第4章-随机变量的数字特征ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 随机变量的数字特征,数学期望,方差,协方差及相关系数,矩、,协方差,矩阵,1,数学期望,设某班,40,名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：,分数,40 60 70 80 90 100,人数,1 6 9 15 7 2,一、数学期望的定义,EX,则学生的平均成绩是总分,总人数,(,分,),。即,定义,若,XPX=,x,k,=,p,k,k=1,2,且,，则称,为随机变量,X,的,数学期望。,数学期望,描述随机变量取值的平均特征,例,掷一颗均匀的骰子，以,X,表示掷得的点数，求,X,的数学期望。,解：,定义,若,Xf(x,),-,x,为,X,的,数学期望,。,则称,例,若随机变量,X,服从拉普拉斯分布，其密度函数为,试求,E(X),。,解：,1,、,0-1,分布,B(1,p),EX=1,p+,0(1-p)=p,；,2,、,二项分布,B(n,p),二、几个重要的随机变量的数学期望,3,、,泊松分布,(,),4,、,均匀,分布,U(a,b),5,、,指数分布,e(,),6,、,正态,分布,N(,2,),设随机变量,X,的分布律为,解,:,Y,的分布律为,求随机变量,Y=X,2,的数学期望,。,X,P,k,-,1 0 1,Y,P,k,1 0,三、随机变量函数的期望,EX,定理,若,XPX=,x,k,=,p,k,k=1,2,则,Y=,g(X,),的期望,定理,若,(X,Y)PX=x,i,Y=,y,j,=,p,ij,i,j=1,2,则,Z=,g(X,，,Y),的期望,若,Xf(x,),-,x,则,Y=,g(X,),的,期望,若,(X,Y)f(x,y),-,x,-,y0,的指数分布，其概率密度为：,问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（,m,n,均已知,）？,EX,2,、市场策略方面,方差,是衡量随机变量取值,波动 程度,的一个数字特征。,？,如何定义？,一、方差的定义,2,方差,定义,若,E(X),E(X,2,),存在，则称,EX-E(X),2,为随机变量,X,的,方差,，记为,D(X),或,Var(X,),。,称 为随机变量,X,的,标准差。,可见,推论,D(X)=E(X,2,)-E(X),2,证明,:,D(X)=,EX-E(X),2,例,设随机变量,X,的概率密度为,(1),求,D(X),(2),求,D(X,2,),。,解：,1,、,D(C)=0,；,2,、,D(aX,)=a,2,D(X),a,为常数；,证明,:,二、方差的性质,3,、,特别地，若,X,，,Y,独立，则,D(X+Y)=D(X)+D(Y);,1,、,二项分布,B(n,p),三、几个重要的随机变量的方差,设,则,且,2,、,泊松分布,(,),而,两边对,求导得,3,、,均匀,分布,U(a,b),4,、,指数分布,e(,),5,、,正态,分布,N(,2,),例,设活塞的直径,XN(22.40,0.03,2,),气缸直径,YN(22.50,0.04,2,),X,与,Y,相互独立。任取一只活塞和一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。,例,已知随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立，且每个,X,i,的期望都是0，方差都是1，,令,Y=X,1,+X,2,+,X,n,，,求,E(Y,2,),。,四、切比雪夫不等式,定理,若,随机变量,X,的期望和方差存在，则对任意,0,，有,这就是著名的,切比雪夫,(,Chebyshev,),不等式,。,已知某种股票每股价格,X,的平均值为,1,元，标准差为,0.1,元，求,a,使股价超过,1+a,元或低于,1-a,元的概率小于,10%,。,解,:,由切比,雪夫不等式,它有等价形式,一、协方差,定义,若随机变量,X,的期望,E(X),和,Y,的期望,E(Y),存在,则称,Cov(X,Y,)=EX,E(X)Y,E(Y),为,X,与,Y,的,协方差,。,特别地，当,Cov(X,Y,)=0,时，称,X,与,Y,不相关。,？,“,X,与,Y,独立,”,和,“,X,与,Y,不相关,”,有何关系？,3,协方差及相关系数,易见,Cov(X,Y,)=E(XY),E(X)E(Y),。,设,(X,Y),在,D=(X,Y),：,x,2,+y,2,1,上服从均匀分布，求证：,X,与,Y,不相关，但不是相互独立的。,(1),Cov(X,Y,)=,Cov(Y,X);,(2),Cov(X,X,)=D(X);,Cov(X,c,)=0,(3),Cov(aX,bY,)=,abCov(X,Y),其中,a,b,为常数,；,(4),Cov(X+Y,，,Z)=,Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);,(5)D(X Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,EX,协方差的性质,设随机变量,X,B(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求,V=4X+3Y+1,与,W=-2X+4Y,的方差与协方差。,EX,解：,由,X,B(12,0.5),YN(0,1),知,D(X)=np(1-p)=120.5(1-0.5)=3,D(Y)=1,因此,D(V)=D(,4X+3Y+1,)=D(,4X+3Y,),=D(,4X,)+D(,3Y,)+2Cov(4X,3Y),=16D(,X,)+9D(,Y,)+24,Cov(X,Y,)=33,D(W)=D(,-2X+4Y),=4D(,X,)+16D(,Y),-12Cov(X,Y)=40,Cov(V,W,)=Cov(,4X+3Y,-2X+4Y),=Cov(4X,-2X)+Cov(4X,4Y)+Cov(3Y,-2X)+Cov(3Y,4Y),=-8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(Y,Y)=-22,定义,若随机变量,X,Y,的方差和协方差均存在,且,DX0,DY0,则称,注：,称,为,X,的标准化。,易知,EX,*,=0,，,DX,*,=1,。,且,二、相关系数,为,X,与,Y,的,相关系数,。,相关系数的性质,(1),|,XY,|,1,；,(2),|,XY,|=,1,存在,常数,a,b,使,PY=,aX+b,=1,；,(3),X,与,Y,不相关,XY,=0,。,设,(X,Y),服从区域,D:0 x1,0yx,上的均匀分布,求,X,与,Y,的相关系数。,EX1,D,1,x=y,解,:,(1,1),0,x,y,因此,以上结果说明了什么？,EX2,解,:,(1),由题意，计算可得,(2),？,可见，若,（,X,，,Y,）,服从二维正态分布，则,X,与,Y,独立,的,充分必要条件,是,X,与,Y,不相关,。,EX3,但由前可知，对一般的二维随机变量,(X,Y),，,如果,X,与,Y,独立,则,X,与,Y,一定,不相关；,如果,X,与,Y,不相关,则,X,与,Y,不一定独立,。,4,、,k+l,阶,混合,中心矩,EX,E(X),k,Y,E(Y),l,k,l=0,1,2,。,4,矩、协方差矩阵,可见，,数学期望,E(X),即为,X,的,1,阶原点矩；,方差,D(X)=E(X-E(X),2,即为,X,的,2,阶中心矩；,协方差,Cov(X,Y,)=E(X-E(X)(Y-E(Y),即为,X,和,Y,的,1+1,阶混合中心矩。,1,、,k,阶,原点矩,A,k,=,E(X,k,),k=1,2,；,2,、,k,阶,中心矩,B,k,=EX-,E(X),k,k=1,2,；,3,、,k+l,阶,混合,原点矩,E(X,k,Y,l,),k,l=0,1,2,；,定义,设,X,1,X,n,为,n,个随机变量,记,c,ij,=,cov(X,i,X,j,),i,j=1,2,n,则称由,c,ij,组成的,n,阶方阵为随机变量,X,1,X,n,的,协方差矩阵,C,。即,六种常用随机变量的期望与方差,本章小结,