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主页,2,函数的单调性与最值,高考数学必修,1,复习,上升的,下降的,增函数,减函数,任取,x,1,x,2,D,且,x,1,0,x,2,+10,即,y,1,-y,2,0,y,1,y,2,.,y=,在,(-1,+),上是减函数,.,例,1,判断函数,y=,在,(-1,，,+),上的单调性,.,方法二：导数法：,在,(-1,，,+),上，,y0,故,y=,在,(-1,+),上为减函数,.,【,解析,】,(1),先作出函数,y=x,2,-4x+3,的图象，把,x,轴下方的部分翻折到上方，可得函数,f(x,)=|x,2,-4x+3|,的图象,.,如图所示,.,由图可知，函数的增区间为,1,2,3,+).,【,变式,】,若将本例,(1),中函数变为,f(x,)=|x,2,-4x+3|,(2),方法一：,设,x,1,x,2,(-1,1),且,x,1,x,2,则,f(x,1,)-f(x,2,)=,=,-1x,1,x,2,1,|x,1,|1,|x,2,|1,x,2,-x,1,0,x,1,2,-10,x,2,2,-10,|x,1,x,2,|1,本例,(2),中函数变为,f(x,)=,，,区间变为,(-1,，,1).,则结果又如何？,即,-1x,1,x,2,0,因此，当,a0,时，,f(x,1,)-f(x,2,),0,即,f(x,1,),f(x,2,),此时函数为减函数；,当,a0,时，,f(x,1,)-f(x,2,),0,即,f(x,1,)0,时为减函数，当,a0,时，,f(x,)0,当,a0.,故,f(x,),在,(-1,1),上,当,a0,时为减函数，,当,a0,即,x3,或,x2,即函数,的,定义域为,(-,2)(3,+),令,t=x,2,-5x+6=(x-),2,-,t,在,(-,2),上递减,在,(3,+),上递增,又,y=,在定义域上递减,f(x,)=(x,2,-5x+6),在,(-,2),上递增,在,(3,+),上递减,.,【,例,2】(1),若,f(x,),为,R,上的增函数，则满足,f(2-m)f(m,2,),的实数,m,的取值范围是,_.,(2),已知函数,y=,f(x,),是偶函数，,y=f(x-2),在,0,2,上,是单调减函数，试比较,f(-1),f(0),，,f(2),的大小,.,【,规范解答,】(1),因为,f(x,),为,R,上的增函数，且,f(2-m)f(m,2,),，,则有,:2-m0.,解得,:m1.,所以,m,的取值范围为,:(-,-2)(1,+).,答案：,(-,-2)(1,+),(2),解,：因为,y=f(x-2),的图象可由,y=,f(x,),的图象向右平移,2,个单位而得到，而,y=,f(x,),为偶函数，其图象关于直线,x=0,对称，,函数,y=f(x-2),的图象关于直线,x=2,对称，,又,y=f(x-2),在,0,2,上单调递减,函数,y=f(x-2),在,2,4,上单调递增，,因此,y=,f(x,),在,0,2,上单调递增，又,f(-1)=f(1),0f(-1)f(0).,考点二 函数的最值与值域,例,3,：求下列函数的值域,：,考点四、抽象函数的单调性及最值,例,6.,已知定义在,R,上的函数,y,=,f,(,x,),满足,f,(0),0,且当,x,0,时，,f,(,x,)1,且对任意的,a,b,R,f,(,a,+b,)=,f,(,a,),f,(,b,).,(1),求,f(0),的值；,(2),判断,f,(,x,),的单调性,.,解,:(1),令,a,=,b,=0,则,任取,x,1,x,2,R,，且,x,1,0,恒成立,.,由于当,x,0,时，,f,(,x,)1,则,f,(,x,2,)=,f,(,x,2,-,x,1,)+,x,1,f,(,x,1,),.,即,f,(,x,2,),f,(,x,1,).,f,(,x,),是,R,上,的增函数,.,=,f,(,x,2,-,x,1,),f,(,x,1,),f,(,x,2,-,x,1,),1.,【1】,若对一切实数,x,y,都有,(1),求,f,(0),的值,;,(2),判定,f,(,x,),的奇数偶性,.,令,x,=,y,=0,则,令,y,=,-,x,则,故,f,(,x,),是奇函数,.,解,:,因为对于任何实数,x,y,都有,练一练,证明,:,任取,x,1,x,2,R,，且,x,1,0,f,(,x,2,-,x,1,),1.,=,f,(,x,2,-,x,1,),-,1.,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)0,，,即,f,(,x,2,),f,(,x,1,).,f,(,x,),是,R,上,的增函数,.,【2】,若函数,f,(,x,),对任意,a,b,R,都有,f,(,a,+,b,)=,f,(,a,)+,f,(,b,),-,1,并且当,x,0,时,有,f,(,x,)1.,求证,:,f,(,x,),是,R,上,的增函数,.,f,(,x,2,-,x,1,),-,10.,=,f,(,x,2,-,x,1,)+,f,(,x,1,),-,1,-,f,(,x,1,),练一练,【3】,已知函数,f,(,x,),对于任何实数,x,y,都有,f,(,x,+,y,)+,f,(,x,-,y,)=2,f,(,x,),f,(,y,),且,f,(0),0,求证,:,f,(,x,),是偶函数,.,令,x,=,y,=0,则,令,x,=0,则,故,f,(,x,),是偶函数,.,解：已知函数,f,(,x,),对于任何实数,x,y,都有,f,(,x,+,y,)+,f,(,x,-,y,)=2,f,(,x,),f,(,y,),，,练一练,1.,判断函数 在区间,(,-,1,1),上的单调性,.,解,:,设,则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,x,1,x,2,1,1+,x,1,x,2,0,x,2,x,1,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),0.,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,故此函数在,(,-,1,1),上是减函数,.,函数单调性的判定及证明练习题,3.,设 为奇函数,且定义域为,R.,(1),求,b,的值；,(2),判断函数,f,(,x,),的单调性；,(3),若对于任意,t,R,不等式 恒成立，求实数,k,的取值范围,解,:(1),由,f,(,x,),是奇函数,则,f,(,-,x,)=,-,f,(,x,),整理,得,证明,:(2),任取,x,1,x,2,且,x,1,x,2,则,所以函数,f,(,x,),在,R,内是减函数,.,所以实数,k,的取值范围是,解,:(3),因为,f,(,x,),定义域为,R,的奇函数,且是减函数,从而判别式,所以对任意,t,R,不等式 恒成立,.,从而不等式,等价于,所以实数,k,的取值范围是,设,所以对任意,t,R,恒成立,.,从而不等式,等价于,从而,只须,解,:(3),因为,f,(,x,),定义域为,R,的奇函数,且是减函数,-,8,09年山东,
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