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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 微分中值定理,第三章,微分中值定理,与导数的应用,一,.,罗尔中值定理,二,.,拉格朗日中值定理,三,.,柯西中值定理,*,第一节 微分中值定理第三章 微分中值定理与导数的应用一.,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,微分中值定理,*,罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 微分中值定理*,一、费马,(Fermat),引理,且,存在,即：可导的极值点处，导数为零,*,一、费马(Fermat)引理且 存在即：可导的极值点处，导数,费马定理的几何解释,如何证明？,*,费马定理的几何解释 如何证明？*,费 马,Pierre de Fermat,(1601,1665),费马，法国数学家,.,出身于一个商人,家庭,.,他的祖父、父亲、叔父都从商,.,他,的父亲是当地的第二执政官,经办着一个,生意兴隆的皮革商店,.,费马毕业于法国奥尔良大学，以律师,为职,.,曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵,族特权,.,精通,6,种语言,.,业余爱好数学并,在数论、几何、概率论、微积分等领域内,作出了创造性的工作,.,费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”,.,*,费 马 费马，法国数学家.,费马,(Fermat),引理的证明,存在,证,:,设,则,*,费马(Fermat)引理的证明存在证: 设则*,二,.,罗尔中值定理,设,则至少存在一点,定理,*,二. 罗尔中值定理设则至少存在一点定理*,实际上,切线与弦线,AB,平行,.,罗尔定理的几何意义,*,实际上, 切线与弦线 AB 平行.罗尔定理的几何意义*,最小值至少各一次,.,证,*,最小值至少各一次.证*,该点是极值点，由费马定理可知：,*,该点是极值点，由费马定理可知：*,注意,:,1),定理条件条件不全具备,结论不一定成立,.,例如,2),定理条件只是充分条件,*,注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立. 例如2),例,1,证,所以函数在,-1,3,上满足罗尔定理的,3,个条件,.,*,例1证所以函数在-1,3上满足罗尔定理的3个条件.*,例,2,证,其中,*,例2证其中,*,例,3,证,由罗尔定理,至少存在一点,*,例3证由罗尔定理, 至少存在一点*,例,4,.,证明方程,有且仅有一个小于,1,的正实根,.,证,: 1),存在性,.,使,即方程有小于,1,的正根,2),唯一性,.,假设另有,至少存在一点,但,矛盾,.,*,例4. 证明方程有且仅有一个小于1 的正实根 .证: 1),三,.,拉格朗日中值定理,设,则至少存在一点,定理,几何意义,*,三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理几何意义*,作辅助函数,显然,且,证法,1:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立,.,*,作辅助函数显然 ,且证法1:问题转化为证由罗尔定理知至少存在,拉格朗日有限增量公式,*,拉格朗日有限增量公式*,切线与弦线,AB,平行,如何利用罗尔定理来证明？,证法,2,*,切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理来证明？证法2,则由已知条件可得：,故由罗尔定理,至少存在一点,*,则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点*,推论,1,推论,2,*,推论 1推论 2*,故,从而,例,5,证,*,故从而例5证*,例,6,证,1,证,2,*,例6证1证2*,例,7,证,*,例7证*,又,故,从而,即,例,8,证,1,证,2,*,又故从而即例8证1证2*,则,又,且,故,即,例,9,证,*,则又且故即例9证*,四,.,柯西中值定理,设,则至少存在一点,*,四. 柯西中值定理设则至少存在一点*,在拉格朗日,中值定理中,将,曲线用参数方程,表示,会出现什,么结论？,柯西中值定理的几何意义,:,*,在拉格朗日柯西中值定理的几何意义:*,使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的,斜率相等,.,注意,:,并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定,.,*,使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的斜率相等.注意:并不,有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了,.,*,有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值,证法,1,:,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,),(,),(,内可导,在,上连续,在,则,b,a,b,a,x,f,作辅助函数,*,证法1:且使即由罗尔定理知,至少存在一点,),(,)(,故 由罗尔中值定理至少存在一点,使得,亦即,证法,2,*,故 由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证法2*,三个中值定理的关系,Rolle,Lagrange,Cauchy,图形旋转,参数方程,*,三个中值定理的关系RolleLagrangeCauchy图形,例,10,.,证,:,结论可变形为,设,则,在,0, 1,上满足柯西中值,定理条件,因此在,( 0 , 1 ),内至少存在一点,使,即,*,例10. 证: 结论可变形为设则在 0, 1 上满足柯西,例,11,证,*,例11证*,例,12,.,试证至少存在一点,使,证法,1,：,用柯西中值定理,.,则,f,(,x,) ,F,(,x,),在, 1 ,e,上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析,:,*,例12. 试证至少存在一点使证法1： 用柯西中值定理 .,试证至少存在一点,使,证法,2,：,令,则,f,(,x,),在, 1 ,e,上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,*,试证至少存在一点使证法2 ：令则 f (x) 在 1,大量,为此,我们称这类极限为“不定式”,我们知道,:,两个无穷小量或两个无穷,大量的商的极限,随着无穷小量或无穷大,量的形式不同,极限值可能存在、也可能,不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷,记为,:,第二节 罗必达法则,*,大量 , 为此, 我们称这类极限为“不定式”,我们知道:,罗必达法则,设在某一极限过程中,*,罗必达法则设在某一极限过程中*,解释：,是指：,*,解释：是指：*,可选择适当区间来运用柯西中值定理,.,证,*,可选择适当区间来运用柯西中值定理.证*,运用罗必达法则时的注意事项,在运用罗必达法则时,但也不是无穷大,则不能说明,在,.,此时应重新另找其它方法进行计算,.,罗必达法则只限于求,其它,类型的不定型应首先化成这两种形式才能用,罗必达法则,.,*,运用罗必达法则时的注意事项在运用罗必达法则时 , 但也不是无,在运用罗必达法则求极限过程中,极限存,在并且不等于零的因子可以提出来,这样,可使问题简化,.,在运用罗必达法则求极限过程中,尽可能,运用等价无穷小替代,方法,它往往可使问,题得到明显的简化,.,*,在运用罗必达法则求极限过程中, 极限存在运用罗必达法则求极限,如果在使用罗必达法则后,则条件,则可继续使用罗必达法则,.,使用罗必达法则要注意观察条件是否满足,不然会出错,.,*,如果在使用罗必达法则后 , 则条件 , 则可继续使用罗必达法,此题不用罗必达法则,用等价无穷小替代也可,.,例,1,解,例,解,此题不用罗必达法则,用消去零因子,(X-2),也可,.,*,此题不用罗必达法则,用等价无穷小替代也可.例1解例解此题不用,例,2,解,*,例2解*,不存在,故不能用罗必达法则求此极限,.,实际上,小 心 ！,例,3,解,(,不能用罗必达法则,),*,不存在 ,故不能用罗必达法则求此极限 .实际上小 心 ！例3,解,:,注意到,故原式,注,:,洛必达法则可与其他方法结合使用,!,例,4,*,解:注意到 故原式注: 洛必达法则可与其他方法结合使用!例,(,等价无穷小替换,),在使用罗必达法则时,要注意进行化简或等价无穷小替换,它会使问题变得简单,.,连续使用罗必达法则,例,5,解,*,(等价无穷小替换)在使用罗必达法则时, 要注意进行化简或等价,如果,n,不是正整数,怎么办？,例,6,解,*,如果 n不是正整数, 怎么办？ 例6解*,从而,由,用夹逼准则,存在正整数,k,使当,x, 1,时,*,从而由用夹逼准则存在正整数 k , 使当 x 1 时,*,你还打算做下去吗,?,这样做,分母中,x,的次数将越来越高,而分子不变,极限始终无法求出,.,例,7,解,*,你还打算做下去吗?这样做 , 分母中 x 的次数将越来越,将原极限稍加变形,:,例,7,解,1:,*,将原极限稍加变形 :例7解1:*,例,7,解,2:,变量替换,*,例7解2:变量替换*,除 外,其中,其它类型不定式的极限,以下各类极限也为不定式的极限：,*,除 外其中 ,倒数法,只需讨论,这两种极限,幂指类型不定式的极限通过,转换为,*,倒数法只需讨论幂指类型不定式的极限通过转换为*,下面的介绍的是利用倒数法,或取对数法将其它的不定型,转化为可以运用罗必达法则,计算的例题,.,*,下面的介绍的是利用倒数法*,倒数法,.,用另一种形式颠倒行不行,?,行,但繁些,.,存在一个选择问题,.,例,8,解,*,倒数法 .用另一种形式颠倒行不行 ?行 , 但繁些 .存在,这种形式可以直接通分,.,例,9,解,*,这种形式可以直接通分 .例9解*,例,10,解,极限不等于,零的因子,*,例10解极限不等于*,解,:,例,11,*,解: 例11*,例,12,解,*,例12解*,运用取对数法,.,例,13,解,*,运用取对数法 .例13解*,解,解,例,14,例,15,*,解解例14例15*,这是数列的极限,罗必达,例,16,解,此题也可用重要极限的方法来求解,.,*,这是数列的极限罗必达例16解此题也可用重要极限的方法来求解.,例,17,解,(,等价无穷小替换,),*,例17解(等价无穷小替换)*,幂指类型不定式的极限通过,转换为,*,幂指类型不定式的极限通过转换为*,公式,称为 的,n,阶泰勒公式,.,公式,称为,n,阶泰勒公式的,拉格朗日型余项,.,一、泰勒公式（,拉格朗日型余项,）,:,阶的导数,时,有,其中,则当,第三节 泰勒（,Taylor,）公式,*,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .公,特例,:,(1),当,n,= 0,时,泰勒公式变为,(2),当,n,= 1,时,泰勒公式变为,得到,拉格朗日中值定理,可见,误差,*,特例:(1) 当 n = 0 时,泰勒公式变为(2) 当 n,称为,麦克劳林（,Maclaurin,）公式,.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,*,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .则有在泰勒公式,Taylor,公式（,Peano,型余项,),:,其中,定性分析,时，不需要余项的精确表达式,可用,Peano,型,泰勒公式；,定量分析,时，需要余项的精确表达式，用,lagrange,型,Talor,公式。,*,Taylor公式（Peano型余项 ) :其中定性分析时，,泰勒公式的证明*,以直代曲,在微分应用中已知近似公式,:,如果,x,的一次多项式,满足什么条件？,*,泰勒公式的证明*以直代曲在微分应用中已知近似公式 :如果x,1.,n,次近似多项式,的要求,:,故,若,则,记,*,1. n 次近似多项式的要求:故若则记*,2.,余项估计,令,(,称为余项,) ,则有,*,2. 余项估计令(称为余项) ,则有*,*,*,解,1:,用泰勒公式,*,解1: 用泰勒公式*,解,2:,用拉格朗日中值定理,*,解2: 用拉格朗日中值定理*,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,*,二、几个初等函数的麦克劳林公式其中*,其中,*,其中*,类似可得,其中,*,类似可得其中*,其中,*,其中*,已知,其中,类似可得,*,已知其中类似可得*,常用函数的麦克劳林公式,*,常用函数的麦克劳林公式*,，,由泰勒公式,证明,由所给条件,及在,x,= 0,连续知,所以,例,1,设,在,的某一邻域内具有二阶连续导数，,且 证明,*,， 由泰勒公式 证明由所给条件及在x = 0 连续知,2.,利用泰勒公式求极限,例,2,.,求,解,:,由于,用洛必塔法则不方便,!,用泰勒公式将分子展到,项,*,2. 利用泰勒公式求极限例2. 求解:由于用洛必塔法则不方便,解,例,3,.,*,解例3. *,例,4,.,求,解法,1,利用中值定理求极限,原式,*,例4. 求解法1 利用中值定理求极限原式*,解法,2,利用泰勒公式,令,则,原式,*,解法2 利用泰勒公式令则原式*,解法,3,利用罗必塔法则,原式,*,解法3 利用罗必塔法则原式*,3.,利用泰勒公式证明不等式,例,5,.,证明,证,:,*,3. 利用泰勒公式证明不等式例5. 证明证:*,三、泰勒公式的应用,1.,在近似计算中的应用,误差,M,为,在包含,0 ,x,的某区间上的上界,.,需解问题的类型,:,1),已知,x,和误差限,要求确定项数,n,;,2),已知项数,n,和,x,计算近似值并估计误差,;,3),已知项数,n,和误差限,确定公式中,x,的适用范围,.,*,三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用 误差M 为在包含,已知,例,1.,计算无理数,e,的近似值,使误差不超过,解,:,令,x,= 1,得,由于,欲使,由计算可知当,n,= 9,时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,*,已知例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过解:令,说明,:,注意舍入误差对计算结果的影响,.,本例,若每项四舍五入到小数点后,6,位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值,不能保证,误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位,.,*,说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小,例,2.,用近似公式,计算,cos,x,的近似值,使其精确到,0.005,试确定,x,的适用范围,.,解,:,近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到,0.005,.,*,例2. 用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到 0,
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