地面 相对运动：圆周（曲线）,动点：,A,（,在偏心轮上,）,动系：,AB,杆,静系：地面,绝对运动：,圆周（红色虚线）,相对运动：曲线（未知）,牵连运动：,平动,平面运动刚体上各点的运动分析,绝对运动：,直线运动,牵连运动,：定轴转动,相对运动：,曲线运动（螺旋运动）,动点,：车刀刀尖,车刀的运动分析,动系,：工件,静,系,：,地面,平面运动刚体上各点的运动分析,回转仪的运动分析,动点：,点,相对运动：,圆周运动,牵连运动：,定轴转动,绝对运动：,空间曲线运动,动系：,框架,静系：,底座,平面运动刚体上各点的运动分析,平面运动刚体上各点的运动分析,例题：,用车刀切削工件的直径端面。工件以等角速度,逆时针转动，车刀的刀尖则沿水平轴,x,往复运动，运动方程为,x=bsin,t,。求车刀工件端面上切出的痕迹。,相对运动轨迹,相对运动方程,解,:,动点：,刀尖,M,，,定系：,固连于基座，,动系：,固连于工件,绝对运动：,水平直线的往复运动，运动方程为,x=bsin,t，,y=,0,牵连运动：,动系的转动，运动方程为,x,o,=,y,o,=,0,。,4-2,运动刚体上动点的速度分析,一、,速度合成定理,t,t,+,t,，,M,M,也可看成：,M,M,1,M,M,1,M,相对轨迹,MM,绝对轨迹,M M,绝对位移,M,1,M,相对位移,M M,1,牵连位移,假设动点,M,在,t,瞬时的运动轨迹为,AB,，在,t+,t,瞬时的运动轨迹为,AB,。,将两边同除以,t,，并取,t,0,时的极限：,平面运动刚体上各点的运动分析,即在任一瞬时,动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的,矢量和,，这就是点的,速度合成定理,。,平面运动刚体上各点的运动分析,点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小,、,方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。,在速度平行四边形中，,v,a,一定夹在,v,e,与,v,r,之间。,无论牵连运动为何种运动，此定理都成立。,平面运动刚体上各点的运动分析,速度合成定理,使用注意事项,例题,1,：,刨床的急回机构如图所示。曲柄,OA,的一端,A,与滑块用铰链连接。当曲柄,OA,以匀角速度,绕固定轴,O,转动时，滑块在摇杆,O,1,B,上滑动，并带动杆,O,1,B,绕定轴,O,1,摆动。设曲柄长为,OA=r,，,两轴间距离,OO,1,=,l,。求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度,1,。,2,、运动分析：,已知：,，,OA,=,r,，,OO,1,=l,，,OA,水平。求,1,=,?,3,、求,1,值,解：,1,、动点：滑块,A,动系：摇杆,O,1,B,绝对运动绕,O,点的圆周运动；,相对运动沿,O,1,B,的直线运动；,牵连运动绕,O,1,轴定轴转动。,例题,2,：,如图所示半径为,R,、偏心距为,e,的凸轮，以角速度,绕,O,轴转动，杆,AB,能在滑槽中上下平移，杆的端点,A,始终与凸轮接触，且,OAB,成一直线。求：在图示位置时，杆,AB,的速度。,解：,1,、动点：,AB,杆上,A,动系：凸轮,牵连运动：定轴运动（轴,O,）,相对运动：圆周运动（半径,R,）,2,、运动分析,已知：,，,e,，,AC=R,。求,v,AB,=,?,绝对运动：直线运动（,AB,）,3,、求,v,AB,值,分析,：,相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足,题意,的非接触点为动点。,例题,3,：,已知:凸轮半径,r,图示时,v,，,=30,；,杆,OA,靠在凸轮上。求：杆,OA,的角速度。,(,),解:取凸轮上,C,点为,动点,动系,固结于,OA,杆上,。,牵连速度,：,根据速度合成定理,作出速度平行四边形如图示。,平面运动刚体上各点的运动分析,绝对运动,：,直线运动,相对运动,：,直线运动,牵连运动,:定轴转动,绝对速度,：,相对速度,：,v,r,=?,，方位,/,OA,二、接触点的运动学条件,设,A,、,B,两刚体相对运动且在一点,P,相接触。如图所示。,取点,P,为动点，刚体,A,为动系，刚体,B,为定系，则曲线,I,为点,P,的相对运动轨迹，曲线,II,为点,P,的绝对运动轨迹。,v,p,(,A,),为相对速度，,v,p,(,B,),为绝对速度，点,P,A,为点,P,的牵连点，,v,pA,(,B,),为点,P,在该瞬时的牵连速度。由速度合成定理：,首先，推导两个刚体相对运动时，其接触点应满足的运动学条件。,平面运动刚体上各点的运动分析,由于,v,p,(,A,),和,v,p,(,B,),都沿相应轨迹的切向，即沿公切线,PT,的方向，故,v,pA,(,B,),也应沿,PT,方向，即：,交换动系和定系，同样可推出：,两式联立即可推出：,两个相对运动的刚体上两个接触点的速度应满足的运动学条件,：,刚体上的接触点相对另一刚体的速度沿接触点处公切线的方向，沿法向的相对速度为零。,平面运动刚体上各点的运动分析,其次，推导无滑动的接触,纯滚动的运动学条件,由于无滑动，点,P,在同一时间间隔内在刚体,A,和,B,上画出的弧长应相等：,S,A,=,S,B,。求导得：,v,p,(,A,)=,v,p,(,B,),由于,v,p,(,A,),和,v,p,(,B,),同向，即有,v,pA,(,B,)=,v,pB,(,A,),。由前面得推导可知：,上式即为纯滚动时接触点得运动学条件,：,纯滚动时刚体上得接触点相对另一刚体的速度为零,。,平面运动刚体上各点的运动分析,如果两个刚体相对于第三个刚体（如固连于地面的参考系）均有运动，可取点,P,A,为动点，刚体,B,为动系。绝对速度,v,p,(,A,),，无滑动时相对速度为零，牵连点为点,P,B,，牵连速度为,v,p,(,B,),。应用速度合成定理可得：,如图所示，两轮半径分别为,R,1,和,R,2,，分别绕固定轴,O,1,z,1,和,O,2,z,2,（均垂直于纸面）转动，角速度分别为,1,和,2,。设两轮上的接触点分别为,P,1,和,P,2,，则,由转动刚体速度分布规律,可知,：,平面运动刚体上各点的运动分析,三、定轴转动轮系的传动比,由纯滚动条件,v,pA,(,B,)=,v,pB,(,A,),得：,对时间求导得：,即：,纯滚动时，,两轮的加速度和角加速度均与其半径成反比,。,主动轮,O,1,与从动轮,O,2,的角速度之比,i,12,=,1,/,2,=,R,2,/,R,1,称为,传动比,。,对于齿轮，其齿数与其节圆半径成正比，故：,由,速度合成定理,设有一,动点,M,按一定规律沿着,曲线,AB,运动（曲线,AB,固连于,动系,Oxyz,上），而曲线,AB,同时又随同动系,Oxyz,相对,静系,Oxyz,作平动。,一、牵连运动为,平动,时加速度合成定理,4-,3,运动刚体上动点的加速度分析,由于,牵连运动为平动,，故有,因为,（其中 为动系坐标的单位矢量，,因为动系为平动,，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）,牵连运动为,平动,时点的加速度合成定理,即：,当牵连运动为平动时，动点的,绝对加速度,等于,牵连加速度与相对加速度的,矢量和,。,平面运动刚体上各点的运动分析,上式对,t,求导：,解：,取杆,AB,上的,A,点为,动点,，,动系,固连在凸轮上。,例题：,已知：凸轮半径为,R,，水平移动速度和加速度分别为,v,O,，,a,O,。求：,=60,时，顶杆,AB,加速度。,平面运动刚体上各点的运动分析,由 作速度平行四边形,（,1,）求,：,v,a,=?,，方位,：,AB,；,：,v,e,=v,0,，方向：。,：,v,r,=?,，方位：,CA,;,（,2,）求,：,a,a,=?,，方,位：,AB,，指向：假设,：,a,r,=?,，方位,CA,，指向：假设,方向：,A,C,：,a,e,=a,0,方向：,注意,：,加速度的指向一般为假设；,加速度图要与速度图分开画,；,加速度矢量方程的投影是等式两端的投影。,平面运动刚体上各点的运动分析,n,因,牵连运动为平动,，故有,将上式向,n,轴投影，得,我们已经证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。,二、牵连运动为,转动,时点的加速度合成定理,设一,圆盘以匀角速度,绕定轴,顺时针转动,，盘上圆槽内有一,点,M,以大小不变的速度,v,r,沿槽作圆周运动,，那么,M,点相对于静系的,绝对加速度,应是多少呢？,1.,牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时有何不同？,平面运动刚体上各点的运动分析,（方向如图）,由速度合成定理得,动点,：点,M,动系,：固结与圆盘上,，,则,M,点的,牵连运动,：,匀速转动,；,相对运动,：,匀速圆周运动,。,（方向如图）,绝对运动,也为,匀速圆周运动,方向：指向圆心,平面运动刚体上各点的运动分析,v,r,=,常数，,分析上