本章小结1

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,人教版必修一,新课标,数学,本章小结,一、学习集合应该注意的问题,目前在中学数学中，集合知识主要有两方面的应用：,(1),把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素，例如，方程,(,或方程组,),的解集、不等式,(,或不等式组,),的解集、具有某种性质或满足某些条件的数集、点集等,(2),运用集合间的基本关系和运算的思想解决某些抽象而复杂的问题,例如，利用集合间的基本关系及运算帮助理解事件间的关系，充分必要条件等,(,以后将要学习,),有时从正面解题较难时，可以考虑用补集的思想求解,1,要注意理解、正确运用集合概念,【,例,1,】,若,P,y,|,y,x,2,，,x,R,，,Q,(,x,，,y,)|,y,x,2,，,x,R,，则必有,(,),A,P,Q,B,P,Q,C,P,Q,D,P,Q,思路分析：,有的同学一接触此题马上得出结论,P,Q,，这是由于他们仅仅看到两集合中的,y,x,2,，,x,R,相同，而没有注意到组成两个集合的元素是不同的，集合,P,是函数值域集合，集合,Q,是,y,x,2,，,x,R,上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物,解析：,P,表示函数,y,x,2,的值域，,Q,表示抛物线,y,x,2,上的点组成的点集，因此,P,Q,，故选,A,.,答案：,A,2,要充分注意集合元素的互异性,集合元素的互异性，是集合的重要属性，在解题过程中，集合元素的互异性常常被忽视而出错,思路分析：,要解决,a,的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据集合的运算及集合中元素的确定性、互异性矛盾，无序性建立关系式,解：,A,B,2,5,，,a,3,2,a,2,a,7,5,，由此求得,a,2,，或,a,1.,当,a,1,时，,a,2,2,a,2,1,，与元素的互异性矛盾，故舍去；,当,a,1,时，,B,1,0,5,2,4,，与,A,B,2,5,相矛盾，故舍去；,当,a,2,时，,A,2,4,5,，,B,1,3,2,5,25,，此时,A,B,2,5,，满足题设,故,a,2,为所求,3,要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法,集合与集合之间的关系问题，在我们解答数学问题过程中经常遇到集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因此，在证明,(,判断,),两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去,【,例,3,】,集合,X,x,|,x,2,n,1,，,n,Z,，,Y,y,|,y,4,k,1,，,k,Z,，试证明,X,Y,.,思路分析：,要证明,X,Y,，按集合相等的定义，应证明,X,Y,，且,Y,X,.,证明：,(1),设任意,x,0,X,，则,x,0,2,n,0,1,，,n,0,Z.,若,n,0,是偶数，可设,n,0,2,m,，,m,Z,，,则,x,0,22,m,1,4,m,1,，,x,0,Y,；,若,n,0,是奇数，可设,n,0,2,m,1,，,m,Z,，,则,x,0,2(2,m,1),1,4,m,1,，,x,0,Y,.,不论,n,0,是偶数还是奇数，都有,x,0,Y,，,X,Y,.,(2),又设任意,y,0,Y,，则,y,0,4,k,0,1,，或,y,0,4,k,0,1,，,k,0,Z.,y,0,4,k,0,1,2(2,k,0,),1,，,y,0,4,k,0,1,2(2,k,0,1),1,2,k,0,和,2,k,0,1,都属于,Z,，,y,0,X,，,Y,X,.,由,(1)(2),可知，,X,Y,.,4,要注意空集的特殊性和特殊作用,空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误,【,例,4,】,已知,A,x,|,x,2,3,x,2,0,，,B,x,|,ax,2,0,，且,A,B,A,，求实数,a,组成的集合,C,.,思路分析：,B,A,包括两种情况，即,B,和,B,.,解：,(1),当,B,时，由,x,2,3,x,2,0,，得,x,1,或,2.,当,x,1,时，,a,2,；当,x,2,时，,a,1.,(2),当,B,时，即当,a,0,时，,B,，符合题意，故实数,a,组成的集合,C,0,1,2,二、函数的概念、表示及其应用,对于函数的概念及其表示要注意：,1,函数的三要素：定义域、值域、对应关系,2,定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数，两者需同时具备,3,函数定义域的求法,列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求函数的定义域，常涉及到的依据为：,分母不为,0,；,偶次根式被开方数不小于,0,；,零指数幂中底数不等于零；,实际问题要考虑实际意义等,4,求抽象函数定义域的方法：,(1),已知,f,(,x,),的定义域为,a,，,b,，求,f,g,(,x,),的定义域，就是求不等式,a,g,(,x,),b,的解集,(2),已知,f,g,(,x,),的定义域为,a,，,b,，求,f,(,x,),的定义域，就是求当,x,a,，,b,时，,g,(,x,),的值域,5,求函数解析式的常用方法：,(1),定义法；,(2),换元法；,(3),待定系数法；,(4),构造法；,(5),消去法,6,求函数值域的方法：,(1),配方法；,(2),分离常数法；,(3),换元法；,(4),判别式法；,(5),单调性法；,(6),不等式法,温馨提示：,求解分段函数及复合函数的有关问题时，应注意复合函数中,“,内,”,层函数的值域充当,“,外,”,层函数的定义域，不能笼统地写在一起，而应分段讨论,【,例,6,】,已知二次函数,f,(,x,),x,2,ax,b,，,A,x,|,f,(,x,),2,x,22,，则,f,(,x,),的解析式为,_,温馨提示：,求解析式的关键是求解参数,温馨提示：,求函数的值域无固定的格式方法，应具体问题具体分析，注意观察函数的结构特点，选择适当的方法求值域，勿忘优先考虑定义域,三、函数的单调性、奇偶性及其应用,函数的单调性、奇偶性是高考考查的重要内容，要掌握判断函数单调性的步骤，掌握奇函数、偶函数的性质以及运用函数单调性、奇偶性，求函数最大,(,小,),值的方法,思路分析：,求函数在某区间上的最值，通常先判断函数在该区间上的单调性，当函数或区间中含有字母时，要对字母加以讨论，以确定函数的单调性,